[理学]模型07：方程模型.pptVIP

数学建模,第七讲 方程模型,数学实验,与,方程模型,代数方程 一元方程 方程组 微分方程 n阶 初值问题 ,一、 Matlab求解：方程,l01.m,solve (f) solve (f, x) solve (f,g, x,y,),fsolve (f, x0) fzero(f, x0),其他 多项式 代数方程组 例：,roots (f) Ax=b x=Ab,1、代数方程,符号解 数值解,符号 字符串,字符串,系数向量,2、微分方程,符号解 通解 注：导数 特解 初始条件 例：,Dy D2y Dny,y=dsolve(f) y=dsolve(f ,x) y1,y2,=dsolve(f , g ,x),字符串,y=dsolve(,y(x0)=y0,),l02.m,缺省？,微分方程,数值解 ode: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb 例：,T,Y = solver(f,x0,x1,y0),l03.m fun3.m,ode函数：句柄函数或inline函数,二、简单物理模型,室温：20 C 物体：100 C20 min60 C 问： ? min30 C,关键,温度变化规律,冷却定律：物体的冷却速度 与物体和环境的温差成正比,例1：物体温度变化,模型,物体温度,冷却速度,冷却定律,初值,求解,于是,l04.m,例2：下滑时间,链条无摩擦下滑,问：需多少时间链条才能全部划过桌子,关键,位移变化规律,运动方程：,牛顿第二定律,模型,建立坐标系,O,令链条终点位置：,t 时刻,受力,重力,线密度,质量加速度,则,模型,解,答案,l04.m,二、人口模型,问题提出：人口预测 例如： 1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53 预测2000年末：12.5(1+0.00953)2 12.7394 2000年11月1日全国总人口为126583万人 预测2004年末： 12.5(1+0.00953)6 13.2320 2005年1月6日，中国人口总数达到13亿 2008年底，中国人口总数13.2802亿 设 基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r 则 人口增长模型为 xk=x0 (1 +r)k,模型一：指数增长模型,基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。 设 t 时刻人口数为x(t) ， t=0时 人口增长率为r，则 取t0， 有 初值问题,Malthus （ 1766-1834）人口模型,于是：指数增长模型,求解 符号演算 Matlab 模型解 离散化 er 1+r (r1) 则有 x(t) x0 (1 +r)t,l05.m,模型二：阻滞增长模型,模型假设：增长率是人口x(t)的线性函数 r(x)=r-sx ，（s、r0 ） 设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量）为 xm r(xm)=0 有 模型为,Logistic模型,于是：阻滞增长模型,求解,Logistic模型,l05.m,图示,阻滞,指数,阻滞,指数,求解,l05.m,参数估计,统计方法最小二乘法 参数 r 或 r, xm 例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,模型三：人口的预测与控制,问题提出 指数模型, 阻滞模型 考虑年龄结构 模型假设 设: 人口分布函数 F(r,t) : 时刻,年龄小于 r 的人口数 人口总数 N(t) ,最高龄 rm F(0,t) ,F(rm ,t) =0 =N(t) 定义:人口年龄密度函数 p(r,t)= F/r 0 (0rrm ) p(rm ,t)=0 时刻 t 年龄 r 的人的死亡率: (r,t) 时刻 t 年龄 r 在 r,r+dr 内单位时间死亡人数 (r,t) p(r ,t)dr,人口模型,目标: 求 p(r,t) 考察 r,r+dr),t,t+dt) t 时刻: r,r+dr)年龄 t+dt: r+dr1 ,r+dr+dr1) dr1=dt 死亡人数 (r,t) p(r ,t)drdt 于是有 t t+dt 时人口数变化: p(r ,t)dr - p(r+dr1 ,t+dt)dr = (r,t) p(r ,t)drdt 即 p(r+dr1 ,t+dt) - p(r ,t+dt) +p(r ,t+dt) - p(r ,t) = -(r,t) p(r ,t) dt 两边除以 dt 得,人口模型,模型构造,一阶偏微分方程,定解条件 p(r,0) = p0(r),人口模型,p(0,t) = f(t),已知,婴儿出生率:预测,控制,模型:,解,难!,p(r+dr1 ,t+dt) - p(r ,t+dt) +p(r ,t+dt) - p(r ,t) = -