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在椭圆教学中体现数学文化的几个案例吴丽娟(浙江省丽水中学，323000)案例背景普通高中数学课程标准(实验)指出，数学是人类文化的重要组成部分数学教学应当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，以及数学的社会需求，社会发展对数学自身的促进作用，数学的思想体系在人类文明史中的地位和作用，让学生了解数学的应用价值和人文价值教师在教学中应结合有关内容有意识地强调数学的科学价值、文化价值、美学价值在这个大背景下，我校数学组承担了市级教育规划课题：文化视野下的高中数学教学探索本文记录了在椭圆教学中体现数学文化的几个案例1 关于椭圆定义的引入教学案例1 哈雷彗星教师：一提到彗星，人们的脑海中就会浮现出这样的图像：拖着一根长长的犹如扫帚一般的尾巴，发着白色的光芒，沿着一条奇怪的轨迹划过天际有些彗星，一生中只有一次接近太阳，在太阳附近拐个弯，便匆匆的离开一去不返而有些彗星却如图1绕着太阳运转英国著名天文学家和数学家哈雷曾在1705年出版的彗星天文论说一书中，指出1682年出现过的彗星，与1531年及1607年出现的彗星轨道十分相似认为应是同一颗彗星的三度光临相临两次的间隔，差不多是76年，进而预言，这颗彗星将在1758年底或1759年初再次出现虽然他自己没有等到那一天，但是彗星确实如期重返为纪念他，人们把这颗彗星命名为哈雷彗星请大家观察这种彗星的轨道是什么图形?学生：椭圆教师：今天开始我们要学习椭圆的方程和性质然后直接给出椭圆的定义案例2 拉线画椭圆教师在课前请同学们准备了细线，图钉教师：我们知道把一段没有弹性的细线一端固定，另一端套在笔尖上，拉紧细线能画出一个圆若我们把该细线的两端用图钉分别固定在点F1，F2，用笔尖P拉紧细线，移动笔尖，能画出什么样的图形呢?教师请一位同学上讲台演示画的过程，其余同学则自己动手画图画好后，大家发现这是一个椭圆教师：通过画图，类比圆，你能发现椭圆上的点有什么共同的性质吗?学生：到两定点的距离之和是一个定值在导出椭圆的标准方程，并进行简单的熟悉后，教师又引导学生回到这个拉线画椭圆的问题上教师：请问，当笔尖在什么位置时，最大?为什么?学生：如图3建立直角坐标系，当笔尖向椭圆与轴交点靠近时逐渐减小，反之逐渐增大我觉得当P落在椭圆与Y轴交点时最大教师：我们能否通过计算来验证同学们的猜想呢?可以通过考察的某个三角函数值的变化来考察角的变化学生：设椭圆方程为，则m+n=2a, ,在中， m+n=2a , 当m=n时，上式的分母最大，因而余弦值最小因为余弦函数在区间0，内单调递减，所以当 m = n 时，即P落在椭圆与Y轴交点时，最大案例3 折纸椭圆教师给每位同学准备了一张圆形纸片教师：今天，我们先请大家一起玩一个折纸游戏请大家拿起笔在发下来的那张圆形纸片除圆心外的任何地方作个记号，如点一点A，或刺个小孔然后开始折纸，要求如图4，每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧通过点A，将纸抹平，得到一条折痕继续这样折下去，得到若干条折痕最后将纸片展平请大家观察众多折痕包围着怎样的一个图形? 折好后展示学生的作品，（课堂气氛非常活跃）如图5，大家发现众多折痕围着一块椭圆形的光滑区域。（很多同学发出了真是神奇的感叹声）。教师：折纸的原理是什么呢？如图6（用几何画板演示折纸过程）学生：定点和圆周上点关于折痕交点的痕迹。教师：这种点M 有什么共同的特征?学生：从图中可知，+=圆的半径.这三个案例都是椭圆结合数学文化的好例子案例1在一定程度上能激发学生的求知欲，让学生感受到圆锥曲线在天文学中的地位，但作为椭圆的定义教学引入仅停留在直观感知层面，其实可用学生更熟悉的例子如橄榄球，油灌车等替代案例1出现在学习了椭圆方程和几何性质后会更合适案例2是非常贴切的例子由类比引发联想，通过动手操作确认，从几何中寻找等量关系，这些都能帮助学生很好地理解椭圆定义后面的先猜后证导出椭圆焦点三角形的性质更是让这个例子的作用发挥得淋漓尽致因为这个例子，让椭圆的定义教学从直观到抽象，从具体到一般的过程变得自然，生动案例3则很好的把数学与游戏结合在一起体现了游戏是数学的重要组成部分课堂中的教学效果也验证了(美)马丁加德纳的那句名言：“唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西”当然，案例3还有更丰富的用途2 关于椭圆的方程案例4 航天器的变轨教师：载人航天飞船、人造地球卫星等航天器绕地球飞行时，轨道是椭圆的，在完成预定科学任务后，需要改变运行轨道，沿抛物线下降，返回地面从椭圆轨道飞行变为沿抛物线轨道飞行，叫做变轨有这么一道高考题与变轨有关(上海市2006年春季高考)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图7，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以Y轴为对称轴、M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)观测点A(4，0)、B(6，0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在z轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?学生(1)：可设抛物线方程为，代人点D(8，0)解得a=曲线方程为(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知，消去x得：4y7y一36=0，y=4或y= (不合题意，舍去)y=4x=6或 x= - 6(不合题意，舍去)x=6点C的坐标为(6，4)，当观测点A、B测得AC、BC距离分别为、4时，应向航天器发出变轨指令3 关于椭圆的性质案例5 哈雷彗星的运行轨道是椭圆，其近日点到太阳的距离是8800千米(059天文单位)，远日点到太阳的距离是53亿千米(3531天文单位)请问，哈雷彗星的轨道的椭圆离心率是多少?由图l可知：ac=059，a+c=3531解得：a=1795(天文单位)，c=1736(天文单位)e=0967可见哈雷彗星的轨道是很扁的椭圆案例6 折纸椭圆与椭圆的光学性质教师：椭圆有焦点焦点，顾名思义，就是光线聚集点，这说明椭圆与光有紧密的联系我们知道当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即人射角等于反射角当光线射到椭圆曲面时会有什么现象呢?如图8，有一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)为了使片门(电影胶片通过的地方)处获得最强的光线，灯丝与片门正好位于椭圆的两个焦点处你能猜想这种灯泡的工作原理吗?学生：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆的反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点教师：椭圆确实有这样的光学性质我们可以在折纸椭圆中验证这个性质如图9，我们知道折痕S丁垂直平分AN，所以=即：直线S丁是椭圆的切线进而有=可见，若AM为入射光线，则M0 为反射光线案例7 折纸椭圆与椭圆的第二定义引入实验证实：如图l0，延长NO交圆于E，连接AE，作AE的中垂线，交ST于点G过G作AO的垂线m实验开始，运用计算机的度量功能量出线段MO 的长度及点M到直线m的距离d，并动态的演示：随着轨迹的产生，的值没有发生变化即为椭圆的离心率拖动点A，看看离心率的值对椭圆的扁平程度的影响椭圆的两个定义可以如此和谐地统一在这样一个简单的折纸图形中其实，若把点A拖到圆外，通过这个折纸问题可以研究双曲线的相关性质反思(1)注意在课堂中有目的、有计划、自然地体现数学文化数学不仅是数学知识的汇总，更重要的是它包含着十分丰富而深刻的文化内涵如果说过去我们只是在随意地、因人而异地和不知不觉地感悟数学文化的话，那么在信息时代，应让更多的人更深刻地感受到数学对我们的影响，而这种影响和作用不是以具体的数学知识的形式，更多的是以文化的形式出现因此，在课堂教学时，要有计划、有目的和自然地体现数学文化，让它帮助我们学习数学、理解数学、更深刻地认识数学和真正去应用数学，让数学发挥其应有的作用(2)注意挖掘材料深层次的文化内涵体现数学文化的材料内容一般有两个层次，一个是最初的、表面的，但同时也是不可缺少的史料层次这一层次现在已经引起了比较普遍的关注史料中包含现实生活很接近数学对象的实际背景，数学对象诞生的必然性以及过程等文化内涵都是在这一层次中被关注的对象而数学进一步发展中体现出的人类思维发展的逻辑性、系统性、完整性和连续性，以及数学知识、思想、方法和思维对于人类的作用等文化内涵是前一层次基础上的深化事实上这两个层次体现的都是从数学的外部因素到内部因素对于学习者的吸引之处如果说前一层次可以编成教材的辅助材料进入课本，那么后一层次可能就要从教学中去体现、展示，要有计划、有目的、和谐地与数学内容进行整合，决不是简单地将一个数学家的故事或一件数学发展中的曲折事例放到某个教学内容的后面只有在学习数学的过程中或多或少认识到这两个层次