全国版高考数学第二章函数导数及其应用2.11.2利用导数研究函数的极值最值课时提升作业理.docx

利用导数研究函数的极值、最值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.当函数y=x2x取极小值时,x=()A.B.-C.-ln 2D.ln 2【解析】选B.令y=2x+x2xln2=0,解得x=-.2.(2016珠海模拟)函数f(x)=x2-lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在【解析】选A.f(x)=x-=,且x0,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,f(-1)0,不满足f(-1)+f(-1)=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x2-3x-4在0,2上的最小值是.【解析】f(x)=x2+2x-3,令f(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在0,2上的最小值是f(1)=-.答案:-【加固训练】已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值为3,那么此函数在-2,2上的最小值为.【解析】f(x)=6x2-12x,由f(x)=0得x=0或x=2,当x2时,f(x)0,当0x2时,f(x)0,所以f(x)在-2,0上单调递增,在0,2上单调递减,由条件知f(0)=m=3,所以f(2)=-5,f(-2)=-37,所以最小值为-37.答案:-377.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.【解析】因为f(x)=3x2+6ax+3b,所以所以f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:48.(2016泉州模拟)若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是.【解析】若f(x)=3x2-3=0,则x=1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-a0,所以当0x1时,y1时,y0,即函数y=f(x)-g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故函数y=f(x)-g(x)有极小值0,无极大值.(2)y=f(xg-2)=-=-5xlnx+6,令u=xlnx,当x时,u=lnx+10,所以u=xlnx在上单调递增,所以0ue,y=h(u)=u2-5u+6,h(u)图象的对称轴u=.h(u)在上单调递减,在上单调递增.h(u)min=h=-,又h(0)=6,h(e)=e2-5e+6,则h(u)max=6.所以所求函数的值域为.【加固训练】(2014江西高考)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a0得0x2,所以f(x)的单调递增区间为,2,+).(2)f(x)=(8x+4a)+=,令f(x)=0得x=-或x=-,f(x)在定义域上的单调性为上单调递增,上单调递减,上单调递增.从而需要讨论-,-与1及4的大小.当-4或-1,即a-40或-2a0时,f(x)在1,4上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8,解得a=-22,均需舍去;当-1且-4,即-10a-8时,f(x)在1,4上单调递减,故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8,解得a=-10或a=-6(舍去);当1-4,即-8a-2时,f(x)的最小值为f,因为f=0,所以不成立;当1-4,即-40a0,f(x)=1-+,由函数f(x)在定义域上是增函数得,f(x)0,即a2x-x2=-(x-1)2+1(x0).因为-(x-1)2+11(当x=1时,取等号),所以a的取值范围是1,+).(2)g(x)=ex,由(1)得a=2时,f(x)=x-2lnx-+1,且f(x)在定义域上是增函数及f(1)=0,所以,当x(0,1)时,f(x)0,所以当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,+)时,g(x)0),此时f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令f(x)0,解得x,所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)F(x)=+x-lnx=xlnx+x.由F(x)=2+lnx,得F(x)在(0,e-2)上单调递减,在(e-2,+)上单调递增.所以F(x)F(e-2)=-e-2.(3)f(x)=2(x-a)lnx+=(2xlnx+x-a),令g(x)=2xlnx+x-a,则g(x)=3+2lnx,所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)g=-2-a.当a0时,因为函数f(x)无极值点,所以-2-a0,解得a-2.当a0时,g(x)min=-2-a0,即函数g(x)在(0,+)上存在零点,记为x0,由函数f(x)无极值点,易知x=a为方程f(x)=0的重根,所以2alna+a-a=0,即2alna=0,a=1.当0a1时,x01时,x01且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0;当a=1时,x0=1,此时函数f(x)无极值.综上,a-2或a=1.(20分钟40分)1.(5分)已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选A.因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc,又(b,c)为函数y=3x-x3的极大值点,所以c=3b-b3,且0=3-3b2,所以或所以ad=2.2.(5分)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a,所以02.当0x0,f(x)在上单调递增;当x时,f(x)0),当m0时,f(x)0,f(x)在区间1,e上为增函数,f(x)有最小值f(1)=-m=4,得m=-4,与m0矛盾.当m0时,若-m-1,f(x)在区间1,e上单调递增,f(x)min=f(1)=-m=4,得m=-4,与m-1矛盾;若-m1,e,即-em-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4,解得m=-e3,与-em-1矛盾;若-me,即m0)上的最小值.【解析】(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e,所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:xf(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增当t时,在区间上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tlnt.当0t0).(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值.(2)若f(x)0在0,+)上恒成立,求a的取值范围.(3)证明:.【解题提示】(1)x=1是函数f(x)的一个极值点,即f(1)=0.(2)f(x)0在0,+)上恒成立,即f(x)min0.(3)证明,利用(2)的单调性进行证明.【解析】(1)因为f(x)=ln(1+x)-(a0),所以f(x)=,因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以f(1)=0,即a=2.经检验a=2满足题意.(2)因为f(x)0在0,+)上恒成立,所以f(x)min0.当0a1时,f(x)0在0,+)上恒成立,即f(x)在0,+)上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0成立,即01时,令f(x)0,则xa-1,令f(x)0,则0xf(a-1),矛盾.综上,a的取值范围为(0,1.(3)要证e.两边取自然对数得,2015ln1lnln-0ln-0,由(2)知a=1时,f(x)=ln(1+x)-在0,+)上单调递增.又0,f(0)=0,所以f=ln-f(0)=0,所以f(x).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=2ax-ex,令f(x)-f(x)=ax(x-2)0.当a=0时,无解;当a0时,解集为x|x2;当a0时,解集为x|0x2.(