高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换2课时提升作业2新人教A版必修4.docx

简单的三角恒等变换(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.已知sin=，则cos等于()A.-53B.C.-D.【解析】选C.cos=cos=-cos2=2sin2-1=2-1=-.2.(2014湖州高一检测)函数fx=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为()A.-3，1B.-2，2C.-3，D.-2，【解析】选C.fx=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2+，则函数的最大值、最小值分别是，-3.【变式训练】下列各值中，函数y=2sinx+2cosx不能取得的是()A.3B.3.5C.4D.4.5【解析】选D.因为y=2sinx+2cosx=4=4sin4，所以函数y=2sinx+2cosx不能取得的是4.5.3.(2014济南高一检测)函数f(x)=1-cos2xcosx()A.在，上递增，在，上递减B.在，上递增，在，上递减C.在，上递增，在，上递减D.在，上递增，在，上递减【解析】选A.f(x)=1-cos2xcosx=2|sinx|cosx，当x时，f(x)=tanx在上递增，当x时，f(x)=tanx在上递增，当x时，f(x)=-tanx在上递减，当x时，f(x)=-tanx在上递减.【变式训练】将函数y=fxcosx的图象向左平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y=2cos2x-1的图象，则fx可以是()A.-2cosxB.2cosxC.-2sinxD.2sinx【解析】选C.y=2cos2x-1=cos2x关于x轴的对称变换得到函数y=-cos2x，向右平移个单位后得到y=-cos2=-cos=-sin2x=-2sinxcosx，即函数y=fxcosx，所以函数fx=-2sinx.4.(2014安徽高考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()A.B.C.D.【解析】选C.将函数f(x)=sin2x+cos2x=sin的图象向右平移个单位，所得函数为f(x)=sin=sin，其图象关于y轴对称，所以-2=+k，kZ，所以的最小正值是.5.已知cos2-cos2=a，那么sinsin等于()A.-B.C.-aD.a【解析】选C.cos2-cos2=-=cos-cos-=sinsin=-sinsin=a所以sinsin=-a.6.函数y=图象的对称中心是()A.B.C.D.k蟺,0k鈭圸【解析】选D.y=tan，由=，解得x=kk鈭圸，其图象的对称中心是k蟺,0k鈭圸.【误区警示】解答本题容易将正切函数y=tanx的对称中心误认为只有k蟺,0k鈭圸而导致错误.二、填空题(每小题4分，共12分)7.函数fx=2sinsin的最大值是 .【解析】fx=2sinsin=2sin=sincos-sin2=sinx-=sinx+cosx-=sin-，当x+=2k+，即x=2k+时，fx取得最大值，最大值为.答案：8.如图是半径为1的半圆，且PQRS是半圆的内接矩形，设SOP=，则其值为时，矩形的面积最大，最大面积的值为.【解析】SOP=，则SP=sin，OS=cos，故S矩形PQRS=sin2cos=sin 2，故当为45时，S矩形PQRS的面积最大，最大值为1.答案：4519.在ABC中，sinC-A=1，sinB=，则sinA的值为.【解题指南】首先根据题目条件求角C-A，再根据三角形内角和定理分析角A和角B的关系，最后先求sin2A再求sinA.【解析】由C-A=，且C+A=-B，所以A=-，所以sinA=sin=，所以sin2A =，又sinA0，所以sinA=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014成都高一检测)已知AOB中，AOB=，且向量=(-1，3)，=(cos，-sin).(1)求.(2)若是钝角，-是锐角，且sin(-)=，求sin的值.【解析】(1)由=(-1，3)，=(cos，-sin)且OAOB，得-cos-3sin=0，从而tan=-.=.(2)因为为钝角，tan=-，-为锐角，sin(-)=，所以cos=-，sin=1010，cos(-)=.所以sin=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)=.11.(2014衡水高一检测)已知函数f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(0)，其图象过点.(1)求的值.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(0)，所以f(x)=sin2xsin+cos-cos=sin2xsin+cos2xcos=(sin2xsin+cos2xcos)=cos(2x-).又函数图象过点，所以=cos，即cos=1.又0，所以=.(2)由(1)知f(x)=cos.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则g(x)=cos.因为0x，所以-4x-.当4x-=0，即x=时，g(x)有最大值；当4x-=，即x=时，g(x)有最小值-.【变式训练】(2013天津高考)已知函数f(x)=-sin+6sinxcosx-2cos2x+1，xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题指南】(1)利用两角和的正弦公式及二倍角公式将f(x)化为Asin(x+)的形式求解.(2)根据正弦函数的单调性求解.【解析】(1)f(x)=-sin2xcos-cos2xsin+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin.所以f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)=-2，f=2，f=2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为-2.一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知函数fx=sin2x，xR，则fx是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【解析】选D.fx=sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=，是最小正周期为的偶函数.2.(2014温州高一检测)已知sin2=，则cos2=()A.B.-C.D.-【解析】选C.cos2=.3.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x+1，那么f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选A.因为f(x)=sin2x+(1-2sin2x)+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.由正弦函数的性质知，当2k-2x+2k+(kZ)，即k-xk+(kZ)时，函数y=sin2x+为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ).【举一反三】本题中，若x，求函数f(x)的值域.【解析】因为x，所以2x+，所以sin0，1，所以f(x)=2sin+11，3.所以f(x)的值域为1，3.4.(2014郑州高一检测)已知曲线y=2sincos与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，则|等于()A.B.2C.3D.4【解题指南】先化简函数解析式，再画出函数图象，最后利用图象结合函数周期性分析|的值.【解析】选B.注意到y=2sincos=2sin2=1-cos2=1+sin2x，又函数y=1+sin2x的最小正周期是=，结合函数y=1+sin2x的图象(如图所示)可知，|=2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知+=，求值cos2+cos2+coscos=.【解析】原式=+coscos=1+(cos2+cos2)+coscos=1+cos(+)cos(-)+cos(+)+cos(-)=1-cos(-)+cos(-)=.答案：6.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则=，=，又a=GC+CF=bsinx+bcosx所以sinx+cosx=，所以sin=.因为0x，x+，所以x+=或，x=或.答案：或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014长沙高一检测)已知函数f(x)=2cosxsinx+-.(1)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的零点的集合.(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象.【解析】(1)f(x)=2cosx-=2cosx-=sin2x+(1+cos2x)-=sin.所以函数f(x)的最小正周期为.令sin=0，得2x+=k(kZ)，得x=-(kZ)，所以f(x)的零点的集合为.(2)列表：2x+02x-f(x)010-10描点连线，如图所示.8.(2014鹤岗高一检测)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MNBC.(1)设MOD=30，求三角形铁皮PMN的面积.(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意知OM=AD=BC=2=1，所以MN=OMsinMOD+CD=OMsinMOD+AB=1sin30+1=，BN=OA+OMcosMOD=1+1cos30=1+=，所以SPMN=MNBN=，即三角形铁皮PMN的面积为.(2)设MOD=x，则0x，因为BP=MN2=1，所以点P在线段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+1，BN=OMcosx+OA=cosx+1，所以SPMN=MNBN=(sinx+1)(cosx+1)=，令t=sinx+cosx=sin，由于0x，所以x+，则有-sin1，所以-1t，且t2=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=，故SPMN=.而函数y=在区间上单调递增，故当t=时，y取最大值，即ymax=，即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为.【拓展延伸】三角函数求值域的方法(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(x+)+b型的值域