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数学建模讲义 第1章 数学建模简介,黄慧青 嘉应学院,本课程的内容和要求,预备知识 必备：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）、概率统计。 扩展：图论、偏微分方程、组合数学、随机过程、数值分析、计算机程序设计 课程设制：1/2理论课和1/2上机课。 要求同学自由组合，三人一组完成作业、论文和实验报告。大部分作业上机完成，但是交打印版或手写版 考试分开考。,教材：数学模型(第三版) 姜启源等,高等教育出版社,2003年,第一章 建立数学模型 第二章 初等模型 第三章 简单的优化模型 第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型 第六章 稳定性模型 第七章 差分方程模型,第八章 离散模型 第九章 概率模型 第十章 统计回归模型 第十一章 马氏链模型 第十二章 动态优化模型 第十三章 其它模型,数学软件,matlab ,matlab程序设计与应用, 有电子版教程。 lingo,有电子版教程。 数学建模只要求知道实际问题与某些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，模型的求解可交给数学软件求解。 可在黄可坤老师的主页/上下载,主要内容,1 什么是数学模型？ 2 数学建模有什么意义？ 3 全国大学生数学建模竞赛。 4 建模示例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？ 5 建模示例2：商人们怎样度河？ 6 建模示例3：人口增长模型。 7 数学建模的方法和步骤 8 matlab曲线拟合。,数学精微何处寻，纷纭世界有模型。 描摹万象得神韵，识破玄机算古今。 岂是空文无实效，能生妙策济苍生。 经天纬地展身手，七十二行任纵横。,1 什么是数学模型,从小学、中学到大学数学，都有数学应用题，让学生体会数学的应用，体会数学与现实世界的关系。,是不是凡是应用数学知识来解决现实世界的问题都是数学应用题？比如，下面的问题是数学应用题吗？,问题 一艘船从港口o出发，航行了100千米到港口a。又航行了160千米，遇到意外情况需要派直升飞机援救。直升飞机应到何处寻找该船？,一艘船从港口o出发向南偏东75o，方向沿直线航行了100千米到港口a。然后向北偏东60o方向沿在线航行了160千米到达点b，遇到意外情况需要从港口o派直升飞机援救。直升飞机应向北偏东多少度的方向飞行、飞行多少千米才能到达点b？,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型可分为物质模型（形像模型）和理想模型（抽像模型），包括：直观模型、物理模型、思维模型、符号模型等。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各若干？ (x+y)*30=750, (x-y)*50=750 事实上，所有的数学都是某种模型。 数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的数学结构。,2 数学建模的重要意义,分析与设计。 预报与决策。 控制与优化。 规划与管理。 “高技术本质上是一种数学技术”。 马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。” 计算机在数学建模中起的重要作用。,3 全国大学生数学建模竞赛,时间：每年9月中下旬。 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。 对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组 形式：3人一组，三天三夜，自由完成 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。 评奖：大概1/2能得到省奖，1/10有全国奖。,全国大学生数学建模竞赛题目,2009a 制动器试验台的控制方法分析。 2009b 罗立兵_眼科病床安排的数学模型。 2010a 储油罐的变位识别。 2010b 上海世博会影响力的定量评估。 2011a 城市表层土壤的重金属污染分析。 2011b 交巡警服务平台的设置与调试。 2012a 葡萄酒的评价 2012b 太阳能小屋的设计,竞赛准备,成功获奖 = 一本好的教材 + 获奖范文 + 实战演练 = 数学高手 + 计算机高手 + 写作高手,4 数学建模示例,1. 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),a,c 两脚与地面距离之和 f(),b,d 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形abcd 绕o点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 需证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线ac和bd互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)过程的状态,s=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,s 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,d=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkd(k=1,2, n), 使sks, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,s=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。,3. 人口增长模型,问题分析,通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律（即某种类型的函数），再用函数拟合的方法确定其中的未知参数。,模型1：线性增长模型,参数估计,求参数a和b，使得以下函数达到最小值:,其中xi是ti时刻美国的人口数。,可解得a和b，然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,模型2: 二次函数模型,求参数a,b,c，使得以下函数达到最小值:,其中xi是ti时刻美国的人口数。,可解得a,b,c, 然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,x=0:10:200; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5. 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; plot(x+1790,y,k.,markersize,20); axis(1790 2000 2 300); grid; hold on pause t=0:10:210; p1=polyfit(x,y,2); f1=polyval(p1,t); plot(t+1790,f1, bo-,linewidth,2); pause p2=polyfit(x,y,6); f2=polyval(p2,t); plot(t+1790,f2, ro-,linewidth,2);,多项式曲线拟合程序（2次、6次）,类型：属于生物种群繁殖这一大类问题 模型：malthus模型 （1798年）,求解：,即相对增长率为常数. 其中 ，b、d分别为个体的 平均生育率和死亡率.,结论：生物种群个体数量是按指数方式增长的,模型3: 指数增长模型,malthus模型求解：设人口数量n(t)和时间t的关系为,求 a,b使,最小,法方程组,令,clear;clf t=0:10:200; n=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5. 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; plot(t+1790,n,k.,markersize,20); axis(1790 2000 2 300); grid; hold on pause n=15; %以1790-1940年150年统计数据拟合malthus模型 a=sum(t(1:n); b=sum(t(1:n).*t(1:n); c=sum(log(n(1:n); d=sum(log(n(1:n).*t(1:n); a=n a;a b; b=c;d; p=inv(a)*b t=0:10:210; f=exp(p(1)+p(2)*t); plot(t+1790,f,ro-,linewidth,2),malthus模型求解程序,p = 1.5214 0.0252,模型：logistic模型（1838年）,求解：,变形：,（常数k为环境最大容纳量）,模型4: 阻滞增长模型(logistic模型),logistic模型求解：设人口数量n(t)和时间t的关系为,求 a,b使,最小,法方程组,令,clear;clf t=0:10:200; n=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5. 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; plot(t+1790,n,k.,markersize,20); axis(1790 2000 2 300); grid; hold on pause k=434;m=1./n-1/k; n=15; %以1790-1940年150年统计数据拟合logistic模型 a=sum(t(1:n); b=sum(t(1:n).*t(1:n); c=sum(log(m(1:n); d=sum(log(m(1:n).*t(1:n); a=n a;a b; b=c;d; p=inv(a)*b t=0:10:210; f=1./(1/k+exp(p(1)+p(2)*t); plot(t+1790,f,ro-,linewidth,2),logistic模型求解程序,p = -1.4769 -0.0275,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (case studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,7 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,8 matlab曲线拟合。,线性拟合 例：输入 x=1,2,3,4,5; y=2,3,5,2,1; cftool(x,y) 弹出拟合工具箱 如图：,点击fitting按钮弹出“fitting“窗口，点击newfit按钮, type of fit 栏中选择polynomial(多项式拟合)，再在polynomial栏中选择linear polynomial,点击apply曲线拟合窗口生成拟合直线如图