梁瑞朝利用变换转化策略解决数学问题.docVIP

利用变换转化策略解决数学问题(贵州省遵义市第十一中学 梁瑞朝)摘要：所谓变换转化策略，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。它作为一种基本的思想方法在数学应用中具有重要地位。转化是一种常见的极其重要的解决问题的策略。关键词：变换转化 策略 问题正文：变换转化策略是把未知问题转化为已知问题、复杂问题转化为简单问题、陌生问题转化为熟悉问题、困难问题转化为容易问题的达到最终目的。俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题.一、曲面向平面转化：对于初中学生而言，空间想象能力有限，遇到曲面问题解决起来往往比较困难。而我们将曲面转化为平面，再来解决相关问题的话，就会容易得多。例1、如图1，无盖圆柱体玻璃容器，高15cm，底面圆周长为40cm上口左侧点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的下底右侧点E处有一只虫子不能爬动，试求急于捕获虫子充饥的蚂蚁，所走的最短路线的长度。（蚂蚁不能从底面经过）【分析】如图2,将圆柱体侧面展开得矩形ABCD中，图2图1AB=15cm,BC=40cm， 则BE=20cmAE= =25（cm） 此题在义务教育课程标准北师大版教材数学 八年级教材上册有类似的例子。蚂蚁从A点到E点的路线有多种走法，关键是哪一种走法的路线最短。把立体图形转为平面图形，将曲线问题转化为平面路线问题，能正确地找出最短路线，准确地利用勾股定理，求出最短路程。二、追本溯源：在数学知识的学习过程中，都是循序渐进、从最基本的知识开始，在想复杂的内容专研。而往往复杂的问题都是有一些基础的问题组成，因此、在遇到复杂问题时，我们将它分解成一些基本问题，逐个解决，就会水到渠成。例2、探究：多边形的内角和为（n-2）180o【分析】如下表格：图形从一个顶点引对角线条数三角形的个数所有三角形的内角和多边形的内角和四边形 1 2 2180o 2180o五边形 2 33180o3180o 六边形 3 44180o4180o n边形（n-3）（n-2）（n-2）180o（n-2）180o在课堂上，我进一步引导学生思考、分析后还得出了如下两种转化形式：从以上探究过程可以体会到：不管辅助线怎么作，解决此问题我们都是从特殊的图形（四边形、五边形、六边形）出发，把求多边形的内角和转化为三角形的内角和，探求规律。总之，将复杂问题转化为基本的问题，寻求解决问题的途径，从而使问题得以解决。解法巧用变换转化策略，这也表明要充分掌握和变换转化策略这种基本的思想方法，需要我们在实际解题过程中灵活应变。三、平移变换、数形转化：通过平移变换，可化分散为集中。运用数形结合思想，将代数问题转化为几何问题，使得原本比较抽象的数学符号转化为直观形象的几何图形，把问题变难为易。例3、已知，如图CA=2，AB=12，BD=3，CAAB于A，DBAB于B, 求CD的长。【分析】 将线段BD向左平移，使点B与点A重合，使点D移至点D处，再将线段AB向下平移，使点A与点D重合,则CDD为Rt。且D=90。则CD=CA+BD=2+3=5在RtCDD中=13通过平移变换，将分散的线段集中到了一个直角三角形中，把问题转化成了求直角三角形的斜边，运用勾股定理即可。有了解决上题的基础，我们就可以运用变换转化策略巧妙解答下题了例4、若 ，求 的最小值。【分析】如图作线段 AB=12cm, 在线段AB上任取一点P，设AP=x ，BP= y, 作RtAPC和RtBPD，使AC=2, BD=3， PBD=90,CAP=90则，由图可知，欲求 的最小值，即是求线段CP与PD的长度之和的最小值。显然此最小值为线段CD的长，即为13。在例4的解答过程中，先将代数问题转化成了几何问题；在通过平移变换，将问题转化到直角三角形当中求解。例5、如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于A、B两点，其中点A坐标为（-2,3）（1）求一次函数的解析式及点B的坐标。（2）求AOB的面积 【分析】 （1）将点A坐标（-2,3）代入 得-（-2）+b = 3 ,b = 1 一次函数的解析式为：y = -x+1而= 时解得 所以点B的坐标为(3,-2)这一过程、借已知点的坐标求出函数解析式，再利用函数解析式求出未知点的坐标。实现了数形的相互转化。（2）y = -x+1 ，当y = 0 时有 x=1 点C的坐标为（1,0）SAOB = SAOC+ SBOC=这里运用数形结合的思想，通过观察、分析、思考，将求三角形面积的问题转化成了求点的坐标的问题，从而得以解答四、从特殊转化到一般：只要待求的一般性问题A与已解决的特殊性问题B之间搭上桥，我们就可以找到解决问题的简单方法。例6、如图，在一块水平方向长为a，竖直方向为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，小路任何地方的水平宽度都是1，求种草面积是多少？【分析】在解答这个问题之前，我们可以先看看下面几个图形对于图形1，常规想法是用整块地的面积减去柏油路的面积，学生并不觉得有什么难度，很容易就得出正确答案（ab-b）。如果思路只停留在常规解法的层面上，图形2就稍微要难一点了，因为柏油路从图1的矩形变成了平行四边形；图形3和图形4就更不好做了；而例6就更难。但是，如果我们把上面几种情形中的柏油路都取出来，把种草部分拼在一起的话，问题就豁然开朗了。如下面的图（为了让学生更加容易理解，我利用多媒体做了动画课件，在课堂上给学生演示了这一过程。） 将左边部分的草地向右平移1，正好与右边部分的草地组成一块矩形草地.它的竖直方向的长没变，而水平方向的长度就等于原来的长度减去柏油路的宽度 所以草地的面积为b(a-1)。在对问题进行转化时，可采用具体化的变换方式，使某个抽象的问题形象化，从而在某种具体意义的指导下，讨论问题，寻求解答。有时，也可将某一问题的具体内容暂时舍弃，仅关注它的关系和机构，形成为一个纯粹的数学问题进行讨论，做到抽象问题具体化，具体问题抽象化。总之，变换转化策略转化的关键是要能根据具体的问题