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第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直 【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,4利用向量解决垂直问题2,31.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG平面B1CD1.证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,0),F(,0,0),G(1,0, ),=(-,-,0),=(0,-, ).设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则即令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG平面B1CD1.2.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60,所有棱长都为2.(1)求对角线AC1的长.(2)求证:AC1平面A1BD.(1)解:以,为基底,则=+,两边平方得=+2+2+2=22+22+22+222+222+222=24,所以|=2,即AC1的长为2.(2)证明:=+,=-,所以=(+)(-)=+-=22+22+22-22-22-22=0,所以,同理,即AC1BD,AC1BA1,又BDBA1=B,所以AC1平面A1BD.3.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF平面PBC.证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0), 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,0,0),F(,),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则得取x=1,则n1=(1,- ),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0, ).因为n1n2=10+-=0,所以n1n2.所以平面CEF平面PBC.4.(2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点. (1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0,1),=(-,0),=(-, 0,1),而=(-1,1),所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG平面BEF.(2)
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