等腰三角形和勾股定理.doc

一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾1等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_；等腰三角形两底角_(即等边对_)；等腰三角形_合一；等腰三角形是_图形，它的对称轴是_。2等腰三角形的判定：有_边相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即等角对_）。3等边三角形的性质：等边三角形各条边_，各内角_，且都等于_；等边三角形是_图形，它有_条对称轴。4等边三角形的判定：有_边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是_的三角形是等边三角形。5直角三角形的性质：直角三角形两锐角_；直角三角形斜边上的中线等于_；直角三角形两直角边的平方和等于_（即勾股定理）。6直角三角形的判定：有一个角是_的三角形是直角三角形；有两个角_的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_的三角形是直角三角形。7直角三角形全等的判定：斜边和_ 对应相等的两个直角三角形全等。8角平分线的性质：在角内部到角两边_在这个角的平分线上。三、重点解析（易错点）1学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边，一看到直角三角形两边长为3和4就认为另一边一定是5； 勾股定理的证明 已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。 求证： 证明：4S+S小正= S大正= 根据的等量关系： 由此我们得出： 勾股定理的内容是： . 5“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。四、典题例析例1如图，在ABC 中，ADBC于D.请你再添加一个条件，就可以确定ABC 是等腰三角形，你添加的条件是_。例2已知如图，RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，试说明BM=DM成立的理由。例3如图，和都是等腰直角三角形，A、C、D三点在同一直线上，连结BD、AE，并延长AE交BD于F试说明的理由。例4：已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。例5如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长例6已知：在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD= ，求线段AB的长。例7甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？OAB例8将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.12090例9已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.例10已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。求证：ABC是直角三角形。 例11如图，在ABD中，A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，DBC是直角三角形吗？【巩固练习】A组 基础训练1如图1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_ （1） 2如图2，在等腰直角ABC中，B=90，将ABC绕顶点A逆时针方向旋转60后得到ABC，则BAC等于_ （2） （3） 3. ABC中，若A=B=C，AC=10 cm，则A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。4ABC中，C=90，AB=4，BC= ，CDAB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。 5 如图3，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC上的一点B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_米（精确到1米）6等腰ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_7如图4，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，则CDE=_ （4） （5） （6）9如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（ ） A44 B68 C46 D2210如图6，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）AL1 BL2 CL3 DL411如图7，在ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD则A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （7） （8）12同学们都玩过跷跷板的游戏如图8所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于（ ）A25 B50 C60 D13013.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做_？14、已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是_15、如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为,且 ；B组 能力提升1如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长2已知如图ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由3如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形C组 应用与探究1如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 （1）若AD=BE=CF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论 （2）若DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论2.某地附近有河流L1，公路L2和铁路L3，分布如图所示，现要选一个工厂，使得到L1，L2，L3的距离相等，请你运用数学知识帮助选择一个厂址课后作业： （基础练习）1、有三枝木棒其中两枝的长分别是5cm，13cm，已知这三枝木棒首尾相连，能组成一个直角三角形，则第三枝木棒的长可以是（ ）cm.A、3B、8C、12D、132、已知在ABC中，A=B C，则ABC为（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、以上都有可能3、在ABC中，A的相邻外角是110，要使ABC为等腰三角形，则底角B的度数是（ ）A、70B、55C、70或55D、604、下列判断正确的是（ ）A、 顶角相等的的两个等腰三角形全等B、 腰相等的两个等腰三角形全等C、 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D、 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ）A、中线上 B、角平分线上 C、高线上 D、不能确定6、已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=( )A、3B、4C、5D、67. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABC+DFE 的度数为 。8. 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于 . 9、在ABC中, A120，B30，AB4cm，则AC_。10、如图，在ABC 中，C90，AD平分BAC ，BC=12cm，BD=8，则D点到AB的距离为_11、如图,已知在ABC中,BC3，ACB和ABC的两条角平分线相交于点O，OEAB，OFAC，则OEF的周长是_ABCDE12、等腰ABC中，ABAC5，BC6，ADBC，CEAB。则EC=_13、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位。（1）请你在图1中画出两条平行线，要求每条直线至少经过两个格点（网格的交点），但是又不与网格线重合；（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形。（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，三边都不与网格线重合的直角三角形（4）请你在图4中画一条以格点为端点，长度为的线段。 图1 图2 图3图414、如图所示：已知BA=EA，BC=ED，B=E，1）请判断ACD是什么三角形，并说明理由？2）若点F是CD的中点，则AF平分CAD，请说明理由？15、已知点D是等腰ABC底边BC上的一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，若DE=DF，则点D是BC的中点。请说明理由。16、如图，ADBC中，A=B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，1=21）RtADE与RtBEC全等吗？请说明理由；2）ABADBC 3）CDE是不是直角三角形？请说明理由。17、如图1，D是边长为4的等边ABC的边AB上的一点，DQAB交边BC于点Q，RQBC交边AC于点R，RPAC交边AB于点E，交QD的延长线于点P。、请说明PQR是等边三角形的理由；图1、若BD=1.3，则AE= （填空）、如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度。 练习1、等边三角形的边长为2，则它的面积是 2、如下图，MNP中， P=60，MN=NP，MQPN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若MNP的周长为12，MQ=a，则MGQ周长是（） A8+2a B8+aC6+a D6+2aABCPP3、如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A= 度第4题图第3题图第2题图4、如图，ABC是Rt，BC是斜边，P是三角形内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，如果AP=3，那么PP的长等于 。第5题图5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已