二次函数常见关系式符号的判定.doc

二次函数常见关系式符号的判定湖北省黄石市下陆中学陈勇二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：（1）抛物线开口向上；抛物线开口向下（2）抛物线开口大小，越大开口越小（3）、同号对称轴在轴左侧；、异号对称轴在轴右侧； =0对称轴为轴 （4）抛物线与轴的交点在轴上方；抛物线与轴的交点在轴下方； 抛物线必过原点 （5）抛物线与轴有两个交点；抛物线与轴有唯一交点 ； 抛物线与轴没有交点（6）的符号由点( 1，)的位置来确定；的符号由点( -1，)的位置来确定；的符号由点(2，)的位置来确定。例1如图1是抛物线的图像，则 0； 0； 0； 0； 0； 0； 0。解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)分别在第四象限和第二象限，得0；抛物线与轴有两个交点，得；由对称轴得=0例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(， 0)两点，且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：； ；。 其中正确结论的个数为( )A1个 B.2个 C.3个 D4个解析：由图知：.当时，所以，故错误；因为抛物线与轴有两个交点，所以即，所以正确；当时，由图像得，即，所以，故错误；因为，又，所以，故错；当时， 即，所以故错误 所以答案选 A研究中考命题动向，加强二次函数教学 江苏省东台市实验中学 周礼寅摘要：本文通过对近两年课改实验区中考试题的分析，探讨了二次函数这一部分内容在中考命题中呈现出的三个方面的新动向。关键词：二次函数、变换、数学模型 新课标对于函数内容的教学主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；及早渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；推迟函数的形式化表达方式等。这些新变化在近几年课改实验区的中考试题得到了充分的体现。通过分析2005、2006年课改实验区的中考试题，发现对二次函数知识的考查呈现出如下几方面的新动向：一、将二次函数与几何变换相结合。例一、（浙江湖州2006年中考题）已知二次函数y=x2bx+1（1b1），当b从1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）A、先往左上方移动，再往左下方移动； B、先往左下方移动，再往左上方移动；C、先往右上方移动，再往右下方移动； D、先往右下方移动，再往右上方移动。 分析：二次函数y=x2bx+1可化为，可知抛物线的顶点坐标为()，当b从1逐渐变化到1的过程中，顶点横坐标的值逐渐增大，表示抛物线往右方移动；而当b从1逐渐变化到1的过程中，顶点纵坐标的值先逐渐增大后逐渐减小，表示抛物线先往上方移动再往下方移动，故选答案D。例二、（旅顺口区2006年中考题）已知抛物线y=x?-4x+1。将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线。（1）求平移后的抛物线解析式；（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；（3）若将已知的抛物线解析式改为y=ax?+bx+c(a0，b0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题（2）解：(1)y=x2-4x+1 配方，得y=(x-2)2-3，向左平移4个单位，得平移后得抛物线的解析式为y=x2+4x+1 (2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(2，3) 解，得两抛物线的交点为（0，1） 由图象知，若直线ym与两条抛物线有且只有四个交点时，m3且m1（3）由y=ax2+bx+c配方得， 向左平移-个单位长度得到抛物线的解析式为两抛物线的顶点坐标分别为， 解得两抛物线的交点为（0，c）由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：m且mc评析：图形与变换是初中数学新课程标准中新增加的内容，把它与二次函数相结合,既考查了学生几何建模以及探究活动的能力，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力，是今后命题的重点。二、在初高中知识衔接处命题1、 求分段函数解析式。例三、 ( 连云港2005年中考题) 据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图2所示过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由 略解： （1）S=24(km);（2）当0t10时, ；当10t20时,s=30t-150；当20t35时,s= -(t-35)2+675. （3）沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。评析：分段函数是高中数学的一块重要内容，本题以动直线l运动的不同位置来确定面积S关于时间t的函数关系式，学生在充分理解了S的涵义后，求出函数关系式并不困难。像这类运动变化问题是中考命题的热点。2、 求闭区间上二次函数的最值。例四、（扬州2006年中考题）我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完，该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量y1、y2（万件）与时间t（t为整数,单位：天）的部分对应值表一：国内市场的日销售情况时间t（天）012102030383940日销售量y1（万件）05.8511.445604511.45.850表二：国外市场的日销售情况时间t（天）01232529303132333940日销售量y2（万件）024650586054484260（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后（含30天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值 解：（1）通过描点,画图或分析表一中数据可知y1是t的二次函数。设y1=a（t-20）2+60，把t1=0，y1=0.代入得a=，故y1=t2+6t(0t40且t为整数)。经验证，表一中的所有数据都符合此解析式。 （2）通过描点,画图或分析表二中数据可知当0t30时y2是t的正比例函数；当30t40时y2是t的一次函数。可求得，经验证，表二中的所有数据都符合此解析式。 （3）由y=y1+y2得，经比较可知第7天时y有最大值为106.65万件。评析：二次函数问题是近几年高考的热点，倍受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是高考的重要题型之一。解决这类问题的策略是：画出函数在给定范围内的图象，找出图象的最高（低）点和坐标得出结果。另外，本题也体现了二次函数解析式考查方式的新变化：让学生从函数对应值表分析猜想出函数类别，进而用待定系数法确定函数关系式。3、 加强三个“二次”之间联系的考查。 例五、（湖北省十堰2006年课改实验区中考题）市“健益”超市购进一批20元千克的绿色食品，如果以30元千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x30）存在如图3所示的一次函数关系（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）解：（1）设y=kx+b，由图象可知， 解得 y=-20x+1000 (30x50)（2）p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)= -20x2+1400x-20000a=-200，p有最大值当时，p最大值=4500即当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润4500元（3）31x34或36x39例六、（海淀区2006年中考题）已知抛物线y1=x2-2x+c的部分图象如图4所示。（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y1=x2-2x+c的解析式；（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图5所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小。 解：（1）根据图象可知c0，且c0c1 （2）因为抛物线经过点（0，-1） 代入y1=x2-2x+c 得c= -1故所求抛物线的解析式为y1=x2-2x-1 （3）因为反比例函数的图象经过抛物线y1=x2-2x-1上的点（1，a） 把x=1,y=a代入y1=x2-2x-1，得a= -2 把x=1,a= -2代入，得 所以 画出的图象如图6所示。 观察图象，y1与y2除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为(-1,2)和(2,-1) 把x=-1,y2=2和x=2,y2=-1分别代入y1=x2-2x-1和可知，(-1,2)和(2,-1)是y1与y2的两个交点。 根据图象可知：当x-1或0x2时，y1y2；当x=-1或x=1或x=2时，y2=y1；当-1x0或1xy1。评析：例五第3问的求解借助了二次函数的图象，通过解一元二次方程求出利润为4480元与4180元时销售单价x的值，应用函数性质分析得出结果。它较好地考查了学生数形结合的数学思想方法。三、 建立数学模型,解决应用问题。1、 最值模型例七、（2006年福建初中学业考试大纲）在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。 （1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数； （2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了。有人断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”，你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数； （3）请求出按照上述规划变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）。解：（1）80的新数为802100=64，26的新数为262100=6.76 （2）这一说法不对。设旧数为x，则相应的新数为，列方程x =，解得x =0或x =100，所以不符合这一说法的旧数是0和100（3）设旧数为x，旧数与新数之差为y，则 当x = 50时，y的值最大，因此，减小了最多的旧数是50。2、 应用函数增减性解决实际问题。例八、（淮安2006年中考题）东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价l2元只，售价20元只为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元(例如某人买20只计算器，于是每只降价0.10(20-10)=1元,就可以按19元只的价格购买)，但是最低价为16元只（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买?（2）写出当一次购买x只时(x10)，利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专实店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元只至少要提高到多少?为什么?解：(1)50只 (2)当l050时，y=(20-16)x=4x (3)利润y=0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，因为卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，由二次函数图象可知，x45，最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元数学建模是培养学生实际应用能力的重要途径，是数学教育改革发展的方向。在新课标高中教材中还将学习数学模型、建模方法以及用数学建模来解决实际问题的步骤。这就要求教师在平时教学中要引导学生逐步养成用数学的眼光看待周围事物和现象的习惯，激励学生将所学数学知识和方法应用于现实生活，体会数学应用的价值，进而形成数学建模意识，促进数学素质提高。双曲线中的面积问题湖北省黄石市下陆中学宋毓彬学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识：设反比例函数式为y=。由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。（如图1，以第一象限的图象为例）由四边形PMON为矩形。设P点坐标为（m，n），P在y=图象上，则有mn=k。OM=，ON=S四边形OMPN=OMON=由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。（如图2，仍以第一象限的图象为例）由图象可知，SPOM=SPON= S四边形OMPN=。理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m，）会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx（k0）与函数y=的图象相交于A、C两点，ABx轴于B。则ABC的面积为（ ）。A。1 B。2 C。3 D。4解：由A在双曲线y=上，ABx轴于B。 SABO=1=又由A、B关于O对称，SCBO= SABO= SABC= SCBO+SABO=1 故选（A）二、正确理解点的坐标的几何意义例2如图，反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则SAOB= 。解：由y=x+2交x轴于点M，交y轴于点NM点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2） OM=2，ON=2由 解得或A点坐标为（2，4），B点坐标为（4，2）SAOB=SAON+SMON+SBOM =ON+OMON+OM=6（或SAOB=SAOM+SBOM=OM+OM=6）三、注意分类讨论例3如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k0，x0）的图象上。点P（m、n）是函数函数y=上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。求点B的坐标和k值。当S=时，求P点的坐标。解：设B点坐标为（x0，y0），B在函数y=（k0，x0）的图象上，S正方形OABC= x0y0=9，x0=y0=3即点B坐标为（3，3），k= x0y0=9当P在B点的下方（m3）时。设AB与PF交于点H，点P（m、n）是函数函数y=上，S四边形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3nS=93n=，解得n=。当n=时，=，即m=6P点的坐标为（6，）当P在B点的上方（m3）时。 同理可解得：P1点的坐标为（，6）当S=时，P点的坐标为（6，）或（，6）。四、善用“割补法”例4如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B（3，m）两点。求一次函数解析式；求AOB的面积。解：由A（1，4），在y=的图象上，k2=xy=4B（3，m）在y=的图象上，B点坐标为（3，）A（1，4）、B（3，）在一次函数y=k1x+b的图象上，可求得一次函数解析式为：y=x+。设一次函数y=x+交x轴于M，交y轴于N（如图）。则M（4，0），N（0，）SAOB=SMONSOBMSAON=OMONOMON =441=五、构造特殊辅助图形例5如图，已知直线y=x与双曲线y=（k0）交于A、B两点，且点A横坐标为4。求k的值；若双曲线y=（k0）上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积。过原点O的另一条直线交双曲线y=（k0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。解：A横坐标为4，在直线y=x上，A点坐标为（4，2）A（4，2）又在y=上，k=42=8C的纵坐标为8，在双曲线y=上，C点坐标为（1，8）过A、C分别作x轴、y轴垂线，垂足为M、N，且相交于D，则得矩形ONDM。S矩形ONDM=48=32。又SONC=4，SCDA=9，SOAM=4SAOC= S矩形ONDMSONCSCDASOAM=32494=15由反比例函数图象是中心对称图形，OP=OQ，OA=OB，四边形APBQ是平行四边形。SPOA=S四边形APBQ=6设P点的坐标为（m，），过P、A分别作x轴、y轴垂线，垂足为E、M。SPOE=SAOM=k=4若0m4时，如图所示。SPEO+S梯形PEMA=SPOA+SAOM，S梯形PEMA=SPOA=6（2+）（4m）=6 解得m=2或m=8（舍去） P点的坐标为（2，4）若m4时，同理可求得m=8或m=2（舍去），P点的坐标为（8，1）不要忽视反比例函数图象另一支的存在湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中谷兴武张琴在反比例函数和一次函数综合应用题中，有一种题型是：一次函数和反比例函数图像的一支相交于两点，而题目给出的图形没有画出反比例函数图像的另一支，致使学生和有的教师容易忽视反比例函数图像另一支的存在，从而造成解题答案不周全的错误笔者2008年使用的北京全品教育研究所编写的全品新教案上有这样一道题：例 1 (2005年中考沈阳)如图1所示，已知直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线分别交于点、，且点坐标为.（1）分别求直线与双曲线的解析式；（2）求出点的坐标；（3）利用图像直接写出当在什么范围内取何值时，. 解答过程略，看看题目给出的参考答案吧：【答案】（1）直线：双曲线：；（2）；（3）对于答案（1）、（2），笔者没有异议，但是第（3）小题所给出的答案，笔者不敢苟同，个人认为是显而易见的错误，笔者征求了本校部分数学教师的意见，大家一致认为，第（3）小题的答案存在考虑问题不全面性的错误。【错误原因】 在图1中标出与交点、的横坐标，由于要求，所以、的在轴上的横坐标标记为空心（如图1）；又因，对于而言，所以在轴上的原点处也标记为空心（如图1），可以看出，此时的轴被、两点的横坐标和原点O分成了四个范围，从左向