振动和波动及超声波成像的物理原理

1,医学物理学,( Physics for Medical Sciences ),本科课程,重庆医科大学医学物理学教研室,2,第四章 振动和波动及超声波成像的物理原理 一、目的要求 掌握振动、波动和声波的基本规律，了解超声波的特性及其医疗应用。 二、教学内容(9学时) 简谐振动方程,谐振动特征量,谐振动的能量,同方向同频率谐振动的合成,旋转矢量法,频谱分析,互相垂直谐振动的合成,受迫振动*,共振*。波的产生和传播,简谐波的波动方程 波的平均能量密度、波的强度、波的干涉。声波 声压、声阻和声强，声强级和响度级。超声波的特性，多普勒效应，超声的医学应用,3,a 定义：,物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动,b 实例:,心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等,1 机械振动,c 周期和非周期振动,一 简谐振动(simple harmonic vibration),4-1 简谐振动,4,简谐振动单一频率、振幅恒定且无衰减的振动,谐振子 作简谐振动的物体,2 简谐振动,5,弹簧振子的振动,6,振动的成因,b 惯性,a 回复力,9,由,得,其中,10,图,图,图,取,11,简谐运动方程,1.振幅 A(amplitude),二 简谐振动的特征量,振动中的最大距离。,单位：m,12,2. 周期、频率(period,frequency),弹簧振子周期,周期,完成一次振动所需的时间,单位：s,13,频率,圆频率,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,单位时间内完成振动的次数。,单位：1Hz = 1次/秒,弹簧振子,14,位相的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 .,3.位相(phase),位相 (相位),初位相,决定t时刻振动运动状态的物理量。 单位：rad,15,质点的振动状态完全由位相确定,x =Acos( t+ ),( t+ )=0, x=A,v=0 正最大 ( t+ )在第1象限, x0, v 0 ( t+ )= 3/2, x=0, v0 平衡位置 ( t+ )在第4象限, x0, v 0 ( t+ )=2 , x=A, v=0 正最大,16,位相差：表示两个位相之差,（1）对同一简谐运动，位相差可以给出两运动状态间变化所需的时间,17,（2）对于两个同频率的简谐运动，位相差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.,初相差,18,同相和反相,当 = 2k , ( k =0, 1, 2,), 两振动步调相同,称 同相,当 = (2k+1) , ( k =0, 1, 2,), 两振动步调相反 , 称反相,19,超前和落后,若 = 2- 10, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,20,4. 常数 和 的确定,对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.,21,已知,求,图,取,22,例 一质点沿x轴作谐振动，周期T= s, t=0时，,求振动方程。,解：,+,代入：x =Acos( t+ ),23,自Ox轴的原点O作一矢量 ，使它的模等于振动的振幅A ，并使矢量 在 Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度 与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.,三 旋转矢量,24,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,25,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,26,以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.,27,28,用旋转矢量图画简谐运动的 图,29,例 已知 xt 曲线, 写出振动方程,解,2/3,4 /3,1,30,（1） 动能,(以弹簧振子为例),O x X,四 简谐振动的能量,31,（2） 势能,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.,O x X,（3） 机械能,32,简 谐 运 动 能 量 图,33,例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：,（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？,已知,（2）,解（1）,34,由,已知,；,(4)何处动势能相等?,求:(3),35,4 -2 阻尼振动（自学）,一. 阻尼,二. 阻尼振动的特点,四. 过阻尼、欠阻尼和临界阻尼,三. 阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线,36,一 两个同方向同频率简谐运动的合成,设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：,两振动的位相差 =常数,37,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动,38,（1）位相差,39,（2）位相差,40,（3）一般情况,加强,减弱,小结,（1）位相差,（2）位相差,41,例 两个同方向同频率的简谐振动,已知 A1=20cm, 合振动 A = 40 cm , 则 A2 =_。 合振动与第二个谐振动的位相差为_。,分析：由,知 ：A1 比 A2 超前 /2,42,解 合振动方程：x =Acos( t+ ),例 设分振动： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。,=0.5, = -36.860= -0.64rad,= -0.64+ =2.5rad, 合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm,已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= ,43,例 设分振动： x1 =0.4cos(2 t+/3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2/3 )cm， 求合振动方程。, =/3,解 已知：A1=0.4, A2=0.6, 1= /3, 2=-2/3,=0.2,+,=4/3= -2/3,x1与x2是反相的！, 合振动方程： x =0.2cos(2 t-2/3 ) cm,44,二 两个同方向不同频率简谐运动的合成,45,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,46,四 频谱分析,1. 一个周期性振动可分解为一系列频率分立的 简谐振动,若周期振动的频率为 : 0,则各分振动的频率为: 0, 2 0, 3 0, (基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ),47,方波的分解,48,2.一个非周期性振动可分解为无限,多个频率连续变化的简谐振动,频谱分析的应用十分重要，如脑电图曲线中，某些频率 成分的振幅大小在临床上有重要的意义；对心电图进行频谱分析，可以得知心脏功能的强弱。,49,振动和波动的关系：,机械波、电磁波,振动波动的成因,波动振动的传播,波动的种类：,本质不同，但具有共同特征：,都是由物质间的相互影响引起的。 以有限的速度传播，伴随着能量的传递。 都有干涉、衍射现象，横波有偏振。 服从共同的数学规律。,50,一 机械波的产生,能传播机械振动的媒质 （空气、水、钢铁等）,弹性媒质,作机械振动的物体（声带、乐器等）,波源,波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.,2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播,横波,纵波,非弹性波,51,52,NOTE:,(1)质元并未“随波逐流” , 波的传播不是媒质质元的传播，是位相的传播，能量的传播。 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现-波是振动状态的传播。 (4) 波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：相邻质点的振动位相依次落后。 (5) 横波：振动方向垂直于传播方向 （固体）。 纵波：振动方向平行于传播方向（固、液、气）。,53,横波与纵波,1 横波,特点： 波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直,54,特点：质点的振动方向与波传播方向一致,2 纵波（又称疏密波）,例如：弹簧波、 声波,55,水面波,水面上的波容易给人错误的印象,以为它是横波.,其实水面波传播时,水的微团(质元)沿椭圆轨道运动,长轴沿水平方向,短轴沿竖直方向,如图所示.,图中箭头表示某一时刻各个水微团相对其自身平衡位置的位置矢量,将各矢量连起来即显出波形,随着每个水微团的运动,位置矢量绕平衡位置旋转,但沿波传播方向相继落后一定角度.,水面波是由于水面表面张力和重力作用作椭圆运动的结果,所以水面波并非弹性波.,56,3 复杂波,（本章研究对象）,波源作简谐振动, 在波传到的区域,媒质中的质元均作与波源频率相同的简谐振动，这种简谐振动在介质中的传播过程就称为简谐波。,特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成,例如：地震波,57,二 波的几何描述,1. 波阵面（波面）：,振动位相相同的点组成的面,波阵面,球面：球面波 平面：平面波,点波源产生球面波,球面波在远处可看成平面波,58,平面波,波前,波线,波面,波 面,波线,波前,2. 波前：所有波阵面中最前面的那 一个波阵面叫波前。 波前的位置随着时间向前推进的。,3. 波线：发自波源，与波面垂直指向波的传播方向的射线,波阵面的推进即为波的传播.,59,三 描述波动的物理量,O,y,A,波传播方向上相邻两振动状态完全相同(位相差为2 )的质点间的距离（一完整波的长度).,1 波长,60,横波：相邻 波峰波峰 波谷 波谷,纵波：相邻 波疏波疏 波密波密,波数：n 波线上2 长度内包含波长的个数 n=2 /,61,2 周期 T,波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间.,3 频率,单位时间内波向前传播的完整波的数目. （1 内向前传播了几个波长）,62,波速完全由介质本身的性质决定。 决定于介质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）,波在介质中传播的速度,即单位时间波 所传过的距离.,4 波速,63,四个物理量的联系,64,(1) 弹性绳上的横波,( T-绳的初始张力，-绳的线密度),波速, 几种具体的波速:,(2) 固体中的纵波,波速,(E- 杨氏弹性模量, -媒质的密度),65,(3) 固体中的横波,(4) 流体中的纵波(只能传播纵波),波速,K- 容变弹性模量, 0-无纵波时的流体密度,波速,( G- 切变弹性模量, -媒质的密度),66,1.平面简谐波的波动方程,设有一平面简谐波沿 轴正方向传播， 波速为 ，坐标原点 处质点的振动方程为,四 简谐波的波动方程,表示质点 在 时刻离开平衡位置的距离.,67,考察波线上 点(坐标 ), 点比 点的振动落后 , 点在 时刻的位移是 点在 时刻的位移，由此得,由于 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.,68,如图，设 点振动方程为,点振动比 点超前了,如果波沿 x 方向传播,如何写表达式?,故 点的振动方程（波动方程）为：,69,可得波动方程的几种不同形式：,利用,和,球面波：,70,2. 波动方程的物理含义,（波具有时间的周期性）,则,令,(1) 一定， 变化,表示 点处质点的振动方程（ 的关系）,71,则,(2) 一定 变化,该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 时刻的波形（ 的关系）,72,方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.,(3) 、 都变,73,3.习题类型,（a）题型：已知波动方程，求T.f.A.u.等。,例题：P76例43 方法：与波动方程的标准形式进行比较.,（b）题型：根据已知条件，写出波动方程。,例题：P76例44,方法： 建立坐标系， 写出振动方程（常为坐标系原点）； 确定方向（x/u),写出波动方程； 求解其它量。,74,例 已知 P 点的振动方程,试写以 O 为原点的波动方程,解：选择 P 点为参考点，任选一点 x ,x,例 若是左图情况，波动方程如何？,波由参考点传到 x 点,需时间 ：,波动方程为：,75,4. 波形曲线 由波动方程 y=(x,t) 令 t=t0 , 由y=f(x) 作出的函数图线。 如右图,看出：,（1）,（2）各质点在 t0 时刻的实际位置（对横波）,（3）各质点在 t0 时刻（或下时刻）的运动方向,（4）各质点的初位相（找出 t=0 时刻的波形图即可）,（5） 可写出波动方程,t0=T/4,t=0,A=0.1m, =2/T=6 ,T= /u = 4/12=1/3(s),=4m,u =12(m.s-1),76,（4） 由旋转矢量知 0、1、2、3、4等各点的初位相,（5）根据 A 0 u 可写出 波动方程,t=T/4,t=0, 0,u =12(m.s-1),77,波动方程,质点的振动速度，加速度,78,1 波的能量,五 简谐波的能量与强度,79,以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.,振动动能,80,杨氏模量,弹性势能,81,体积元的总机械能,注意：总能量是时间t和位置x的函数！,82,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.,(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同位相的.,83,(2) 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量. 任一体积元的机械能不守恒. 波动是能量传递的一种方式 .,84,2.能量密度：单位体积介质中的波动能量,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值,单位:J/m3,常数,85,3.波的强度,能流：单位时间通过垂直于波传播方向某截面积的能量,平均能流：,单位:W(瓦),86,能流密度,单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的能量.,平均能流密度( 波的强度 )I:,单位:W/m2,87,注意：在无吸收的理想媒质中,(1) 对平面波：,(2) 对球面波： 一周期内穿过波面 S1, S2 的总能量相等,88,4.波的衰减,（1）平面波的衰减规律,-比尔朗伯定律(Bouguer-Lambert law),（2）平面波的衰减波动方程,89,（3）球面波,A.无能量损失时：,B.有衰减时：,设离球心距离为单位长度时的振幅为Ao,90,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波前.,一 惠更斯原理,91,波 的 衍 射,波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播的现象.,二 波的衍射,92,作图 可用惠更斯原理作图,比较两图,三.波的反射和折射(略),93,一 波的叠加原理,波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.,波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成.,94,频率相同、振动方向平行、位相相同或位相差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,二 波的干涉,95,波频率相同，振动方向相同，位相差恒定,例 光波干涉,某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消.,(2)干涉现象,满足干涉条件的波称相干波.,(1)干涉条件,96,波源振动,点P 的两个分振动,(3)干涉现象的定量讨论,97,定值,98,位相差 决定了合振幅的大小.,即振动加强，称为干涉相长,即振动减弱，称为干涉相消,99,位相差,加强 减弱,100,将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有,加强 减弱,101,1 驻波的产生,现象,三 驻波,102,条件 两列振幅相同的相干波异向传播,103,驻 波 的 形 成,104,2. 驻波的波动方程 ：假定两列相向而行的简谐波为,叠加、干涉、合成：,3. 驻波的特征,(1) 振幅是 x 的函数，各处不等大，出现了波腹和波节,(2) A驻 = 0 处为波节, 波节的位置：令,相邻波节间距：,105,(3) A驻 =2A 处为波腹，波腹的位置：令,相邻波腹间距：,相邻波腹和波节间距,相邻两波节间各点振动相位相同,一波节两侧各点振动相位相反,106,(4) 在任意时刻波形不动，只是各点处质元的位移大小随时间发生变化. （故而驻波，无所谓传播方向）,(5) 驻波中没有净能量传递，能流密度,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无能量的定向传播.,107,波疏介质 波密介质,(6) 相位跃变（半波损失）,当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,108,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,波密介质 波疏介质,109,声波的产生和分类,2.分类,（1）按频率,1.声波的产生,能产生听觉的机械振动称为声振动（sonic vibration),声振动在介质中的传播过程称为声波（sound wave),20Hz 称为次声波（infrasonic wave),2020KHz 称为声波（sound wave),20KHz 称为超声波（ultrasonic wave),(2)按声源,纯音（simple)：声源的振动是单一频率的简谐振动,乐音（musical sound):声源的振动是由一基频和若干谐频的简谐振动的合振动,噪音（noise):声源作的是杂乱无章的非周期性振动,110,一、声速、声压和声阻,1.声速（sound velocity),单位时间内声波在弹性介质中的传播距离，即声波在介质中的传播速度。,声速是由介质本身的性质决定，一般随温度的升高而增加。,u固u液u气,111,设一平面简谐声波在各向同性的均匀介质中无衰减的沿X轴正方向传播，其波动方程为：,在X轴任取一厚度为x，横截面积为S的介质为研究对象。,当压强发生变化时，其体积的改变为： V=S y,其中y为该处介质厚度的改变量，由第一章体变模量的表达式可得：,当x趋于零时，有：,而波速,所以有：,2.声压（sound pressure),声压 p = 有声波时的压强 - 无声波时的压强,112,声压0 媒质密集 声压0 媒质稀疏,声压幅值（即最大值）,声压具有周期性，所以为了方便常用有效值来表示,113,3.声阻（acoustic impedance),由声压的表达式可知， 在同一声压下，u越大，介质质元获得的振动速度逾小，反之，逾大，因此通常把介质密度和声速的乘积即u称为声阻（用Z表示）,如表所示（P89):不同介质的声速、声阻。,114,二、声强、声强级和响度级,1.声强（sound intensity),声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于波传播方向单位面积的声波能量。,能引起听觉的声波不仅在频率上有一定的范围，而且其强度上也有一定的范围，即有上下限值。(听阈和痛阈）,通常把能够引起听觉的声波的最低强度，即能引起听觉的声强的下限值I下称为闻阈或听阈（threshold of hearing).,通常把能够引起听觉的声波的最高强度，即能引起听觉的声强的上限值I上称为痛阈（threshold of pain).,对于不同的频率闻阈和痛阈不同（P90 图4-23（a),115,把不同频率的听阈连接起来的曲线称为听阈或闻阈曲线。,把不同频率的痛阈连接起来的曲线称为痛阈曲线。,116,2.声强级,在听觉区域，声强的差别很大，从10-12到1w/m2,但人耳不能把声音由强到弱区分出10-12个等级.,通过研究发现，人耳对于频率相同而声 强不同的两个声音强弱的主观感觉近似与声强的对数成正比，因此，声学中常用对数来表示声强的等级，这种等级常称为声强级（intensity level of sound) 常用L表示，单位贝尔( B),而人耳能区分的声强级约为0.1B，因此，人们更常用贝尔的十分之一即分贝（decibel 简称dB）作为声强级的单位，即有：,声强可以叠加，声强级不能叠加,117,3. 响度级,声强和声强级均是客观的物理量，它们不能完全反应人耳所感受到的声音强弱，因而通常把人耳对声音强弱的主观感觉叫响度（loudness)，它由声波的强度和频率决定。声强大的不一定响度大，与频率有关。,为了能够用数字比较响度，把响度分成若干等级，这些等级称为响度级（loudness level） 单位方（ phon)。同时定义频率为1000Hz的纯音的响度级与其声强级具有相同的数值。,等响度级曲线（loundness contours) : 不同频率响度相同的曲线。,118,几种声音近似的声强、声强级和响度,119,发射频率,接收频率,人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？,120,？！,的 的 的,121,多普勒效应:当波源S和接收器(观察者)R有相对运动时,接收器所测得的频率f不等于波源振动频率f 的现象.,参考系 : 媒质,符号规定 : S和R相互靠近时vs , v0 为正,R,S,f:波源振动频率 , f0:波的频率 , f:接收频率 u:波在介质中的传播速度,122,只有波源S与观察者R相对静止时才相等.,123,一 波源S不动,观察者R相对介质以 运动,(vS=0,v0 0),f = f0, 但 f = ?,124,观察者接收的频率,R接收一个波长的波所需时间为:,T= 1/f = / (u+v0) = (u/ f )/(u+v0) = u / (u+v0)f ,R 靠近S时(v00),有f f 声音变尖。,R 远离S时(v00),有f f 声音变哑。,125,二 观察者R不动,波源S相对介质以 运动,f = f0, 但 f0 =?,126,S发出“波头”后,前进vST时再发“波尾”, 使S运动前方的波长缩短。, 实际波长 = S不动时的波长 vST,b = uT vST = (u-vS)/f, f0= u/b = u/ (u-vS)f,观察者接收的频率,(vSu时不适用),127,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、超音速飞行等.,128,三 波源S与观察者R同时相对介质运动(vS 0 、v0 0),f f0 f,综合前面两种情况有,129,若波源与观察者不沿二者连线运动,f与f之差值f