理论力学讲义.ppt

个人简介,姓名：赵松峰(song-feng zhao) 职称：副教授/硕士研究生导师 研究方向：强激光场中的原子分子物理 e-mail: 网页：8/wdxy/js-zsf.php 手机号办公室：综合实验大楼a1012,强场中的原子分子物理,atomic and molecular physics in the strong fields,学科带头人：周效信 教授 博士生导师,主要成员：,李鹏程 副教授,赵松峰 副教授,王国利 副教授,超短超强激光脉冲的实现为人们研究原子、分子的性质提供了前所未有的技术手段和发展机遇。原子分子在强激光场中产生的高次谐波是目前产生阿秒脉冲的首选光源，利用分子产生的高次谐波可重构分子的轨道波函数，而研究分子电离的取向依赖可以揭示分子轨道的对称性。我们已在原子分子在强激光场中产生高次谐波、阈上电离、分子在强激光场中的取向优化、分子的强场电离等方面开展了一系列有意义的工作:,原子在强激光场中的性质研究,主要研究原子在强激光场中产生的高次谐波、电离特性、阈上电离以及产生超短阿秒脉冲等。,代表性论文 ：,phys. rev. a 80, 053825(2009),分子在强激光场中的性质研究,主要研究分子在强激光场中的取向优化，强场电离，以及将强场近似理论用于研究分子产生高次谐波的取向依赖。,phys. rev. a 71, 061801(r)(2005),代表性论文 ：,phys. rev. a 72, 033412(2005),碱金属原子在静电场和微波场中的性质研究,主要研究静电场中里德堡碱金属原子stark能级的反交叉，在静电场和微波场共同作用下里德堡碱金属原子的微波多光子跃迁。,commun. theor. phys. 44, 1065 (2005),commun. theor. phys. 47, 119 (2007),物理学报 57, 116(2008),代表性论文 ：,原子、离子的光电离理论研究,利用r矩阵方法计算原子、离子的光电离截面，并进一步得到共振位置、宽度、振子强度等重要参数。,chin. phys. lett. 13, 93(1996),chin.phys. 16, 2361 (2007),代表性论文 ：,研究成果：,承担项目：,合作交流：,发表论文80多篇，其中sci收录论文40多篇；获得甘肃省科技进步奖3项、甘肃省高校科技进步奖4项、获得首届西北师范大学“孔宪武”优秀中青年科研工作者奖。,承担国家自然科学基金7项、甘肃省自然科学基金1项、甘肃省教育厅项目1项、教育部科技研究重点项目1项、教育部高等学校博士学科点专项科研基金项目1项。,与中科院武汉物理与数学研究所、中科院兰州近代物理研究所、国防科技大学、美国堪萨斯州立大学、台湾交通大学等单位建立了良好的合作与交流关系。,phys. rev. a 78, 063404(2008),phys. rev. a 79, 053413(2009),phys. rev. a 77, 053410(2008),phys. rev. a 80, 051402 (r)(2009),j. phys. b，43，035001 (2010),chin.phys. b，18, 3833 (2009),phys. rev. a 61, 053411(2000),phys. rev. a 64, 043403(2001),phys. rev. a 81, 033423(2010),phys. rev. a 83, 033409(2011),j. phys. b 44, 035601(2011),绪 论,一、物理学与人类文明,1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。也使中国人“九天揽月”成为可能。,神州六号发射瞬间,神州七号照片,哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。,哈勃太空望远镜所观察到的离地球7000光年的巨鹰星云,人类登月,“嫦娥二号”于2010年10月1日在西昌卫星发射中心发射升空,1969年7月 人类第一次登月 阿波罗11号宇宙飞船,2、带电粒子在电场磁场中偏转的规律在科学技术中的应用。如：电视机显像管等。,电视机,电子枪,3、核物理的研究使放射线的应用成为可能。医疗上的放疗。在医疗上还有很多，如：用于治疗脑瘤的伽玛刀、核磁共振，超声波，x光机等。,核磁共振,x光机,4、20世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电子计算机等。,半导体芯片,5、20世纪60年代，激光器诞生。激光物理的进展使激光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。,6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代，我国高温超导的研究走在世界的前列。,7、20世纪90年代发展起来的纳米技术，使人们可以按照自己的需要设计并重新排列原子或者原子团，使其具有人们希望的特性。,美国赖斯大学 “纳米车”，长4nm，还不到人头发丝直径的万分之一。每分钟能跑纳米 .,8、生命科学的发展也离不开物理学。脱氧核糖核酸（dna）是存在于细胞核中的一种重要物质，它是储存和传递生命信息的物质基础。1953年生物学家沃森和物理学家克里克利用x射线衍射的方法在卡文迪许（著名实验物理学家）实验室成功地测定了dna的双螺旋结构,威尔金斯、沃森和克里克分享1962年诺贝尔生理学或医学奖。,dna结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯,dna的双螺旋结构,航空母舰,海洋石油钻井平台,我国祖先的功绩,赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞肩式建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外型秀丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。,杭州湾跨海大桥是一座横跨中国杭州湾海域的跨海大桥，它北起浙江嘉兴海盐郑家埭，南至宁波慈溪水路湾，全长36公里，是目前世界上最长的跨海大桥,摩索拉斯陵墓,万里长城,埃及金字塔 the pyramids of egypt,国家游泳中心的选定方案h2o3(“水立方”),由中国建筑工程总公司、澳大利亚ptw公司、澳大利亚arup公司组成的联合体设计的h2o3(“水立方”)，融建筑设计与结构设计于一体，设计新颖，结构独特，与国家体育场比较协调，功能上完全满足2008年奥运会赛事要求，而且易于赛后运营。,二、力学的分类,注：连续介质力学(包括弹性体力学和流体力学)是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。,三、理论力学的研究对象,经典力学的应用范围是：宏观、低速运动物体。理论力学是经典力学的一大部分，但不讨论连续介质力学。静力学不象工科一样详尽，而只是作为动力学的一特例。,理论力学：是研究宏观物体机械运动规律的一门学科。,机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。,四、理论力学的研究方法,是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。,五、理论力学的发展史,意大利的达芬奇(14521519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。,波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。,德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。,意大利的伽利略(15641642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。,早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。,英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等。是力学奠基人。,瑞士的伯努利(16671748)提出虚位移原理。,瑞士的欧拉(17071783)出版著作力学用微分方程研究。,法国达朗伯(17171785)出版著作动力学专论达朗伯原理。,法国拉格朗日(17361813)出版名著分析力学。,主要参考书目：,1 周衍柏.理论力学教程（第三版）,高教出版社,1986 2 肖士珣.理论力学简明教程，人民教育出版社，1983 2 陈世民.理论力学简明教程, 高教出版社, 2001 3 刘焕堂.理论力学原理与方法,厦大出版社,1997 4 胡慧玲等.理论力学基础教程,高教出版社,1986 5 卢圣治.理论力学基本教程，北师大出版社，2004 6 h.goldstein, classical mechanics, 2-nd edition, addison wesley,1980,后记：翠鸟精神,有 志 者 事 竟 成,天 道 酬 勤,事半功倍,第一章 质点力学,1.1 运动的描述方法,一、参照系与坐标系,参照系,物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。, 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；, 观察者是站在参照系的观察点上；, 不特别说明都以地球为参照系。,说明：,坐标系,为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。,3、质点及位置的描述,(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。,(2) 位置描述,坐标描述：,质点相对某参照系的 位置，可由位矢r 确定;,直角坐标系:,二、运动学方程及轨道,1、运动方程,极坐标系：,描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。,质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有,（1）矢量形式的运动学方程,当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。,（2）直角坐标形式的运动学方程,这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。,（3）极坐标下的运动学方程,当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。,（4）自然坐标形式的运动学方程,对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。,质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。,2、轨道,质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。,三、位移、速度、加速度,1、位移：,2、速度：,3、加速度：,1.2 速度、加速度分量表示式,一、直角坐标系,1、速度：,分量式：,大小：,方向：,可用速度与三个坐标轴的方向余弦表示,2、加速度：,分量式：,大小：,例1设椭圆规尺ab的端点a与端点b沿直线导槽ox及oy滑动（如下图所示），而b以匀速度c 运动，求椭圆规尺上m点的轨道方程，速度及加速度.设ma=a,mb=b, .,m点速度的方向：,m点加速度的方向：,例2,解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：,求速度,求加速度,二、极坐标系,1、速度：,注意: 方向都变化，乘积函数求导。,先求：,同理：,速度分量式：,大小：,2、加速度,即：,2、加速度推广到柱坐标（平面极坐标加垂直的z坐标）,例4,例5,(3),解：由已知条件,（1）,（2）,(3)、(4) 二式即为运动学方程,消去t得轨道方程,三、自然坐标系,1、,3、速度,4、加速度,4、密切面,例6 一质点沿圆滚线 的弧线运动，如 为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。 为圆滚线某点p上的切线与水平线(x轴)所成的角度，s为p点与曲线最低点之间的曲线弧长。,求加速度,所以,解:,例8,1.3 平动参照系,一、绝对速度、相对速度与牵连速度,2.不同参照系下研究 点的运动的关系:,1.如行驶的船中有小车运货。参照系 (船)相对于参照系 （地球)作平动, 称为对 的平动参照系， 一般称为静系， 为动系。,其中 为 相对于静系 的速度，称为绝对速度。,【例题1】某人以4km/h向东前进, 感觉风从正北吹来,以8 km/h向东前进, 感觉风从东北吹来, 求风速和风向.,1、先确定是相对运动问题, 一个被考察的质点和两个做相对运动的参考系。,解：,2、确定动系和静系 静系：地面 动系：人 研究对象：风,为p相对于动系 的速度，称为相对速度。,p点同时参与两种运动：相对于动系 的运动；被动系 带着一起以 运动,为 系相对于静系 的速度，称为牵连速度。,由：,:人行走速度， ：风速(相对于地)， :风相对于人的速度,得：,得：,解得：,因此：,风速：,风向：西北风,以矢量方式求解：,【例2】小船m被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边a点，假定水流速度c1沿河宽不变，而拉绳子的速度则为c2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.,确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船,解：,由：,选取极坐标, 得,: 牵连速度， ：绝对速度， :相对速度,两式相除得：,二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度,动系s相对于静系s做匀加速直线运动,由,得:,1.4 质点运动定律,（1）什么样的参照系是惯性系？,（2）什么样的参照系是非惯性系？,（3）如何判断一个参照系是静止还是做匀速直 线运动(力学相对性原理)？,（4）地球是个绝对的惯性系吗？,（5）力与加速度方向的关系如何？,回答下列问题：,注意以下几点:,第一定律是第二定律所不可缺少的前提，因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系,第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的引力质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.,一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大而且对精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时，地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是310-10米/秒2， 一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了.,基本定律:质量为 的质点受力 的作用，在惯性系中的加速度为 , 则:,1.5 质点运动微分方程,一、微分方程的建立,1. 自由质点的运动,限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。,(1) 直角坐标系,三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：,即可解得质点的运动规律。,(2) 平面极坐标,如果质点在xy平面上运动，,或:,2. 非自由质点的约束运动,若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质。约束确定后，质点的运动状态取 决于质点受到的主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.,质点运动的约束微分方程：,求解时，一般采用自然坐标系。,(1)光滑约束：约束力在轨道的法平面内，即沿质点运动方向没有分量,(光滑隐含的意义),(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.,(2) 非光滑约束: 约束力在质点运动方向有分量 (如摩擦力),四个方程，四个未知数v,rt,rn,rb,二、运动微分方程的求解,1. 力仅是时间的函数：f=f(t),例1: 研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动,解：自由电子(视为经典粒子)受电场力作用，,于是：,在x方向投影：,两边对t积分，得,假设初始条件: 当t=0时，v=v0,假定初始位置t=0时，x=x0, 则,最后，得到,结果讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。,(2) 其余部分描述电子的直线运动。该部分不会产生波动的电磁场，对电磁波的传播没有贡献。仅仅给出电子的细致运动。,小结：这类问题最容易解决，只需进行两次积分，就可以得到全部运动规律。,(1) 为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动,产生电磁波,对电磁波的传播有贡献;,2. 力只是速度的函数：f=f(v),在普通物理中，忽略空气阻力（零级近似），得到简单的抛物线方程:,抛体：,自由落体：,但在速度较大或者物体形状较大时，空气阻力都是不能忽略的。而空气阻力比较复杂，与物体形状、速度、空气密度、温度都相关。腔外弹道学,把抛射体简化为质点，则阻力,运动方程：,例2.考虑质点在重力场中运动时有阻力的情况。,投影：,再积分：,类似地：,y,消去x和y中的t, 得到轨道方程:,(a),结果分析：,(1) 若阻力b很小或者x很小时，结果中的三次方及以上可以忽略,轨道近似为抛物线。,（2）由(a)看出，在xmv0x/b时，y-，因此x 有一个极限值mv0x/b,【例3】质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离开地面为h的地方竖直下落。如阻力与速度正比，试研究其运动。,2.作图，受力分析,3.选取适当的坐标系（如图）,4.列出运动微分方程,即：,4.解方程,令：,则，得,积分得,由：,得,再积分得，并利用初始条件,5.分析解的物理意义,（1）t增大，v接近极限速度-g/k,运动几乎 为匀速直线运动。,【例4】在例3中，若阻力与速度平方成正比，试研究该质点的运动。,2.作图，受力分析,3.选取适当的坐标系（如图）,4.列出运动微分方程,(1),(2) 式变为,5.求解方程,(6)式变为,再积分,6. 讨论,【例5】质量为m的小球以初速v0竖直上抛，空气的阻力为r=kmv2 求：（1）上升的最大高度； （2）返回到地面时小球的速度。,下面列出投影方程，上升时,2.作图，受力分析,3.选取适当的坐标系（如图）,4.列出运动微分方程,利用：,积分：,得,下降时,利用：,积分：,(1),得,(2),将（1）代入（2），得,3.力只是坐标的函数：f=f(x),振动问题,(1) 一维谐振动,通解为,令,则,其中，,(2) 三维谐振动,（3）阻尼振动、受迫振动:,4.约束运动问题,一般选自然坐标系,【例6】小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x2=4ay。试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。,解：,1.作图，受力分析,3.选取自然坐标系（如图），投影,2.列出方程,4.求解,即,对（2）,对（1）,滑至顶点时：,由，,故，,滑至顶点时，x=0,y=0,故，,所以：,1.6 非惯性系动力学(一),- 动系相对与静系作加速平动,绝对加速度、相对加速度和牵连加速度之间满足如下关系,对于质点p，在惯性系s 中,惯性力,注意： (1)惯性力不是相互作用的力，不存在施力物体，只有在非惯性系中质点才会受这一力的作用。 (2)分析问题时注意选择的坐标系是惯性系还是非惯性系。,【例1】火车在平直轨道上以匀加速a0向前行驶，在火车中用线悬挂着一小球，悬线与竖直线成角而静止,求。,解：方法一（惯性系）,1.作图，受力分析,3.选取平面直角坐标系（地面为参照系，如图）， 分量方程。,2.列出方程,4.解之得,方法二（非惯性系），选火车为参照系,而：,即：,解之得：,【例2】质量为m和2m的两个质点,为一不可伸长的轻绳连接,绳挂在光滑的滑轮上.在m的下端又用固有长度为a、倔强系数 k=mg/a 的弹性绳挂上质量为m 的另一质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳处于固有长度上。由此静止状态释放后，求证这一运动是简谐振动。,解：,1.作图，受力分析,对x1,x2选大地为参考系，o为原点，建立直角坐标系ox1，ox2，而对x3则选非惯性系，o为原点，建立直角坐标系ox3 。,于是得到动力学方程组:,目的：求x3与时间的关系，判断是否属简谐运动。,由：,由（1）：,即：,令：,令：,则：,即：,1.7 功与能,一. 功和功率,1. 质点在恒力作用下沿直线运动,2. 质点受变力沿曲线运动,功是标量，其值与坐标选取无关。在直角坐标系下：,其中， 是力的作用点之位移。,3. 若质点受几个力f1 ,f2, ,fn作用, 合力,即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和。,4. 功率: 表述做功快慢的物理量。,二. 能,物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中机械能。当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来功是能量变化的度量。,生活中的各种能源举例，我国的能源现状。,三. 保守力、非保守力、耗散力,1. 力场:,一般情况下：,若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力f(r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，f 为场力。如：万有引力场、静电场。 若含有时间称为非稳定场。,2. 保守力场:,若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地由始末位置确定（与轨道形状无关）该力场称为保守力场。质点受到的场力为保守力。如电磁力、重力等。否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力 (漩涡力)，力场为非保守力场。 如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力,3. 保守力的判据:,f(r)为保守力的充要条件：,即：,证明:必要性,与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数v，使得,充分性:,根据斯托克斯定理,即积分与路径无关,=,同理：,4. 势能:,函数v(x,y,z)成为质点在坐标(x,y,z) 处的势能。 势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。,注：,1) 势能函数加上任意常数不影响势能差。,3) f与v的关系：,2) 仅当力场为保守力场时才可引入势能。,解：先验证力是否为保守力,解法二：选直线路径积分,解法三：沿质点运动的路径积分,解法四：用势能的增量计算做功,做功与路径有关。,不存在势能函数,1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律,一、动量定理与动量守恒律,1. 动量:,定义：,2. 动量定理,物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。动量是机械运动强弱的度量。,为动量定理的微分形式。,变形并积分,力对质点的冲量，是一个矢量。上式为动量定理的积分形式。,3. 动量守恒,即：如果质点受到的合外力等于零， 则其动量守恒。常数由初值确定。,即：如果质点在某方向上受到的合外力为0,则该方向上的动量守恒。,例：一质量为0.01kg的小球，从 的高度 处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为 。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量 是多少？,解法一：(1) 研究对象：小球 (2) 参照系：桌面，坐标系：ox (3) 受力分析：重力，桌面对小球的正压力(冲力)， 用平均正压力代替,其中，,解法二：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和 上升的整个过程。,标量方程为,其中，,二、力矩与动量矩,1. 力矩,力对空间某一点o的力矩:,o点称为矩心,力对空间某一轴线的力矩:(力矩矢量沿轴的投影),o,f对l轴力矩：,即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者力在平面上的投影对力的作用点在轴上的垂直投影点的力矩大小。,2. 动量矩(矢量),对o点的动量矩：,对x,y,z轴的投影：,三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点o),1. 动量矩定理( 出发点：牛顿第二运动定律 ),动量矩定理的微分形式,投影式:,2. 冲量矩,3. 动量矩守恒律,即：如果质点受到的外力矩等于零,则其动量矩守恒。常数由初值确定。,即：如果质点在某方向上受到的外力矩为0,则该方向上的动量矩守恒。,【例1】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动（如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。,解：,分量式为：,x乘(1), y乘(2), z乘(3),并相加,得:,经过固定点的平面方程。,由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩:,四、动能定理与机械能守恒律,1.动能定理,定义动能,质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功,2. 若f为保守力场，那么,机械能守恒,五、势能曲线,质点受一维守恒力的作用，则质点的势能是其坐标的函数。假设该一维坐标为x , 则v(x)x图形称为势能曲线。,经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应,【例2】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为0，忽略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。,解：(1) 分析用机械能守恒律的可能性,重锤受到哪些力？ 哪些做功哪些不做功？,(2)确定初末态时重锤的总机械能； 用机械能守恒定律求出速度,缺点：无法求出t 的大小。(若考虑空气阻力，则不能用机械能守恒),(3) 尝试用动力学的方法,受力分析,写出动力学方程(自然坐标或极坐标),注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表达式的正负。由于这里只关心速度的值，因此求解时最好把dt换成d：,于是微分方程变为：,两边积分：,求杆对重锤的作用力,守恒律小结,2. 牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用运动方程来的简单。,基础：,1.9 有心力,一、有心力的基本性质,1. 有心力： 运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。,有心力的量值一般为r的函数。,2.平面运动,因为力通过力心,质点必在垂直于 的平面内运动。,3. 运动微分方程,(1) 直角坐标,(2) 极坐标,物理意义:动量矩守恒,4. 有心力为保守力,机械能守恒定律：,解决问题的基本出发点：,二、轨道微分方程：比耐公式,通常求轨道：,然后消去t 后得到。但在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过 消除，从而得到关于r 与的微分方程,求解轨道微分方程可得轨道方程。,令：,-,-,用途:,太阳系概况 1、太阳：太阳系中心天体，是太阳系光和能量的来源，其质量占总质量的 99.865 %。 2、行星和卫星： 太阳系的主要成员 水 金 地 火 木 土 天 海 (公转方向相同) 卫星： 1 2 61 31 21 11 环带： 有 有 有 有 3、小天体： 小行星、彗星、流星、陨星。,木 土 天 海 地 金 火 水,公转轨道具有共面性：,三、平方反比引力行星运动,引力:,比耐公式变为,a,0微积分常数,将极轴转动使0=0,为正焦弦的一半,为偏心率,由初始条件确定,可见,平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。,在直