2014年第15讲不等式的性质及应用(教师版).docx

第15讲 不等式的性质及应用一、知识梳理1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2、两个实数的大小：；3、不等式的基本性质（1）对称性:（2）传递性: （3）可加性：； （4）可乘性：； （5）倒数性质：（6）可乘方：（7）可开方： 4、不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法；（5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。难点正本疑点清源1、在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有ab0ab，ab0ab，ab0ab，bc，则ac，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间量b，在证出ab，cb后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.2、 理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系二、典型例题题型一、比较大小【例1】已知a、b、c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小解：方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当abc时取等号，a2b2c2abbcca.方法二(函数法)记ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0对aR恒成立，即a2b2c2abbcca.【例2】(2012四川文15)设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1； 若1，则ab1；若|1，则|ab|1； 若|a3b3|1，则|ab|1，不合题意，故正确中，1，只需abab即可如取a2，b满足上式，但ab1，故错中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确【变式1】对于实数，有下列命题： 若,则; ,则; 若,则 ; 若,则； 若， ,则。 其中真命题的个数是（ B ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【变式2】已知，且，则下列不等式中成立的是（C ） 题型二、不等式性质的应用【例3】设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解：方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得，解得， f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由，得，f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.【变式1】已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_答案(3,8)解：设2x3ym(xy)n(xy)， 2x3y(xy)(xy)，1xy4,2xy3， 2(xy)，5(xy)， 3(xy)(xy)8， 即32x3y4的解集为x|xb(1)求a，b的值； (2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2x0的解集为_(2)解关于x的不等式ax222xax (aR)解：（1） 令f(x)ax2bxc，则f(x)ax2bxc，结合图象，可得ax2bxc0的解集为x|3x0时，原不等式化为x或x1.当a1，即a2时，原不等式等价于1x；当1，即a2时，原不等式等价于x1；当2，原不等式等价于x1.综上所述，当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为.题型四、不等式恒成立问题与存在性问题【例5】 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_(，5解：法一（函数单调性）当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立在x(1,2)上恒成立，设(x)，(x)(5，4)，故m5.法二（应用二次函数）设f(x)x2mx4，因为当x(1,2)时，不等式x2mx40。题型六、不等式的证明1、比较法【例10】已知是正数，且，求证：证明：恒成立。【变式】已知.证明：.2、综合法【例11】已知，求证：证明：（当且仅当时=成立）【变式1】已知，求证：证明：【变式2】已知实数求证：证明： .又.（当且仅当时，=成立） 3、分析法【例12】已知，且求证：【变式】已知求证：4、三角函数代换法【例13】已知x,y,a,b，且，求证：证明：设，.5、构造法【例14】已知为实数，求证：证明：设，则,【变式】求证：，证明：设, 所以函数单调递增, , .6、放缩法【例15】求证：.证：法一, 法二： 【变式】证明：【课后作业】1、若，则下列四个不等式：，则不正确的不等式的个数为（ D） 2、已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（ C ）A、 B、 C、 D、3、设是常