四阶行列式的一种展开法1.doc

四阶行列式的一种展开法笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下：四阶行列式：第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：（图表一）作乘积关系，可得如下八项：a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a11,a43a34a21a12,a44a31a22a13,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。（图表二）同前理可得如下八项：a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a11,a14a32a21a13,a42a31a23a14,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三：（图表三）同前理可得如下八项：a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a11,a42a33a21a14,a43a31a24a12,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：D4=a11a22a33a44-a12a23a34a41+a13a24a31a42-a14a21a32a43+a41a32a23a14-a42a33a24a11+a43a34a21a12-a44a31a22a13+a11a23a34a42-a13a24a32a41+a14a22a31a43-a12a21a33a44+a41a33a24a12-a43a34a22a11+a14a32a21a13-a42a31a23a14+a11a24a32a43-a14a22a33a41+a12a23a31a44-a13a21a34a42+a41a34a22a13-a44a32a23a11+a42a33a21a14-a43a31a24a12四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。下面将从三个方面进行证明。证明：一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。下面举例说明。例1：计算四阶行列式：解：D4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3例2：计算四阶行列式：展开图表如下：（例题2图表一）（例题2图表二）（例题2图表三）解:D4=7634-6755+3256-7345+5477-6327+5536-4553+7756-3245+7555-6334+5326-5557+4433-6577+7245-7535+6754-3356+5553-4477+6337-5526=420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+180-875+144-1470+280-525+840-270+375-784+378-300=-10例3：计算四阶行列式：展开图表如下：（例题3图表一）（例题3图表二）（例题3图表三）解：D4=2(-4)83-(-5)75(-3)+4542-33(-9)(-5)+(-3)(-9)75-2852+(-5)53(-5)-34(-4)4+2752-45(-9)(-3)+3(-4)4(-5)-(-5)383+(-3)85(-5)-(-5)5(-4)2+3(-9)34-2473+25(-9)5-3(-4)8(-3)+(-5)743-4352+(-3)5(-4)4-3(-9)72+2833-545(-5)=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+600-200-324-168-430-288-420-120+240+378+144+500=4通过以上三例说明，该展开式简单易学，在未学习行列式性质之前，也能计