教学课件PPT离散时间系统的z域分析.ppt

第8章 离散时间系统的z域分析,8.1 离散信号的z变换及收敛域,8.2 z逆变换,8.3 z变换的基本性质,8.4 利用z变换解差分方程,8.5 离散系统的系统函数,主讲：黄 慧,(1) z变换、性质及其收敛域 (2) 利用z变换求解差分方程 (3) 离散系统的系统函数 (4) 系统稳定性及因果性,本章主要内容,8.1 离散信号的z 变换及收敛域,z变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出，也可以直接对离散信号给予定义。,8.1.1 z 变换定义,xn的双边z 变换:,xn的单边z 变换:,z,对z变换式的理解,对z变换式的说明,8.1.2 典型离散序列的z变换,（一）单位样值序列,（二）单位阶跃序列,z,（三）斜变序列,上式两边分别对z -1求导，得,两边乘以z -1 ，得,z,（2）左边指数序列,z,（四）指数序列,（1）右边指数序列,z,结论：左边序列收敛域为圆外的部分，左边序列收敛域为圆内部分；,双边序列收敛域是怎样的呢？,两个不同的序列对应于相同的z变换，但z变换收敛域不同。,例：已知序列为x n=anun -bnu-n-1，求它的z变换，并确定收敛域。,解：,例：x n=2nun -3nu-n-1的z变换，并确定收敛域。,结论：双边序列收敛域为一个圆环。,结论：, 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）；,有限长序列的收敛域为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,右边序列的roc为 的圆外；,左边序列的roc为 的圆内；,双边序列的roc为 的圆环。,roc：,roc：,（五）单边正、余弦序列,令指数序列中 ，那么 ，,同理：,8.1.3 z变换的收敛域,收敛域：对序列x(n),能满足级数绝对可和所有z的范围。,同时表达式也应有意义也即z在0和无穷大处。,1有限长序列的收敛域,2右边序列的收敛域,3左边序列的收敛域,4双边序列的收敛域,1）有限长序列（有始有终序列）,这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 ，此时z 变换为,收敛域为整个z平面。但应注意z=0及无穷不一定能够取到。,例如: xn=un- un-3,例如: xn=un+1- un-3,2）右边序列,这类序列是有始无终的序列，即当nn1时xn=0。此时 z变换为,若满足,则其级数收敛。,即,结论：右边序列的收敛域是半径 rx1 的圆外部分。,例如: yn=2nun,收敛域为： z 2,3) 左边序列,这类序列是无始有终的序列，nn2时xn=0。此时z变换为,若令m= - n，上式变为,如果将变量再改为n，则,则该级数收敛。,结论：左边序列的收敛域是半径为rx2的圆内部分。,例如: yn=-2nu-n-1,收敛域为： z 2,例如: yn=2nun+1,yn的z 变换:,收敛域为： 2z ,考虑收敛域问题都应注意z=0及无穷处函数是否有定义。,例如: yn=2nu-n+1,yn的z 变换:,收敛域为： 0z 2,4）双边序列（无始无终序列）,双边序列是从 n=-到n=+的序列，一般可写为,显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换迭加。那么当 ,x(z)的收敛域就为圆环。,n1=- n2=+,例：求序列xn=anun-bnu-n-1的z变换，并确定收敛域（ba, b0, a0）。,解：,由例1的结果可直接得到：,因为ba, 这样得到,结论：, roc内不包含任何极点（以极点为边界）；,有限长序列的roc为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,右边序列的roc为 的圆外；,左边序列的roc为 的圆内；,双边序列的roc为 的圆环。,roc：,roc：,8.2 z逆变换,8.2.1幂级数展开法（长除法）,若xn为右边序列，则,若xn为左边序列，则,z逆变换有幂级数展开法、部分分式展开法、留数法等。,对于右边序列，按照z的降幂排列或者z-1的升幂排列； 对于左边序列，按照z的升幂排列或者z-1的降幂的排列。,2） xn 为左边序列，这时x(z)的分子与分母 按z的升幂（或 z-1的降幂）次序排列。,令 n替换n,8.2.2 部分分式展开法,通常序列的z变换是z的有理函数，所以我们将x(z)表示成有理分式的形式，,解：因为,z变换的基本形式是 我们可以由书上p60表82和表84直接得到它们的 z 逆变换。,所以，通常先将 展开，然后每个分式再乘以z。,例8-5： 求 的逆变换xn（收敛域为 ）,又因为 ，所以是因果序列，由表82得到：,一般形式,解：,所以，,例2求 的逆变换xn (收敛域为 1 |z| 2 ),例：,草稿：,解：,8.3 z变换的基本性质,（一）线性性质,例8-6：求序列 anun-anun-1 的z变换。,零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。,(二) 位移性,1.双边z变换,2.单边z变换,(1) 左移位性质,(2) 右移位性质,原序列不变，只影响在时间轴上的位置。,1双边z变换的位移性质,2单边z变换的位移性质,若x(n)为双边序列，其单边z变换为,(1)左移位性质,(2)右移位性质,而左移位序列的单边z变换不变。,例8-8已知差分方程式yn-0.9yn-1=0.05un,边界条件 y-1=1,用z变换的方法求系统响应yn。与例7-10（2）相同,解：对差分方程式左右同求z变换得： y(z)-0.9z-1y(z)+y-1z=0.05z/(z-1),整理得：,（三） z 域微分（序列线性加权）,z,z,解：,（四）序列指数加权（z域尺度变换）,z,例如：3nun,例如：3-nun,（五）初值定理,则,（六）终值定理,应用条件：x(z)的极点必须处于单位圆内，或在z=1处（一阶）。,例如,y0=0,y不存在,y0=0,y=2.5,（七）时域卷积定理,解：因为,已知两序列xn, hn的 z 变换为,则,z,例8-11：求下列两单边指数序列的卷积,(2),把y(z)展成部分分式形式,得,其逆变换为,z,8.4 利用z 变换解差分方程,举例,因此，全响应为,（1）,通常系统差分方程：,令,则,- 离散系统的系统函数,8.5 离散系统的系统函数,8.5.1 系统函数与单位样值响应,如果激励 xn为因果序列, 且系统处于零状态，则,我们称h(z)为离散系统的系统函数，它表示系统的零状态响应的z变换与激励信号的z变换的比值 。,z,系统函数h(z)与单位样值响应hn是一对z变换。,对上式取z逆变换：,解：对上述差分方程取z变换,8.5.2 系统函数的零极点分布对系统特性的影响,（1）由系统函数的零极点分布确定单位样值响应,（2）离散时间系统的稳定性与因果性,要使离散系统稳定的充分必要条件是单位样值响应绝对可和。,z,令 则：,离散系统稳定的充分必要条件是h(z)的收敛域必须包含单位圆。,下面讨论几种不同的系统:,（1）因果系统（hn为因果信号）,收敛域为,即：h(z)的全部极点落在单位圆内。,由于收敛域应包含单位圆，所 以，,（2）若hn为左边序列,收敛域为,由于收敛域应包含单位圆，所 以，,即：h(z)的全部极点落在单位圆外。,收敛域为,即：h(z)有些极点落在单位圆内， 有些极点落在单位圆外。,由于收敛域应包含单位圆，所 以，,（3）若hn为双边序列,解：,因果、稳定,因果、非稳定,非因果、稳定,例：检验下列系统的因果性和稳定性。,非因果、稳定,解：(1)将差分方程两边取z变换，得,于是,h(z)的极点为0.4和-0.6，都在单位圆内，且为因果系统，所以，收敛域为|z|0.6，因此该系统是稳定的。,(2) 将h(z)/z展成部分分式，得到,(3)若激励xn=un,则,例：对有一离散因果线性时不变系统，差分方程为,求系统函数h(z) 及hn, 并说明它的收敛域及系统的稳定性；若不稳定，求一个满足该差分方程的稳定（非因果）单位样值响应。,解：(1)将差分方程两边取z变换，得,(2）对h(z)求反变换得：,由于系统为因果系统收敛