相似三角形的相关习题和知识点.doc

类型一：相似三角形的判定方法（一）.三角形中的平行线定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【经典例题1】如图，已知DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_ 【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折，使点A落在BC边上，且DE平行于BC，则下列结论中不成立是 （ ） A、角AED=角C B、AD/DB=DE/BCC、DE=1/2BC D、三角形ADB是等腰三角形【搭配练习2】如图在ABCD中P，Q三等分AC，DP的延长线交BC于E，EQ的延长线交AD于F，已知BC=18，求AF的长。 （2） 两角对应相等，三角形相似【经典例题1】如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，。【搭配习题】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由（3） 两边对应成比例，夹角相等，三角形相似【典型例题1】已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC【典型例题2】如图，ABC中，若abc=456,求证：ACB=2A 【搭配练习1】 如图，ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。 B 【搭配练习2】如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由（4） 三边对应成比例，三角形相似【经典例题1】 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）（A）（B）（C）（D）【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm,30cm,36cm，要估做一个与它相似的铁质三角形框架，现有长为27cm,45cm,的两根铁材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（ ）A,0 B,1 C,2 D,3【搭配练习2】如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：AEFCEA。（2）求证：AFB+ACB=45。 【搭配练习3】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上(1)判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由ACBFEDP1P2P3P4P5类型二：相似三角形的性质（1） 相似证线段成比例【典型例题1】如图，EFBC，若AEEB=21,EM=1,MF=2,则AMAN=_,BNNC=_【典型例题2】已知在ABC中，AD平分BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BECE.【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OGAB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GEGF.【搭配练习2】已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）（2） 相似证角相等【经典例题1】已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD【搭配练习1】如图一,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连结AE.(1)求证:AE/BC;(2)如图二,将(1)中等边三角形ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作三角形EDC该成相似于三角形ABC.请问:是否仍有AE/BC?证明你的结论。 （3） 相似证线段相等【经典例题1】直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG【搭配练习1】如图，RtABC中，ACB=90，AD平分CAB交BC于点D，过点C作CEAD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于点G，AEAD=16，AB。（1）求证：CE=EF。（2）求EG的长。【搭配练习2】已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。求证：OE=OF。（4） 相似得到两线平行【经典例题】已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD【搭配练习】如图，ABC中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线分别与AC，AB相交于E，F，求证：EFBC （四）相似中的面积与周长比【经典例题1】.已知平行四边形ABCD中，AEEB=12，求AEF与CDF的周长比，如果SAEF=6cm2,求SCDF.【搭配练习1】如图，ABC中，ADBC，连结CD交AB于E，且AEEB=13，过E作EFBC，交AC于F，SADE=2cm2，求SBCE，SAEF.【搭配练习2】如图，在梯形AGHB中，ABCDEFGH，且面积S1=S2=S3求证：AB2+GH2=CD2+EF2 类型三：相似中常见的图形（1）若DEBC（A型和X型）则ADEABC（2）射影定理 若CD为RtABC斜边上的高（双直角图形） 则RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB； （3）满足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当或ADAB=ACAE时，ADEACB 【搭配练习】1、如图1,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.2.如图2,ADEFBC,则图的相似三角形共有_对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=3 ,则BM=_.4.ABC的三边长为,2,ABC的两边为1和,若ABCABC,则ABC的笫三边长为_.5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_.6.如图4,RtABC中,C=900,D为AB的中点,DEAB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_.7.如图5,RtABC中,ACB=900,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD中,ADBC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,ADDB=23,则SADESABE=_.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰PQR,P=900,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,DEFGBC,ADDFFB=123,则S四边形DFGES四边形FBCG=_.14. 如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,SADE=1,则S四边形BCDE=_.15. 已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB.16.已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:ABBC=ACCD.17已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。求证:(1)CE2=AEEB ; (2) AEEB=EDEP18.已知，如图，在ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F （1）求证：ABCFCD；（2）若SFCD=5，BC=10，求DE的长。类型五：相似中常用的辅助线作法【能力提升部分】1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为（1）请你用含的代数式表示（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？2.如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围ADBEOCFxyy（G）3.如图，已知ABC是边长为6