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代数系统简介,这部分内容属于近世代数的范畴，近世代数是研究具有运算的集合，它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统，它们是：半群，幺半群，群，环，域，格和布尔代数。本课程在第五，六章中介绍代数系统的内容。,第五章 代数系统的一般性质,第一节 二元运算及性质,内容：二元运算，运算律，特殊元素。,重点：(1) 一元和二元运算的概念，,一般：吸收律，消去律，幂等律。,一、二元运算。,一、二元运算。,但减法，除法不是。,但除法不是。,上求相反数的运算是一元运算。,但加法，减法不是，,而求倒数是一元运算。,3、一元，二元运算表。,解：,二、有关运算律。,二、有关运算律。,三、一些特殊元素。,注：(1) 若幺元存在必唯一。,从而没有幺元。,注：(1) 若零元存在必唯一。,从而也没有零元。,3、逆元：,(1),解：加法，乘法都不是二元运算。,(2),解：加法不是二元运算，,乘法是二元运算。,(3),解：加法，乘法都是二元运算。,(4),解：加法不是二元运算，,乘法是二元运算。,(5),解：加法不是二元运算，,乘法是二元运算。,，满足结合律。,时，无逆元。,例7、设,，二元运算,和,定义，问运算,如下表,和,是否可交换的；是否有零元；,是否有幺元；如果有幺元，指出哪些元素有逆元；,逆元是什么？,(1),没有零元，,是幺元，,互为逆元。,(2),是左零元，,是幺元，,(2),解：但它们的逆元都不存在。,四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),3、幂等元。,上的加法运算都不满足幂等律，,但它们都有幂等元，幺元就是幂等元。,第二节 代数系统及其子代数 和积代数,内容：代数系统，子代数，积代数。,了解：积代数的概念。,一、代数系统。,1、定义：,2、代数常数 (特异元素)。,二、子代数系统。,1、定义：,2、平凡子代数，真子代数。,三、积代数。,例如：,例如：,和,的积代数为,，,，,，,第三节 代数系统的同态与同构,内容：代数系统的同态映射，同构映射。,一、同态映射，同构映射的概念。,1、定义：,满同态，记,单同态,同构，记,但不是单同态,则对,2、自同态，自同构。,则对,则对,则对,3、同态，同构概念的推广。,二、性质。,二、性质。,第五章 小结与例题,一、二元运算及其性质。,1、基本概念。,一元运算和二元运算；二元运算的结合律，交换律，分配律，幂等律，吸收律，消去律；二元运算的特殊元素：幺元，零元，逆元；一元运算和二元运算的运算表。,一、二元运算及其性质。,2、运用。,(2) 求幺元，零元，逆元。,(3) 列出一元运算和二元运算的运算表。,二、代数系统及其子代数和积代数。,1、基本概念。,代数系统；子代数；积代数。,2、运用。,判断代数系统的子集能否构成子代数系统。,三、代数系统的同态与同构。,1、基本概念。,同态，单同态，满同态；同构。,2、运用。,(1) 实数集,解：加、减、乘是二元运算，,除不是二元运算。,(2) 非零实数集,解：加、减不是二元运算，,乘、除是二元运算。,(3) 正整数集,解：加、乘是二元运算，,减、除不是二元运算。,(4),解：乘是二元运算，,加、减、除都不是二元运算。,(5),解：乘、除是二元运算，,加、减不是二元运算。,(1) 求,解：,解：因对任意的正整数,(3) 求幺元，零元。,不存在零元。,解：,解：对任意的,(3) 求幺元。,解：对任意的,故0是幺元。,解得：,(1),解：可交换；,但不可