理论力学陈立群第10章能量方法习题解答.doc

第十章质点系动力学能量方法 习题解答题10-1图10-1半径为r的匀质圆轮质量均为m，图（a）和（b）所示为轮绕固定轴O作定轴转动，角速度为；图（c）为轮作纯滚动，轮心速度为。试写出它们的动能。解：（a）匀质圆轮作定轴转动，对O点的转动惯量为 ，动能为。 （b）匀质圆轮作定轴转动，对O点的转动惯量为 ， 动能为。（c）匀质圆轮作作纯滚动，动能为题10-2图10-2匀质杆OA长l，质量为m，绕O点转动的角速度为；匀质圆盘半径为r，质量也为m。求下列三种情况下系统的动能：（1） 圆盘固结于杆；（2） 圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为；（3） 圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为。解：（1）圆盘固结于杆。对O点转动惯量为动能为（2）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为，则圆盘作平移，质心速度为。动能为： T=T杆+T盘=（3）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为，则圆盘的角速度为。T=T杆+T盘= 。 题10-3图10-3质量为m1的匀质杆，长为l，一端放在水平面上，另一端与质量为m2、半径为r的匀质圆盘在圆盘中心O点铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v。求系统在此位置的动能。解：杆作平移，动能为 ； 圆盘作纯滚动，动能为 ； 总动能为 。题10-4图10-4一小方块在倾角为的斜面上，高度为h处无初速地滑下，到达水平面后经过距离l而停住。设方块从斜面滑到水平面上时，在B处速度的大小不变。已知，求方块与接触面间的摩擦因数。解：小方块在运动过程中，初速度，末速度；重力的功 ，摩擦力的功分两部分：其一为在斜面上。法向反力为，斜面长为，摩擦力的功为 ；其二为在水平面上。法向反力为，水平面上距离为，摩擦力的功为 ；由动能定理得 ，解得。题10-5图10-5一质量为10 kg物体在倾角为30的斜面上无初速地滑下，滑过1 m后压在一弹簧上，使弹簧压缩10 cm。设弹簧刚度为50 N/cm，求重物与斜面间的摩擦因数。解：物体在运动过程中，初速度，末速度；重力的功 ；摩擦力的功为：； 弹簧力的功：由动能定理得 ，解得，将数据代入，得 .题10-6图10-6一复摆绕O点转动如图示。复摆的质量为m，对其质心C的回转半径为。设，问当x为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。解：复摆对O点的转动惯量为，动能为 ，仅重力做功，由动能定理得：，解出 。令，解得 ，从而有 。题10-7图10-7质量均为m，半径均为r的匀质圆盘和圆环，放在倾角为的斜面上，圆盘和圆环同时从静止开始在斜面上作纯滚动。试分析圆盘和圆环哪一个先到达地面？解：设圆盘质心的速度为，圆环质心的速度为，则圆盘的动能为，圆环的动能为，重力的功为，为圆盘或圆环的质心沿斜面滑过的距离。由动能定理：，得圆盘：；圆环： 。解得，。因，所以圆盘先到达地面。题10-8图10-8图示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力F = 52 kN，工作行程s = 10 mm，飞轮的转动惯量J = 40 kg m2 ，转速n=415 r/min。假定冲压工件所需的全部能量都有飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。解：飞轮的动能：，工作阻力的功：，由动能定理，导出，代入数据，得冲压结束后飞轮的转速为.题10-9图10-9重物A质量为m1，系在绳索上跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上，滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，对O轴的回转半径为。当重物A下降时，滚子C沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物A的加速度。解： 取整个系统为研究对象，自由度为1。设重物速度为，则轮的角速度 ，轮心速度为 。系统的动能为 。运动过程中仅重力做功，为重物下降的距离。由动能定理，为初始动能。得 .等式两边对时间求导，注意到，导出：。题10-10图10-10匀质圆盘质量为m，半径为r，可沿水平面作纯滚动，刚度系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心相连。已知弹簧为原长时圆盘的角速度为，试求：圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量、圆盘的角加速度以及圆盘与水平面间的摩擦力。解：取圆盘为研究对象，圆盘的初动能为：，弹簧变形为x 时圆盘的角速度为，动能为：。运动过程中仅弹簧力做功 。由动能定理，得。 （a）当圆盘向右运动到达最右位置时，导出弹簧的伸长量为。将式（a）等号两边对时间求导，注意到 ，得 ，当圆盘向右运动到达最右位置时，导出圆盘的角加速度，负号表示与角速度方向相反。此时，圆盘的受力如图示，由质心运动定理得， 导出：。题10-11图10-11质量为15 kg的细杆可以绕O轴转动，杆A端连接一刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度落到图示位置时的角速度。解：设杆落到图示位置时的角速度为，动能定理为 其中：，。代入后导出，代入数据后得，。题10-12图10-12平面机构由两匀质杆AB和BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作用一不变的力偶M，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A点的速度。解： 以杆AB和BO组成的平面机构为研究对象，自由度为1， 当杆端A即将碰到铰支座O时，。BO杆的动能为 ，AB杆的动能为，其中，功为：。由动能定理，得 ，解得 ，从而 。题10-13图10-13匀质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑槽互相垂直。设弹簧刚度为k，且当AB杆水平时弹簧为原长。若机构在时无初速地开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解：取系统为研究对象，系统的动能为 功为 由动能定理列出， 将数据代入，导出。为求AB杆的角加速度，杆在任意位置时，由动能定理列出， （a）将(a)式等号两边对时间求导，注意到，导出，将数据代入，得 .题10-14图10-14测量机器功率的动力计，由胶带ABCD和杠杆BF组成。胶带具有铅直的两端AC和BD，并套住机器滑轮的下半部，杠杆支点为O。借升高或降低支点O，可以改变胶带的张力，同时变更轮与胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量为3 kg 的重锤，使杠杆BF处于水平的平衡位置。如力臂l=500 mm，发动机转速n=240 r/min，求发动机的功率。解： 取杠杆BF为研究对象， ，发动机传递的力矩为 于是发动机的功率为 ，将数据代入，得P=0.369 kW.题10-15图10-15鼓轮B质量为m，内外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的匀质圆轮C相连，斜面倾角为，绳的倾斜段与斜面平行。试求：鼓轮的角加速度、斜面的摩擦力以及连接重物A的绳子的张力（表示为的函数）。解：一）取整个系统为研究对象，以鼓轮的转角为广义坐标，系统的拉氏函数为代入拉氏方程，解得 。二）取重物为研究对象，列出质点动力学方程：，其中 ，解得 三）取轮C为研究对象，由平面运动微分方程， ，解得 。10-16用拉格朗日方程解题10-9。解： 取整个系统为研究对象，自由度为1。选重物下降的距离为广义坐标，重物速度为，轮的角速度 ，轮心速度为 。系统的动能为 。势能为 。拉氏函数为 。代入拉氏方程，导出：。10-17用拉格朗日方程建立题10-10中圆盘的运动微分方程。解：取圆盘为研究对象，弹簧变形为x 时圆盘的角速度为，动能为：，弹性势能 。拉氏函数为，因L不显含t，所以存在能量积分，即 ，由初始条件得，代回原式当圆盘向右运动到达最右位置时，导出弹簧的伸长量为。 由拉氏方程，当圆盘向右运动到达最右位置时，导出圆盘的角加速度，负号表示与增大方向相反。摩擦力计算同式10-10。10-18用拉格朗日方程解题10-11。解：选杆与OA夹角为广义坐标，拉氏函数为其中，为位置上弹簧的伸长。因L不显含t，所以存在能量积分，即， （a）由初始条件得，。当时，。代入（a）式，导出 。10-19用拉格朗日方程建立题10-13系统的运动微分方程。解：取系统为研究对象，选为广义坐标，系统的拉氏函数为，存在能量积分：其中 。当时，导出：题10-20图列出拉氏方程当时，导出： 。10-20在图示系统中，匀质圆轮A的质量为M，半径为r；摆球B的质量为m，摆长为b；弹簧刚度为k；弹簧及杆AB的质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。若选取为广义坐标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程并写出其初积分。解：取系统为研究对象，自由度为2，选为广义坐标，动能和势能为题10-21图拉氏函数为,代入拉氏方程，导出。注意到，表明系统存在能量积分，即 10-21正方形匀质板的质量为40 kg ，在铅垂平面内用三根绳子拉住，板的边长为b=100 mm，如图示。求：（1）当软绳FG剪断后，木板开始运动的加速度，以及AD和BE两绳的张力；（2）当AD和BE运动到铅垂位置时，板中心C的加速度和两绳的张力。解：取板为研究对象，板作平移运动。一）在软绳FG剪断的瞬时。由平面运动微分方程得，。解得：，二）当AD和BE运动到铅垂位置时，由动能定理，列出解得 。再由平面运动微分方程得，解得：,.题10-22图10-22在图示机构中，物块A、B的质量均为m，两匀质圆轮C、D的质量均为2m，半径均为R。轮C铰接于无重悬臂梁CK上，梁的长度为3R，D为动滑轮，绳与轮间无滑动，系统由静止开始运动。求：（1）A物块上升的加速度；（2）EH段绳子的拉力；（3）固定端K处的约束力。解：一）以整个系统为研究对象，自由度为1，选为广义坐标，如图示。有 。系统的动能为 势能为 ，拉氏函数为 ，代入拉氏方程，得 ，解得 。二）取轮C为研究对象，加惯性力：，列动静方程，得 ，解得 。，解得 。三）取梁KC为研究对象，列平衡方程 ，；， ， ； ，题10-23图10-23在图示机构中，沿斜面滚动的匀质圆柱体和匀质鼓轮质量均为m，半径均为R。绳子不能伸缩，其质量略去不计。粗糙斜面的倾角为，不计滚阻力偶。如在鼓轮上作用一常力偶M。求：（1）鼓轮的角加速度；（2）轴承O的水平约束力。解：一）取整个系统为研究对象，选轮的转角为广义坐标。系统的初动能为，任意时刻动能为 ，功为 ，动能定理：，即 将上式对时间求导，得 ，解得 。二）取轮为研究对象，由定轴转动微分方程得 ，解得 。由质心运动定理得 ，解得 。题10-24图10-24图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以滑动。质量为m2的的匀质圆柱体O由静止沿斜面AB向下纯滚动，如斜面的倾角为。求三棱柱体的加速度。解：取整个系统为研究对象，自由度为2，选为广义坐标，如图示。系统的动能和势能为，代入拉氏方程，导出， 解得。题10-25图10-25匀