《光学》课程教学电子教案 第四章 光波衍射与变换(135P).ppt

第4章 光波衍射与变换,光学 教案,赵建林 编著,普通高等教育“十五”国家级规划教材,高等教育出版社,高等教育出版社,高等教育电子音像出版社,4 光波衍射与变换,主要内容,4.1 衍射现象及其数学描述,4.2 菲涅耳衍射,4.3 夫琅禾费衍射,4.4 衍射光栅,4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,主要内容,1. 光的衍射现象,2. 惠更斯原理,3. 惠更斯-菲涅耳原理,4. 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分,5. 巴俾涅原理,6. 衍射现象的分类,(1) 波动的衍射现象,声波的衍射现象：,水波的衍射现象：,衍射现象的定义：波动的传播偏离直线传播规律的行为衍：滋生、繁衍、衍生,(2) 光波衍射的基本特征,几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布,障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.1 光的衍射现象,衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是传播条件不同而已。,衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，就必然伴随着衍射现象的发生。,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.1 光的衍射现象,(3) 波动的衍射与直射之关系,惠更斯原理的表述：在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。,光的直线传播定律的解释：,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.2 惠更斯原理,入射光：折射率n1，入射角i1，波面ab，速度v1,反射光：折射率n1，折射角i1，波面ab，速度v1= v1,折射光：折射率n2，折射角i2，波面ac，速度v2,反射定律：,折射定律：,(4.1-1),(4.1-2),4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.2 惠更斯原理,反射和折射定律的解释：,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.2 惠更斯原理,衍射现象的定性解释：,(1) 惠更斯原理的局限性,(2) 惠更斯-菲涅耳原理,没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以用于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和相位大小。,菲涅耳对惠更斯原理的贡献：将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理,s：光源 s ：光源s发出的光波的任一波面 ds ：波面上位于q点的面元 n：面元d 的法线方向单位矢量 q0：光源s到点q连线与面元法线夹角 q：q点到场点p的连线与面元法线夹角,惠更斯-菲涅耳原理的表述：,波面s 上的每个面元ds 都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波，在与波面相距为r处的p点的光振动u(p)，等于所有球面子波在该点的光振动du(p)的相干叠加：,(4.1-3),4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理,按照菲涅耳的假设，q点处ds 面元发出的球面子波在p点的光振动复振幅：,(4.1-4a),(4.1-4b),或,k：比例常数；u0(q)：光源s在q点引起光振动复振幅； f(q0, q )：倾斜因子，随q0和q 的增大而减小。,p点总的光振动复振幅菲涅耳衍射积分式：,(4.1-5),4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理,基尔霍夫的数学结论（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）：,基尔霍夫边界条件：设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对应的波面面积为s0，则透过光屏的光振动满足：,(4.1-8),(4.1-7),(4.1-6),菲涅耳-基尔霍夫衍射积分：,(4.1-9),4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.4 菲涅耳基尔霍夫衍射积分,说明：, 当波面为以s点为中心的球面时， q 0=0，f(q0, q)=(1+cosq )/2，只与场点p相对波面的方位有关。,(4.1-10), 在傍轴条件下，cos0 cos1，f(0, )=1。,(4.1-11), 实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时s0表示光屏透光孔的面积，而函数u0(q)表示透过光屏开孔的波前上的光振动复振幅。,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.4 菲涅耳基尔霍夫衍射积分,假设：一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为sa和sb，且有s0= sa+sb，则由积分的线性和可加性可得,(4.1-12a),(4.1-12b),巴俾涅原理：由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。,即,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.5 巴俾涅原理,已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振幅分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有相同的形状，只是中心点的强度大小不同而已。,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.5 巴俾涅原理,巴俾涅原理的意义,(1) 菲涅耳衍射：近场衍射,产生条件：衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远,场点与衍射屏上的次级点源之距：,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.6 衍射现象的分类,场点的傍轴条件：z2 x2, y2,次级点源的傍轴条件：z2 x02, y02,衍射积分式：,(4.1-13),图样特点：光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关,观察方式：球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察,平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.6 衍射现象的分类,产生条件：狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远,广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面,场点与衍射屏上的次级点源之距：,衍射积分式：,场点的远场条件：|z| x2/l, y2/l,次级点源的远场条件：|z| x02/l, y02/l,(4.1-14),4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.6 衍射现象的分类,(2) 夫琅禾费衍射：远场衍射,图样特点：光强分布与照明方式及观察位置无关,观察方式：远场或光源的共轭像平面上,说明：,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.6 衍射现象的分类,菲涅耳衍射衍射属于近场衍射，夫琅禾费衍射属于远场衍射。 由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。 处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量叠加法。 可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。,菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,4.1.6 衍射现象的分类,本节重点,4.1 衍射现象及其数学描述,4 光波衍射与变换,1. 光的衍射现象的物理实质,2. 惠更斯原理的表述,3. 惠更斯-菲涅耳原理的表述,4. 巴俾涅原理的物理意义,5. 菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,主要内容,1. 圆孔的菲涅耳衍射,2. 圆盘的菲涅耳衍射,3. 直边及单缝的菲涅耳衍射,4. 任意形状屏的菲涅耳衍射,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,(1) 菲涅耳衍射的实验观察,衍射图样位置：衍射屏后的某个平面,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,(2) 菲涅耳半波带法,取波面顶点（或圆孔中心点）o到观察场点p的距离为b，以场点p为球心，分别以b+l/2、b+l、b+3l/2、为半径作球面，将透过小孔的波面（或波前）截成若干环带菲涅耳半波带或菲涅耳波带（简称波带），使得相邻两个波带的边缘点到p点的光程差等于半个波长，即,波带分割原则：,波带的面积及半径计算：,考察第k个波带（图4.2-2），设其边沿点mk的高度（即环带半径）为k，相应的垂足点ok到波面顶点o的距离（即第k个波带外边沿环绕的球面的高度）为hk，则该波带外边沿环绕的波面的面积为,(4.2-1),4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,考察直角三角形smkok和 pmkok：,(4.2-2),lb时：,代入式（4.2-1），得,(4.2-3),4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,同样可求得第k-1个波带的边沿环绕的波面面积：,(4.2-4),由sk-sk-1得第k个波带的面积：,(4.2-5),考虑到hkb, r，得第k个波带的半径：,(4.2-6),对于半径为的圆孔，被限制的波面可分割的波带数目：,(4.2-7),4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,结论菲涅耳半波带的特点：, 相邻波带的对应部分在p点引起的光振动相位相差，故在p点干涉相消, 所有波带的面积近似相等（bl时），且等于：, 第k个波带的半径：, 被圆孔限制的波面（波前）所能分割出的波带数目：,p点合振动振幅大小的计算：,假设：同一波带上各点到p点的距离相等,同一波带上各面元的法线与该面元中心到p点连线的夹角相等,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,(4.2-8),任一波带在p点产生的光振动的振幅仅仅与该波带到p点的距离及方向角有关，即随着波带级数的增大而单调地减小，可表示为：,相应的振动相位依次为：f0，f0+p，f0+2p，f0+3p， f0+(k-1)p，f0+kp。,由此可以得到：,同一波带上各面元在p点产生的光振动具有相同的振幅和相位；,由k个波带在p点引起的合振动的振幅为：,(4.2-9),取奇数项：,，,，,及近似：,，,，,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,结论：,被圆孔限制的波面相对于场点p所能分割的波带数k的奇偶性决定了p点的光强度的极大或极小，k的大小又取决于照射光的波长l、波面的曲率半径r、圆孔的半径及衍射光屏到p点的距离b。,(4.2-10),则有：, 当波面相对于p点刚好分为奇数个波带时，p点的合振动振幅约等于第一个波带与第k个波带引起的振动之和的一半，即强度取极大值：,当波面相对于p点刚好分为偶数个波带时，p点的合振动振幅约等于第一个波带与第k个波带引起的振动之差的一半，即强度取极小值：,(4.2-12),(4.2-11),当波面相对于p点不一定刚好分为整数个波带时，p点的合振动的强度则介于极大值与极小值之间：iminiimax。,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射, 给定b、 r 、l、p点的衍射光强大小随波面的曲率半径大小r变化，即沿轴向移动光源或衍射屏时，p点的光强度出现亮暗交错变化。, 给定b、r、l，p点的衍射光强大小随孔的半径 r变化：,=1时：k=1，a(p)=a1=amax, =2时：k=2，a(p)=a1-a2 =amin, =时：k=，a(p)=a1/2,当波面不受限制时，即球面波在空间自由传播时，在p点引起的合振动之振幅等于第一个波带对应的波面在p点引起的光振动振幅的一半。按惠更斯原理，波面不受限制时服从直线传播规律。可见，波面受限的结果，使得前方空间的光场出现非均匀分布，即光强度交替变换的衍射图样。, 给定r、r 、l、p点的衍射光强大小随距离b变化，即沿轴向移动观察屏时，中心点的光强度出现亮暗交错变化。,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射, 当p点不在轴上时，仍可以借助于上述方法分割波带，只是分割出的各个波带的面积不再相等，从而使精确估计p点的合振动振幅及强度变得困难。,说明：, 由于衍射图样与光源点的位置有关，而实际光源总有一定的面积大小，故当光源面积较大时，其不同点引起的衍射场的非相干叠加结果，将使得衍射图样的亮暗分布消失。因此，观察菲涅耳衍射时，要求照明光源的面积必须很小，以保证各光源点引起的衍射图样不致因相互错开而消失。,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,(4.2-13),菲涅耳波半带法的优缺点：,简便，但近似性较大，且仅适用于对称中心点的光振动大小的判断。,振幅矢量叠加法的基本思路：,将由菲涅耳波带法分割的每个波带再行分割，使被限制的波面细分为许多面积大小相等的细波带。即,振幅矢量叠加法的特点：, 相邻两细波带在p点引起的光振动的相位差恒定（设为d），但远小于p；,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,(2) 矢量图解法（振幅矢量叠加法）,或,(4.2-14),(4.2-15), 同一细波带各处在p点引起的光振动具有相同的振幅和相位，不同细波带在p点引起的光振动振幅随细波带序数的增大而单调减小，相位则按等差级数增大。于是，若将每个细波带在p点引起的光振动视为一个矢量，则合振动即合矢量可表示为,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射,将圆孔衍射屏换成一个半径相同的不透明圆盘衍射屏，则对于场点p而言，前k个波带被圆盘遮挡掉，从第k+1波带起，整个波面均透过衍射屏而在p点参与叠加，于是p点的总振动振幅为,(4.2-16),此外，根据巴俾涅原理，对于半径为r的不透明圆盘衍射屏，其在p点引起的光振动振幅应等于自由波场在p点所生光振动振幅与该波场透过同样半径大小的圆孔后在p点所生光振动振幅之差，即：,(4.2-17),4.2 菲涅耳衍射,3. 光的干涉与相干性,4.2.2 圆盘的菲涅耳衍射, 无论圆盘的大小和位置如何，其几何阴影中心始终为一亮点泊松点。随着圆盘半径减小，泊松点的强度增大。,说明：,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.2 圆盘的菲涅耳衍射, 若圆盘的直径很小，即rr1，则光波几乎可以完全绕过圆盘，此时在前方任一观察平面上，除几何阴影中心仍存在一个泊松点（亮点）外，其余各点的光强度均匀分布。, 泊松点的存在，是几何光学直线传播定律所无法解释的，但却进一步证实了光的波动特性。并且，它表明利用一个直径很小的圆盘可以将一个点源发出的球面波会聚于轴上一点。由成像的定义，该会聚点即光源点的共轭像点。因此，若在光源处放置一个平面物，则在圆盘后便可得到该物的共轭像。,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.2 圆盘的菲涅耳衍射,由于波面仅在垂直于直边或狭缝方向受到限制，而在平行于直边或狭缝方向不受限制，因此，可以想象一个直边或狭缝的衍射图样将在垂直于直边或狭缝方向出现强度的非均匀分布，而在平行于直边或狭缝方向仍服从自由传播时的强度分布特征。,4.2 菲涅耳衍射,3. 光的干涉与相干性,4.2.3 直边及单缝的菲涅耳衍射,考虑到任何复杂的几何形状都可以看成是由一小段一小段圆弧边或直边连接而构成的，就不难根据圆孔、圆盘、直边及单缝的菲涅耳衍射特点，联想到一个具有任意复杂形状开孔屏的菲涅耳衍射图样的大致特征。,4.2 菲涅耳衍射,3. 光的干涉与相干性,4.2.4 任意形状屏的菲涅耳衍射,图4.2-14 任意屏的菲涅耳衍射图样,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.4 任意形状屏的菲涅耳衍射,任意屏的菲涅耳衍射图样,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.4 任意形状屏的菲涅耳衍射,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.4 任意形状屏的菲涅耳衍射,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,4.2.4 任意形状屏的菲涅耳衍射,本节重点,4.2 菲涅耳衍射,4 光波衍射与变换,1. 菲涅耳半波带的分割原则,2. 振幅矢量叠加法的基本思路,3. 圆孔的菲涅耳衍射图样的特点,4. 圆盘的菲涅耳衍射图样特点,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,主要内容,1. 夫琅禾费衍射图样的观察,2. 单缝的夫琅禾费衍射,3. 矩形孔的夫琅禾费衍射,4. 圆孔的夫琅禾费衍射,5. 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,(1) 平面波照射,衍射图样位置：无限远或透镜l的像方焦平面上,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察,衍射图样位置：光源的共轭像平面上,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察,(2) 球面波照射,衍射图样位置：衍射屏后较远处的任一垂轴平面上,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.1 夫琅禾费衍射图样的观察,(3) 细激光束照射,(1) 衍射光场的形成机理,透过衍射屏的光场，可以看成是由被狭缝限制的波面上每一点发出的球面子波的叠加。由于每个球面子波均包含各种方向的光线，因此透射光场也可以看成是各种具有不同方向的平面波的叠加，并且每个方向的平面波均来自所有子波的贡献。同一方向平面波在无限远或透镜的像方焦平面上会聚于同一点，满足相长干涉条件时，该点为亮点；满足相消干涉时，该点为暗点。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,垂直照射时的中心点p0（线）：总的叠加光振动复振幅来自所有子波中平行于光轴部分的贡献，并且各部分具有相同的相位延迟，故该点（线）处出现相长干涉，强度取极大值。,沿狭缝方向：波面不受限制，为自由波场，其强度分布反映了光源的几何像沿狭缝方向的分布特征点光源照明时为一亮点，线光源照明时为一亮线。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,(2) 衍射光场分布的定性分析菲涅耳半波带法,(4.3-1),被狭缝限制的波面相对于p点可分割出的半波带数目：,(4.3-2),结论：n=2j+1，即asinq=(2j+1)l/2时（j=0, 1, 2, 3, ），p点为强度极大值；,n=2j，即asinq=jl时（j=1, 2, 3, ），p点为强度极小值；,n=0，即q=0时，p点为强度最大值。,垂直于狭缝方向的任意点p（线）：,假设：狭缝宽度为a，观察场点p与透镜光心连线的方位角为q相应平面波分量的方位角。过狭缝边沿点b作该平面波的横截面bc，则狭缝上两边沿点a、b发出的子波在p点的光程差（空气中）：,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射, 被狭缝限制的波面相对于p点可分割为无数个宽度为dx0的等面积细波带, 同一细波带上各点在p点引起的光振动振幅和相位相同, 单位宽度的波面具有的光振动振幅为a0/a, 位于狭缝中心点处的细波带在p点引起的光振动初相位为0,宽度为dx0的细波带在p点引起的光振动振幅：,(4.3-3),相邻细波带发出的子波在p点的相位差：,(4.3-4),假设：,结果：,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,(3) 衍射光场分布的定量分析振幅矢量叠加法,距离狭缝中心点为x0处的细波带在p点引起的光振动初相位和复振幅：,(4.3-5),(4.3-6),所有细波带在p点的叠加光振动复振幅及光强度：,(4.3-7),(4.3-8),式中：,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,讨论：, 极大值与极小值条件,强度主极大值位置：a=0，或q=0；主极大值强度：i(p)=i(p0)=imax,强度极小值位置：a=jp，或,，j=1, 2, 3, ,(4.3-9),极小值强度：i(p)=0=imin；,强度次极大值位置：,由,得：,.,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,暗条纹的角位置（傍轴条件下，即q很小时）：,(4.3-10),暗条纹角间距（相邻两个暗纹中心对透镜光心的张角）亮条纹角宽度,主极大值亮纹角宽度：,(4.3-11a),(4.3-11b),(4.3-12a),(4.3-12b),线宽度：,次极大值亮纹角宽度：,线宽度：,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射, 条纹间距与宽度,结论：单缝夫琅禾费衍射图样的强度分布随衍射角度按函数关系sin2(a/a2)变化；相邻暗条纹中心的角（线）间距相等，因而所有次极大值亮纹的角（线）宽度相等，但主极大值亮纹的角（线）宽度为次极大值的两倍；相邻次极大值亮纹中心不等间距，但随着衍射级次的增大，相邻次极大值亮纹中心的间距趋于恒定；亮条纹的宽度（或相邻暗条纹中心的间距）与狭缝宽度成反比，与照射光的波长及透镜焦距成正比。采用白光照明时，除中央主极大值亮条纹为白色外，其余各级次亮条纹均为彩色条纹，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色终止。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,衍射的实质：逆反性狭缝宽度越窄，表明照射光波受到得限制越强烈，因而衍射图样展开范围越大。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.2 单缝的夫琅禾费衍射,矩形孔：两个正交迭置的狭缝（设宽度分别为a、b）,衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射光场的乘积,假设：, 被限制的波面相对p点可分为无穷多个面积为dx0dy0的相同面元, 同一面元上各点在p点引起的光振动振幅和相位相同, 孔中心点处面元在p点引起的光振动初相位为0, 单位面积的波面在p点引起的光振动振幅为a0/ab,面元dx0dy0在p点引起的光振动振幅：,相邻面元发出的子波在p点的相位差：,(4.3-14),(4.3-13),4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射,以矩形孔中心点为原点，则位于（x0, y0）处的面元在p点引起的光振动初相位和光振动复振幅分别为：,(4.3-15),(4.3-16),透过矩形孔的波面上的所有面元在p点引起的总的光振动复振幅及光强度：,(4.3-18),(4.3-17),式中：,u(p0)=ka0。,，,，,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.3 矩形孔的夫琅禾费衍射,(1) 定性分析,(4.3-19),单缝矩形孔多边形孔圆孔,(2) 定量分析, 强度分布,假设：圆孔的半径为a，被衍射孔限制的波前单位面积在p点引起的光振动振幅为a0/pa2。,结果：衍射孔平面上（j, r）处ds面元上的子波在观察平面上p点的光振动复振幅：,式中：ds=rdrdf，,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射,(4.3-20),p点的总复振幅和总光强度：,(4.3-21),i(p0)：中心点的强度；j1(a)：第一类一阶贝塞尔函数；,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射,中央极大值位置：a=0，q=0,次极大值位置：sinq1=0.819l /a sinq2=1.333l /a sinq3=1.84l /a,极小值位置： sinq1=0.610l /a sinq2=1.116l /a sinq3=1.619l /a, 图样特征,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射,(4.3-23),艾里斑：圆孔夫琅禾费衍射图样的中央亮纹,角半径：,线半径：,(4.3-22),当采用图4.3-2(b)或图4.3-3光路观察时，艾里斑的线半径：,(4.3-24),结论：衍射反比性质：l11/a，f （l）。,艾里斑与几何像点： la/f （la/l）， dl10,圆盘与圆孔衍射的异同点：中心亮点强度不同，其余相同。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.4 圆孔的夫琅禾费衍射, 艾里斑及半角宽度,(1) 衍射图样的形成机制,单色点光源s经透镜l1准直后垂直照射在一双缝（孔）屏q上，透过双缝（孔）的衍射光波经透镜l会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,设狭缝宽度（圆孔半径）为a，两个狭缝（圆孔）的间距为d，根据单缝（圆孔）衍射和双光束干涉的特点可得出：, 透过每个狭缝（圆孔）的光波，均在透镜l的像方焦平面上形成一组振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其在pq 点的振幅大小：,单缝,圆孔,( ),( ),(4.3-25b),(4.3-25a), 两个狭缝（圆孔）产生的衍射光波彼此相干，在透镜l2的像方焦平面上形成等强度的双光束干涉，叠加点的相位差：,(4.3-26),(2) 衍射图样的强度分布,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,( ), 总的叠加光波复振幅：,双缝：,双孔：,(4.3-27a),(4.3-27b), 总的叠加光波强度分布：,双缝：,(4.3-28a),双孔：,(4.3-28b),4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,单缝衍射因子中央主极大值角宽度：,(4.3-32),圆孔衍射因子中央主极大值角宽度：,缝间干涉因子极大值位置：,缝间干涉因子极小值位置：,亮条纹的角宽度：,(4.3-29a),(4.3-29b),(4.3-30),(4.3-31),，j=0, 1, 2, 3, ,，j=0, 1, 2, 3, ,特点：由于ad，在单缝（圆孔）衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极大值和极小值点。,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,图4.3-15 双缝的夫琅禾费衍射图样,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,单缝与双衍射图样比较（仿真）,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,双缝（孔）的夫琅禾费衍射实际上是单缝（圆孔）的夫琅禾费衍射与双光束干涉的综合效应。双缝衍射图样实际上是受单缝衍射因子调制的双光束干涉图样。双光束干涉的结果，使得单缝（圆孔）衍射图样的背景上叠加了一组等间隔余弦平方型干涉条纹。从杨氏双缝（孔）干涉角度来讲，由于单缝（圆孔）衍射因子的存在，干涉条纹并不等强度，而是随着衍射角的增大而逐渐减小。只有当缝宽（圆孔半径）远远小于波长时，单缝（圆孔）衍射的中央亮纹的角宽度趋于无限大，且强度趋于均匀，从而使得在此中央亮纹区域内的双缝干涉条纹的强度近似相等。这就是说，杨氏双缝（孔）干涉图样实际上是位于单缝（圆孔）衍射中央亮纹区域内的双缝（孔）衍射图样在缝宽（孔径）较小情况下的一种极限形式 。,结 论,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,4.3.5 双缝与双孔的夫琅禾费衍射,本节重点,4.3 夫琅禾费衍射,4 光波衍射与变换,1. 夫琅禾费衍射图样的实验观察光路,2. 单缝的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点,3. 圆孔的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点,4. 艾里斑的特点及与圆孔大小的关系,5. 双缝与单缝、双孔与单孔的夫琅禾费衍射的联系,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,主要内容,1. 光栅及其结构特点,4. 正弦光栅的夫琅禾费衍射,2. 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,3. 闪耀光栅,5. 体光栅的布拉格衍射,6. 光栅的云纹效应,7. 塔耳博特效应,(1) 定义,狭义：平行、等宽且等间隔的多狭缝衍射屏（朗琴光栅）,广义：具有周期性空间结构的衍射屏,图4.4-2 正弦光栅,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.1光栅及其结构特点,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,(3) 光栅的特征参数,光栅常数（周期）：相邻栅线的间距，即空间周期的长度，以d表示,光栅频率：光栅常数的倒数1/d，以f0表示,(4) 光栅的用途,衍射分光，高频调制,(2) 分类,按照明方式：透射型（平面、三维），反射型（平面）,按调制光波方式：振幅型，相位型，混合型,按结构特点：矩形，正弦型，阶跃型,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.1光栅及其结构特点,(1) 衍射图样的形成机制,单色点光源s经透镜l1准直后垂直照射在一朗琴光栅g上，透过光栅的衍射光波经透镜l会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,设光栅的透光部分包含n个狭缝，每个狭缝宽度为a，相邻两个狭缝的间距（光栅常数）为d，透过单个狭缝的光波在p0点的振幅和强度分别为a0和i0=a02。根据单缝衍射和多光束干涉的特点可得出：, 透过每个狭缝的光波，均在透镜l的像方焦平面上形成一组振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其中透过第m个狭缝的衍射光波在p 点的振幅大小：,(4.4-1),( ), 相邻狭缝对应的衍射光波在叠加点的相位差相等，并且等于：,(4.4-2),( ),4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4.4-4), 各个狭缝引起的单缝衍射光波在透镜l的像方焦平面上形成等强度的多光束干涉，其在q 方向总的叠加光波复振幅和强度分布分别为,(4.4-3),缝间干涉因子：,单缝衍射因子：,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4.4-5),主极大值位置：,或,j=0, 1, 2, 3, ,主极大值强度：,中央主极大值强度：,(4.4-6),(4.4-7),（a=0）,极小值位置：,j=1, 2, 3, ，但 jn, 2n, 3n, ,(4.4-8),极小值强度：,(4.4-9),4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(2) 衍射图样的强度分布,次极大值位置：,(4.4-10),次极大值强度：,(4.4-11),讨 论：, 由于ad，在单缝衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极值点。相邻两个主极大值之间分布着n-1个极小值和n-2个次极大值。, 主极大值位置与狭缝数目无关，但其强度大小正比于狭缝数目的平方及单缝衍射强度因子。因此，一方面主极大值中心点的光强度随狭缝数目的增大而增大；另一方面，各级主极大值中心点的相对强度又按sinc2a形式分布，中央主极大值中心点的光强度最大。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,j=1, 2, 3, ，但 jn, 2n, 3n, , 随着狭缝数目的增大，次极大值强度越来越小，并以各主极大值点为中心向两侧依次减弱。当n很大时，最大的次极大值强度不超过主极大值的1/23。因此，一般情况下衍射光能量主要集中在各主极大值条纹上。, 若取狭缝数目n=2，则缝间干涉因子变为：,强度分布变为：,(4.4-12),多缝或光栅衍射实际上是受单缝衍射因子调制的多光束干涉。给定缝的间隔d后，强度主极大值位置即确定，单缝衍射因子并不改变主极大值的位置，只改变各级主极大值的强度。或者说，单缝衍射因子的作用仅仅在于影响衍射光强度在各级主极大值间的分配。,结论：,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,半角宽度：亮纹中心与其一侧相邻暗纹中心对透镜中心的张角，以dqw表示。,角间距：相邻亮纹中心对透镜中心的张角，以dqd表示。,(4.4-13),单缝衍射因子中央主极大值的角宽度：,光栅衍射第j个主极大值中心的角位置：,(4.4-14),相邻第一极小值的角位置：,(4.4-15),第j个主极大条纹的半角宽度：,(4.4-16),相邻两个主极大值条纹的角间距：,(4.4-17),4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(3) 光栅衍射条纹的半角宽度及角间距,结论：, 光栅衍射主极大值条纹的半角宽度正比于照射光的波长，反比于狭缝数目及光栅常数，并随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，主极大值条纹将变为一明细的亮线，即光栅的衍射谱线。, 相邻主极大值条纹的角间距正比于照射光的波长，反比于光栅常数，并随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，角间距远大于半角宽度（ dqjd dqjw），衍射图样为宽阔的暗背景下的一组锐细的亮线。, 当衍射角较小时，主极大值条纹的半角宽度和角间距近似为常数：,(4.4-19),(4.4-18),4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,光栅方程：平面衍射光栅在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件,(4.4-21),平行光垂直入射：,平行光斜入射：,， j=0, 1, 2, 3, ,， j=0, 1, 2, 3, ,(4.4-20),符号规则：以光栅法线为基准，入射光与衍射光位于同侧时，入射角q0前取正号；异侧时，取负号。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4) 光栅方程,缺级现象：衍射图样中亮条纹的缺位现象。,给定衍射角方向上相应级次的主极大值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位置重合。即该衍射方向同时满足条件：dsinq=jl和asinq=jl，故而受单缝衍射因子的调制，该级主极大值条纹强度等于0。,(4.4-22),缺级亮条纹级次：,缺级的原因：,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(5) 缺级现象,光栅方程只表示了在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件，即使该条件已得到满足，但同时在该方向又满足单缝衍射的极小值条件，则该方向上的主极大值将并不出现，即发生缺级现象。,结 论,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。,光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪摄谱仪、单色仪、分光计。,图4.4-8 光栅光谱仪原理,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(6) 光栅光谱,同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线；,随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠；,白光照射时，除中央0级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波长到长波长排列的连续光谱。, 光栅光谱仪的色散本领（色散率）衍射角随波长的变化率,角色散率：,线色散率：,(4.4-23),(4.4-24),结论：光栅光谱的色散本领与光栅常数及衍射光谱级次有关。衍射级次越高，光栅常数越小，色散本领越大。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射, 光栅光谱的特点, 光栅光谱与棱镜光谱的比较,棱镜光谱：非匀排光谱，只有一级。起因于折射率色散，q；,光栅光谱：匀排光谱（小角度），有多级。起因于衍射色散，q。, 光栅光谱仪的量程,由于光栅的衍射角最大不超过90o（q90o），故满足光栅方程的最大波长：lmaxd。表明光栅光谱仪的最大量程为光栅常数d。工作于不同波段的光谱仪要选用适当光栅常数的光栅备件。,为使相邻级次光谱不至于出现重叠现象，要求光谱仪工作波段第j级的上限（长波）lm与第（j+1）级的下限（短波）lm满足关系：(j+1)lmjm。满足这一关系的波长范围，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范围。对于1级光谱：lm lm/2。, 光栅光谱仪的自由光谱范围,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,由于透镜总是存在色差问题，实际光谱仪中都尽量避免适用透镜进行光谱成像，而是采用凹面反射镜来会聚衍射光谱。因为反射镜系统是理想的消色差系统。有的光栅光谱仪直接采用凹面反射式光栅，既作为分光器件，又作为成像器件，从而大大简化了光路系统。,说 明,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射,透射式光栅的缺点：0级主极大值条纹占有绝大部分光能量，仅有很少部分光能量分布于高级次条纹上。特别是当光栅狭缝数目很大时，高级次条纹的强度变得很小。,闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。,闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而把光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。,闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以qb表示。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.3 闪耀光栅,(4.4-25),单槽衍射的0级方向正好沿入射光方向返回。光栅衍射的0级主极大值中心位于-qb方向（与入射光线相对于光栅平面法线呈镜面对称）。相邻刻槽反射的光束在其反射方向的光程差为d=2dsinqb。对于波长为lb的单色成分，在该方向上出现相长干涉的条件是：,， j=1, 2, 3, ,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.3 闪耀光栅, 平行光束垂直刻槽表面入射,(4.4-26),由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为qb，单槽衍射的0级极大值不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角q0=2qb的反射方向。相邻刻槽表面反射的光束间的光程差变为：d=dsin(2qb)。因此，闪耀条件变为,， j= 1, 2, 3, ,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.3 闪耀光栅, 平行光垂直光栅平面入射,闪耀波长： b；闪耀级次：j。,闪耀光栅的特点：单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包括中央0级）都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而将80%90%的光能量都集中到b成分的第j级谱线上。当a取值很小时，单槽衍射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附近波段的光谱强度都得到提高。,结论：满足由闪耀条件时，波长b的第j级谱线将被转移到单槽衍射的0级极大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角qb的不同设计，可以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.3 闪耀光栅,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.3 闪耀光栅,正弦光栅：复振幅透过率具有正弦（余弦）函数形式的衍射屏,(4.4-27),(4.4-28),一维正弦光栅：,正交正弦光栅：,f0=1/d，fx=1/dx，fy=1/dy：光栅的空间频率，大小等于光栅常数的倒数。,一维正弦光栅的夫琅禾费衍射：,设单位振幅平面光波垂直照射一维正弦光栅，则透射光波复振幅表示为,(4.4-29),4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射,结论：垂直入射的平面光波被一维正弦光栅衍射后，分解为三束方向不同的平面光波（空间频率分别为0和f0）。其中，第一项代表0级衍射，衍射角：q0=0；第二项代表+1级衍射，衍射角：sinq+=f0l=l/d；第三项代表-1级衍射，衍射角： sinq-=-f0l=-l/d 。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射,体光栅：具有三维空间周期性结构的衍射体，厚度远大于空间周期。,举例：晶格点阵、体全息图、由超声波或光波在透明介质中形成的空间周期性折射率或密度分布。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.5 体光栅的布拉格衍射,相邻界面反射的两束光波间光程差：,(4.4-30),布拉格条件反射光波发生相长干涉的条件，即：,一维体光栅可等效为一组透明的等间隔平行界面。光波进入介质后，将在每个界面上发生反射和透射，自各个界面透射的光波相位相同，与界面间距即光栅常数无关，其叠加结果形成0级衍射极大值。自不同界面反射的光波相位有可能不同，其叠加结果与光波入射角a或掠射角a有关。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.5 体光栅的布拉格衍射,体光栅的衍射特点：, 布拉格条件是描述体光栅衍射的基本方程，又称布拉格方程。对于给定的光栅常数，不同波长满足布拉格条件所要求的掠射角不同。或者说，给定波长情况下，只有方向满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。另一方面，给定光栅常数和入射方向情况下，只有波长满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。此即布拉格衍射的方向和波长选择特性，是体全息再现、声光调制器以及光纤光栅的理论基础。, 体光栅的三维结构特点，决定了其光栅常数往往不是唯一的。对于给定波长，在给定入射光方向情况下，会出现多级布拉格衍射条纹，这些条纹的产生起源于不同取向且不同光栅常数的空间结构。晶体的x射线衍射，正是利用这一原理，通过对给定波长x射线经晶体的衍射光谱分析，从而确定出晶体结构特征和晶格常数。,说明：,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.5 体光栅的布拉格衍射,云纹效应：两块光栅（或网状结构）叠置时出现的几何投影条纹，又称莫阿条纹。,如果把等间隔平行排列的光栅栅线（狭缝）看成是单色平面光波的一组等相位面，则莫阿条纹可以看成是两列单色平面光波叠加时形成的干涉条纹。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.6 光栅的云纹效应,(1) 第一类云纹（第一类莫阿条纹）,定义：两个栅线平行但光栅常数略有不同的光栅叠置时产生的条纹图样。,条纹特点：, 透光部分形成亮纹，不透光部分形成暗纹；, 条纹排列方向平行于光栅栅线方向；,可见，两光栅常数d和d相差很小时，莫阿条纹的间距dx可以很大。此即第一类云纹效应的光学放大原理。, 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动一个条纹间距。,4.4 衍射光栅,4 光波衍射与变换,4.4.6 光栅的云纹效应,(2) 第二类云纹（第二类莫阿条纹）,定义：两个空间频率（或光栅常数）相同但栅线相对有一很小转角的光栅叠置时产生的条纹图样。,条纹特点：, 透光和不透光部分分别形成亮纹和暗纹,