届总复习-走向清华北大--6函数的单调性与最大(小)值.ppt

第六讲 函数的单调性与最大(小)值,回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f(x)0时,f(x)为增函数;当f(x)0时,f(x)为减函数.,2.函数的最值,结论 M为最大值 M为最小值 定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在m,n上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).,考点陪练 1.(2010福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是( ) A. B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 答案:A,答案:B,答案:D,答案:C,5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: (x1-x2)f(x1)-f(x2)0; (x1-x2)f(x1)-f(x2)0; 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为_.,答案:,类型一 函数单调性的判定与证明 解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法直接法图象法. 1.用定义法证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x10; (2)作差变形:作差y=f(x2)-f(x1),并通过因式分解配方有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;,(3)定号:确定差值y的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)判断:根据定义作出结论.,2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数二次函数反比例函数的单调性均可直接说出. 了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处: (1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反; (2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 与y=f(x)的单调性相反; (3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等; (4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增异减”的原则.,3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法.,反思感悟 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法放缩法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.,类型二 函数的奇偶性与单调性 解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.,分析 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.,x21+10,x22+10,x2-x10, 而x1,x20,1时,x1x2-10, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数,f(x)在-1,0上是增函数,在(-,-1上是减函数. 又x0,1,u-1,0时,恒有f(x)f(u),等号只在x=u=0时取到,故f(x)在-1,1上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在1,+)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值. f(1)=， 函数的最大值为 ,无最小值.,类型三 求函数的最值 解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法. (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法.,(4)导数法:当函数较复杂(如指对数函数与多项式结合)时,一般采用此法. (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.,分析 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.,类型四 抽象函数的单调性与最值 解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑. 【典例4】 函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.,分析 (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.,解 (1)设x1,x2R,且x10,则f(x2-x1)1. f(a+b)=f(a)+f(b)-1, f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1 又f(x2-x1)-10, 因此f(x2)f(x1), 故f(x)在R上是增函数.,(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1. 又f(4)=5,f(2)=3. 原不等式即为f(3m2-m-2)f(2). 由(1)知f(x)在R上是增函数, 3m2-m-22.,反思感悟 (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)f(x2)x1x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.,错源一 不注意分段函数的特点,剖析 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-,1上的最小值大于(1,+)上的最大值,从而得出错误结果.,答案 C,错源二 判断复合函数的单调性时,未弄清内外函数的单调性而致错,技法一 复合法,方法与技巧 复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确单调区间必须是定义域的子集,当求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同为增,异为减”的原则判断复合函数的单调区间.,技法二 定义法,方法与技巧利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两点:一是对f(x1)-f(x2)要正确变形,主要途径有:因式分解配方通分有理化等;二是利用x1=x2=x确定函数增减区间的分界点,划定区