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复合函数单调区间的求法 汪 卫 国（孝昌二中，湖北 432900） 函数的单调性是函数的最重要性质之一，它有很广泛的应用，在整个高中数学中占有重要的地位，每年全国各地的高考试题几乎都会涉及到函数的单调性，而且多数情况下都是考察难易程度不同的复合函数的单调性，因此，掌握复合函数单调区间的求法就显得尤为重要。本文先通过介绍求解复合函数单调区间的一般步骤，再结合一些相应的例题，以帮助同学们切实掌握复合函数单调区间的求法。定义 由函数和所构成的函数称为复合函数，其中通常称为外层函数，称为内层函数。求上述复合函数的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1） 写出构成原复合函数的外层函数和内层函数；（2） 求外层函数的单调区间（包括增区间和减区间）等；（3） 令内层函数，求出的取值范围；（4） 若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间；（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数在集合或这些单调子区间的增减性；（6） 令内层函数，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数还有更多的单调区间、，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。 例1 求函数的单调区间 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知是外层函数的单调增区间；令，解得的取值范围为；由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。 例2 求函数的单调区间. 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知是外层函数的单调减区间；令，解得的取值范围为；结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调增区间，是其单调减区间；于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，是原函数的单调减区间，是原函数的单调增区间。 例3 求函数的单调区间. 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知和都是外层函数的单调减区间；令，解得的取值范围为；结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。同理
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