江苏2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.6对数与对数函数教师用书文苏教版.docx

2.6 对数与对数函数1.对数的概念一般地，如果a (a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR).(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a0且a1).(3)对数的换底公式logaN(其中a0，a1；N0，c0，c1).3.对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy).()(3)函数ylog2x及y3x都是对数函数.()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数.()(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限.()1.(教材改编)的值为_.答案解析原式.2.(2016常州期末)函数f(x)log2(x22)的值域为_.答案(，解析由题意可得x220，即x22(0，2，故所求函数的值域为(，.3.(2016课标全国改编)若ab0,0c1，则logca与logcb的大小关系为_.答案logcalogcb解析0cb0，logca0，得x1.5.(教材改编)若loga0且a1)，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，).题型一对数的运算例1计算下列各式：(1)lg 25lg 2lg lg(0.01)1；(2)2log32log3log383log55.解(1)原式lglg(52102)lg .(2)原式log322log3(3225)log3233log3(22322523)3log3323231.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若alog43，则2a2a_.(2)2(lg)2lg lg 5_.答案(1)(2)1解析(1)alog433log23log2，2a2a.(2)原式2(lg 2)2lg 2lg 5lg 2(lg 2lg 5)1lg 2lg 21lg 21.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是_.a1，c1; a1,0c1；0a1; 0a1,0c1.(2)(2016宿迁模拟)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是_.答案(1)(2)(，1)解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知f()g()，即2，所以a的取值范围为(，1).思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数ylogax(a0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是_.(2)已知f(x)|lg x|，若ab1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是_.答案(1)(2)f(c)f(a)f(b)解析(1)由题意ylogax(a0且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.中，y3x()x，显然图象错误；中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符.(2)先作出函数ylg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y|lg x|的图象，如图. 由图可知，f(x)|lg x|在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是f()f(a)f(b)，而f()|lg |lg c|lg c|f(c).所以f(c)f(a)f(b).题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3(2015天津改编)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_.答案cab解析由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)12，bf(log25)12log2514，cf(0)2|0|10，所以cab.命题点2解对数不等式例4(1)若loga1的解集为_.答案(1)(0，)(1，)(2)(1，)解析(1)当a1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以logalogaa总成立.当0a1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由logalogaa，得a，故0a1可转化为3x11x10x1，10，则不等式f(x)1可转化为x1x，0x1的解集是(1，).命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)log4(ax22x3).(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3).由x22x30，得1x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1ab0,0c1，则下列不等式正确的是_.logaclogbc； logcalogcb；accb.(2)(2016南京模拟)若a20.3，blog3，clog4cos 100，则a，b，c的大小关系为_.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是_.abc；bac；cba；acb.解析(1)对：logac，logbc，因为0c1，所以lg cb0，所以lg alg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以错；对：logca，logcb，而lg alg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以正确；对：由yxc在第一象限内是增函数，即可得到acbc，所以错；对：由ycx在R上为减函数，得ca201,0log1log3log1，log4cos 100bc.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbabc(3)1.(教材改编)给出下列4个等式：log2533log25；log2535log23；log84；4.其中正确的等式是_.(写出所有正确的序号)答案解析中log23，故不正确，都正确.2.设alog37，b21.1，c0.83.1，则a，b，c的大小关系为_.答案cab解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cab.3.函数y2log4(1x)的图象大致是_.答案解析函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除、；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除.4.(2016苏州模拟)已知函数f(x)则f(2 018)_.答案2 019解析由已知f(2 018)f(2 017)1f(2 016)2f(2 015)3f(1)2 017log2(51)2 0172 019.5.(2016连云港模拟)设f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.答案(1,0)解析f(x)为奇函数，f(0)0，即a1，a1.f(x)lg ，由f(x)0，得01，1x0，a1)在区间(， )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_.答案(0，)解析令Mx2x，当x(，)时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M(x)2，因此M的单调递增区间为(，).又x2x0，所以x0或xb1.若logablogba，abba，则a_，b_.答案42解析令logabt，ab1，0t0，则实数a的取值范围是_.答案(，1)解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0时，f(x)lg lg lg(x)，令t(x)x，x0，则t(x)1，可知当x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在x1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.11.(2016镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0的解集是_.答案(2,0)(2，)解析当x0时，f(x)f(x)log2(x)1, f(x)0，即log2(x)10，解得2x0时，f(x)1log2x，f(x)0，即1log2x2，综上，不等式f(x)2，n1，由基本不等式得()24(当且仅当m2n12，即m4，n3时等号成立)，从而mn7.故mn的最小值是7.13.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，上的最大值.解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，上的最大值是f(1)log242.14.(2016盐城模拟)已知函数f(x)ln .(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x2,6，f(x)ln ln 恒成立，