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吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义第一章 函数与极限1-1映射与函数一、集合1.集合的概念是指具有某些特定性质的事物的总体，组成这个计合的事物称为该集合的元素。常用大写拉丁字母A，B，CB表示集合，用小写拉丁字母a,b,c集合的元素.通常有两种表示法，列举法，描述法。1.集合的运算2.区间和邻域 有限区间：开区间，闭区间，半开区间，无限区间： 邻域：设是任意正数，则开区间就是点一个的邻域，这个邻域称为的记作，既 二、映射1. 映射概念定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中每个元素，按法则，在Y中有唯一的元素与之对应，则称为X到Y的映射,记作,其中元素（在映射下）的像。并记作，即 而元素称为元素（在映射下）的一个像；集合X称为映射的定义域，记作 ,即X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或。三、函数1.函数概念定义 设数集，则映射：为定义在上的函数，通常简记为 ， ，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记作，即。定义域的求法原则（a）分母不为零吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义（b）（c）（d）（e）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求的定义域解：且 且或 定义域为(3)分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点(4)复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例2 可复合成注意：就不能复合。例3 可以看作是复合成的复合函数。5.反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义应当说明的是，虽然直接函数是单值函数，但是其反函数却不一定是单值的。例如，的定义域为，值域。任取非零的，则适合的的数值有两个：。所以，直接函数的反函数是多值函数：。如果把限制在区间上，则直接函数，的反函数是单值的。并称为直接函数，的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为。一个函数若有反函数，则有恒等式。相应地有。例如，直接函数的反函数为，并且有，。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。2. 函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。3.初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。图1-3图1-2吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义（6）常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。图1-6通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：. 6，8吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义1-2 数列的极限一、数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析1定义：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义收敛数列有下述3个性质2性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。1-3 函数的极限一、函数的极限1函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零。如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作。它的解析定义是：设函数当大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义时的极限，记作。显然，存在的充分必要条件是1. 函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作。现在考虑自变量的变化过程为。如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限。当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的。它的解析定义是：设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关。显然，吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义关于函数的极限有如下定理：二、定理：定理1（极限的局部保号性） 如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）。定理1 如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。定理2 如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）。上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的。但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形。在的情形，在的左侧，。在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或。类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或。根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在。图1-7例4 函数当时的极限不存在。证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义作业：30页1，2，3-（1）（2） 38页6。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义1-4. 无穷大与无穷小前面我们研究了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即一、无穷小与无穷大1定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即。2定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作。显然，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量。注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。关于无穷大、无穷小有如下一些结论：定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义如果为无穷小，且，则为无穷大。1-5. 极限运算法则一、极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理3 如果，则存在，且 。在这里应该注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当时，是无穷小，个这种无穷小之和的极限显然为2。（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当时，是无穷大量，是有界量，显然。（4）下，其极限未必大于0。例如，显然，但。（5）无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。在给定的趋势下，和都存在的情况下，有如下运算法则成立（1）（2）（3） 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义（4）这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。二、求极限的几种常用的方法1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用定理求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。6. 复合函数的极限运算设函数当时的极限存在且等于，即，但在点的某去心邻域内，又，则复合函数当时的极限也存在，且小结：1、本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质2、本节介绍了不同类型的未定式的不同解法，要熟练掌握这些方法作业：48页1，2，3。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义1-6. 极限存在准则，两个重要极限一、极限存在准则：1准则1 如果数列及满足下列条件：（1），（2）那么数列的极限存在，且。2准则2 单调有界数列必有极限如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。例 求解： 而 所以原式极限为1。二、 两个重要极限：1 第一个重要极限：利用收敛准则1，我们容易证得第一个重要极限（详见教材）注1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义例如，。注2 第一个重要极限可以解决型，含三角函数的未定式。自我练习：（1） （2） （3） （4）2第二个重要极限： 注1 上述三种形式也可统一为模型成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。注2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，自我练习：（1） （2） （3） （4） 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义（5）小结：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求极限的方法。作业：55页1，2-（2），（3）吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义1-7 无穷小的比较一、无穷小的比较当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小。如果，就说是和同阶无穷小；如果，就说是关于的阶无穷小。如果，就说与是等价无穷小，记作。注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。二、定理定理1： 与是等价无穷小的充分必要条件为定理2：设且存在，则例 1、求解：当时，所以 例2：求解：当时，无穷小与它本身等价，所以 小结：本节讲述了对无穷小量进行了分类作业： 59页3，4.吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义1-8.函数的连续性与间一、函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。1定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。下面给出左连续及右连续的概念。2定义2 如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。二、函数的间断点1定义3设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但；吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：2间断点的分类 在连续。 在间断，极限为2。 在间断，极限为2。 在间断，左极限为2，右极限为1。 在 间断在间断，极限不存在。像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义称作第一类间断中的跳跃间断。被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断。就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。