概率论随机变量及分布

概率论与数理统计,第二章 随机变量及其概率分布（3）,5 二维随机变量及其概率分布,二维随机变量及其分布函数 定义 若 和 是样本空间 上的随机变量，则称（ ， ）为二维随机变量或二维随机向量。 记积事件 的概率,设 和 是实变量，称 为二维随机变量 的分布函数， 记作 ，即,分布函数的性质,1. 2. 是 、 的不减函数； 若 固定，则有 ；若 固定，则有 ；,4.,2. 边缘分布函数,定义 设 的分布函数是 ， 称 为 关于 的边缘分布函数， 记作 ；类似地， 关于 的边缘分布函数,例1 已知随机变量 的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有 求 的分布函数、 关于 和 关于 的边缘分布函数。,解 的分布函数 = 若 ,则 =0； 若 ，则 =1 / 4； 若 ，则 = 3 / 8； 若 ，则 = 5 / 8； 若 ，则 = 1，, 的分布函数,关于 的边缘分布函数 关于 的边缘分布函数,3. 二维离散型随机变量的概率分布,定义 若随机变量 的取值是 ，则 是离 散型的，称 为 的概率分布或分布律，也称 为随机变量 与 的联合分布律。,（ ， ）的分布律可以表示为,若 是二维离散型r.v. 的分布律，则有 （1） （2）,二维离散型r.v. 的分布函数,二维离散型随机变量的边缘分布律 关于 的边缘分布律 关于 的边缘分布律,例2 盒中有3只白球，2只红球。第一次 从中任取2球不放回，第二次再从剩余 球中任取1球。用 和 分别表示第 一次和第二次取到的白球数，求 的分布律、 的分布函数、 关于 、关于 的边缘分布 律和边缘分布函数。,解 的可能取值是0，1，2； 的可能 取值是 0，1 。 , 的分布律是 0 1,的分布函数是,关于 的边缘分布律是 0 1 2 P 关于 的边缘分布律是 0 1 P,关于 的边缘分布函数是 关于 的边缘分布函数是,4. 二维连续型随机变量的概率分布,定义 设 是二维r.v. 的分布 函数，若存在非负函数 ，对任 意实数 、 有 则 为连续型二维随机变量，称 为 的概率分布密度函数， 或 与 的联合分布密度函数。,分布密度函数的性质,（1） （2）在 的连续点处，有 （3）若G是平面区域，则有,关于 的边缘分布密度函数 关于 的边缘分布密度函数,例3 设 的分布密度函数是 求： （1）常数 c； （2）,解 （1） ,（2）,例4 已知二维r.v. 的分布密度函 数 求： （1） （2） （3） 关于 、关于 的边缘分布密度函数。,解 （1）,（2）,（3） 关于 的边缘分布密度函数,关于 的边缘分布密度函数,5. 两个常用分布,1）均匀分布 设G是平面有界区域，G的面积为A。 若随机变量 的分布密度函数是 则称 在区域G上服从均匀分布。,2）正态分布,若随机变量 的分布密度函数是 其中 ，则称 服 从参数为 的正态分布， 记作,当 时， 的分布密度函数是,可以证明，若 则有 但是，若 则 未必服从正态分布。,6. 随机变量的独立性,定义 若对任意实数 有 则称随机变量 与 相互独立。 由二维随机变量的分布函数及边缘分 布函数的定义可以得到 若对任意实数 有 则随机变量 与 相互独立。,对于离散型随机变量 ，可以得到 与 相互独立的充分必要条件是对 的所有可能的取值 ，有,对于连续型随机变量 ， 与 相互独立的充分必要条件是对任 意实变量 ，有,例5 已知二维随机变量 的分布律 是 0 1 1 2 问 与 是否相互独立？,解 关于 、关于 的边 缘分布律分别是 1 2 0 1 P 2 / 3 1 / 3 P 1 / 4 3 / 4 有, 与 相互独立。,例6 设随机变量 的分布密度函数是 （1）求常数C； （2）计算 ； （3） 与 是否相互独立？,解 （1） C = 1 / 2,（2）,（3）, 与 不相互独立。,例7 已知随机变量 与 相互独立， 服从（0，1）上的均匀分布， 。 求（1） 的分布密度函数；（2） 解 由已知， 的分布密度函数是,的分布密度函数是 （1） 与 相互独立，有 的分布密度函数,（2）,可以证明，若 且 与 相互独立，则有,例8 已知随机变量 且 与 相互独立。 （1）写出随机变量 的分布密度 函数 ； （2）计算 。,解 （1） 与 的分布密度函数分别是 且 与 相互独立，, 的分布密度函数是,（2）