《如何用电脑教学》doc版.doc

蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁羈蒃蚇螇羇薆袃肅羆芅蚆羁肆莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肀芆薃螆肀荿蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇芃薀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅节薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃羆艿薈蒆袂艿芈螁螈芈莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈莅芅螈螄莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁羈蒃蚇螇羇薆袃肅羆芅蚆羁肆莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肀芆薃螆肀荿蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇芃薀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅节薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃羆艿薈蒆袂艿芈螁螈芈莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈莅芅螈螄莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁羈蒃蚇螇羇薆袃肅羆芅蚆羁肆莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肀芆薃螆肀荿蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇芃薀袂膆蒅袆螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅节薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃羆艿薈蒆袂艿芈螁螈芈莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈莅芅螈螄莄莇薁肃莃蕿螆聿莃蚁虿羅莂莁袅袁羈蒃蚇螇羇薆袃肅羆芅蚆羁肆莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂 如何用電腦教學全任重清華大學數學系一、影響我日後教學的老師從1972到1977年我在UC Santa Barbara唸了五年書。這間學校並不是間一流的學校，裡面卻是有些一流的老師，以及經常有許多訪客到此演講，所以我有許多在教學上的構想或想法都是在這五年之間聽演講所吸收到的。1. 這五年中，對我影響最大的是一位中國數學家，早期的時候曾經來過清華大學，清華大學第一屆的暑期教師訓練班便是由他來開講的，當年他回來時在報紙上曾造成大新聞！ 他講課的方式非常特別，所有他講的東西通通都寫在黑板上，邊說邊寫，非常地精采、非常棒，所以上他的課所抄的東西都非常經典。他上課用黑板寫東西時，只有偶爾很常用的字眼會簡寫，像“Continuous”用“Cont.”來表示，其它東西都是整句話地完完整整地寫在黑板，所以光是抄他的黑板，最起碼學習到數學的句子要怎麼寫。在考試的時候，我們那個年代已經開始實施所謂的take-home測驗，例如禮拜五考試發下考卷，到下禮拜一才收考卷，如此你有三天的時間可以好好地去做好你的考試，在這段時間內你可以盡量參考書本，但就是不行跟同學一起討論。而他考試時就跟他平常上課一樣，在黑板上抄著：第一題.第二題.，光是考試的題目本身就要抄個十五到二十分鐘之間。他的講義非常精采，所以有同學就把他的上課講義整理好後，再請祕書小姐打字，經過過目之後發給同學。不要小看這麼一件事情，數學本來就有許多符號，以前那時代電腦也不是很發達，編輯數學文稿本身不是件易事，加上是個非常要求完美的人，只要打錯一個字，或一個符號，他就會因此而大發雷霆。最出名的特色，就是發脾氣，每個進入他研究室的同學都會兩腳發軟，因為他會大聲罵人，每當火山爆發時位於隔壁的人說會看到牆壁在震動。由於他對於上課講義嚴格的程度，使我學到不少東西。當年也是他推薦我來清華大學，我幾乎上過他開的所有課程，內容十分豐富，這是我印象最深刻也是影響最大的一位老師。在遇到畫圖時，一定畫得不漂亮不準確，然後說：哎！這個圖我畫得不好沒辨法，你們自己想辦法去體會。他就這樣交代過去，當然數學裡面本來就有許多圖象很難用粉筆畫出來。2. O Meara而在這幾年之間，有很多很多演講，其中許多讓我印象深刻的，比方來講，有位叫OMeara也是曾經到Santa Barbara訪問的老師，年紀並不大，他上課不需要帶講稿，寫數學從來不用縮寫，每個字都是完完整整的寫出。3. Erds數學界裡有位叫Erds的數學家，號稱是為當代發表數學論文篇數最多的一位，大約寫了上千篇的論文。他整天到晚到各處去訪問，在這間學校訪問兩個禮拜然後再到另外一間研究中心訪問兩個禮拜，一個地方不會待久，他到每個地方訪問時大家就會請教他數學、聽他的演講。讓我印象最深刻的是，他上課時，好像傳教士在講道一樣，對數學非常虔誠。他操著很重的匈牙利口音：上帝有一本非常好的書，書裡面包含所有最精采的數學證明，我們都是想辨法偷看到他那本書的凡人。這是他對數學虔誠的態度。可是他上課時卻是非常有趣，一方面他的英文很爛，帶有匈牙利腔的英文，另一方面他寫的字也很糟糕，不是寫得不清楚就是很潦草，可是他是位非常受歡迎的老師，且他的論文多得不得了，其中有不少作品與他人合作。數學界流傳一種名叫Erds Number的數字，其定義如下：假如張三與Erds合寫過論文，則張三的Erds Number設定為1。假如李四與Erds沒有合寫過論文而與張三合寫過論文，則則李四的Erds Number設定為2，如此類推下去。有個網站/grossman/erdoshp.html專門研究Erds Number。Erds有另一招利害的地方是，面對不懂的問題會說：我現在提出一個問題，這個問題值5元，如果你解出這個問題並發表出來，我就寄張支票上面寫著5元給你！下面一道難題值10元、20元等。他的題目大至不會超過100元美金。當年有很多數學家以拿到他的支票為榮，且大多數的人拿到他的支票後，不去兌現，而把它當獎狀掛在牆上，對人說：你看，我拿到Erds的5元、我拿到Erds的20元！這個習慣影響到電腦科技。大師Knuth每當寫了一本書，你若發現到有錯誤他便給你2.56美元，一年之後價碼提升到$5.12,，如此每年加倍直到327.68美元為止。希望Bill Gates也能學他這招偵錯的本事！ 二、電腦在教學上的使用這些都是很特別的人，回到我自己，我剛來到清華大學時，也嚐試拿那套方法用在我學生身上。然而現在的同學的抄筆記功夫不像我們當年那麼厲害，我慢慢學到，為了使同學的筆記能完整，我會把我上課的東西乾脆就擺在網頁上，比起當年是寫鋼板，寫錯還得用火柴將它燒去，省不少麻煩呢！1.電腦的發展過程我的博士論文的製作過程和別人的不太一樣，因為那時在學校跟系裡的助理很熟，下班後可以到他們那用電動打字機打我的博士論文，定理定義也可以在上面編排.等。而那時的打字機只能敲出拉丁字母及阿拉伯數字，如果要打要找到的鋼條換掉數字上的鋼條，再按下那個鍵。進入清華任教時，打字機上有個球狀的東西，只要換個有的字球就行，比之前的高明多了。隔沒多久，到了1981年，IBM製造出第一台PC，再過兩年，TCI公司出了T3 軟體，此軟體不但可以打希臘字母，還可以打數學符號，而它最重要的技術就是WYSWYG (What you see is what you get.)。數學系是清華大學是第一個將它引進來的單位，系上許多碩士論文也是用這套軟體打出來的。隨後，像機電所(電機系的前身)、管策所(全名為計算機管理決策研究所)都陸續跟進採用這套軟體。2.影響電腦對現在人影響相當大，以下用幾個簡單的例子，說明現在最新的情況！這套軟體是TCI公司發展到現在的叫Scientific WorkPlace，可以很輕易地打出希臘字母、羅馬字母，或典型的數學式積分等。想像你將微積分考題交給一位完全不懂微積分的小姐來打字，這套軟體能使得當她打完題目時標準答案也同時地被打出來！3.衍生的問題學生可以用這套軟體嗎？這套軟體現在已經很氾濫的使用。將來的老師可能要面對這樣的世界：當你努力地像當年那樣在黑板上寫了一大堆數學式子來推演時，學生在下面按個鍵盤答案一早就出來了。這就是所謂的教育工學，在這10年20年間進展十分迅速。問題是：現在的數學老師裡，有多少人懂得使用這種東西？對於一個完全不懂數學的打字小姐，她可能打完題目後答案就出來了！那老師還有什麼用呢？老師的的存在到底如何安立？三、數學軟體1. MapleMaple是現在教學重要的工具，目前已發展到Maple 7，具強大的符號運算能力及2D、3D繪圖功能等。即使你只把Maple當成個黑盒子，丟什麼進去就出來什麼，如此的使用雖然無法攝取道到它的強大功效，也都值回票價。在教育工學的環境裡教數學，不只是講述敲鍵盤、按滑鼠而跑出結果，更重要的課題是：這些方法卻能影響到數學的教材內容。仔細想想：在中學的整個學習過程中，人們對數學的印象是煩雜的計算與陌生的符號。現在我們以因式分解為例：你看這樣一敲答案就出來。這個動作說明因式分解是機械式的動作，背後缺乏高深的數學推理，而我們中學所學的也不就是一堆非常機械化的動作嗎？這些軟體出現之後，尤其突顯這個動作並不是非常重要。所以，對大學生而言我們更不應強調這些東西。比如微積分教學時，學生學得再好，也不可能比電腦來得快吧！如此看來，這軟體是個挻不錯的教學工具，因為它影響我們的教學內容。數學本身有很多是需要思考，而非僅是機械化的摩練學生計算的速度。在我的微積分課裡，我要求學生要會使用這個軟體(Maple)，考試Open Book的方式，可以參考任何筆記、任何書本，也可以便用任何軟體，可以用計算器幫你決解任何問題，唯一要求是不能跟隔壁同學討論，學生可以在兩個鐘頭內回答問題。我的觀念是，電腦只是用來輔助計算的工具，真正數學裡面思考的部分是不太可能用電腦就能得到結果。另一方面，我們可以透過電腦來做實驗，一面作實驗一面想我有什麼樣的猜想可能是對的，這類事情電腦幫了很大的忙，但是，對於證明這方面，按幾個鍵就證明出來，我相信世界上還沒達到這麼厲害的程度！2. Cabri Geometry古代人如何學幾何剛才是介紹跟符號運算有關的軟體，那我們再回顧人類最早是怎麼學數學的。西方最早的數學出現於埃及，最早的幾何學可能是埃及人做出來的，那埃及人是怎麼教學生幾何呢？他們很可能是幾個人圍在沙地上，用根棍子在沙地上畫圖形來探討幾何作圖的方法。可以想像，在沙地上畫個圓圈，人們會問：我從上面看是個圓圈，從旁邊望過去不是個橢圓嗎？因此他們教學的工具就影響到他們討論的內容，為什麼呢？這種方式很容易引導他們問到：究竟什麼樣的幾何圖形具有從上面看和從側面看都是正確的性質？也就是我們數學裡面所謂的投影幾何，投影幾何也就是這樣子發展出來的。所以我們說古時候西方文化裡面，投影幾何是他們最早的學習對象。投影幾何對西方文化有非常深遠的影響，舉例來說，中國的國畫和西方的油畫比較下，中國人講的是意境，他們可能不像我們那麼講究意境，可是他們把投影幾何的原理搬到裡面，最明顯的例子就是耶穌的最後的晚餐，週圍所有物體相關的連線都相交在耶穌的眼睛上。你可以看到西方所有藝術有關建築物的，都是基於投影幾何的原理所畫出來的。在中國古時候的國畫裡面，就沒有投影幾何的精神在裡面，這便是投影幾何在西方文化蠻重要的影響。所以，你用什麼教材、什麼工具教學生，這個相當影響整個學術的發展。現代的幾何作圖軟體剛剛講的投影幾何完全基於直線作圖所發展出來的。傳統幾何採納圓規和直尺作為教學工具。由歷史發展不難看見：整支歐氏幾何就是依據圓規和直尺的作圖所發展出來的。在1990年左右，出現了一套軟體，它現在的型式叫Cabri Geometry，它所作出來的東西基本上都是圓規和直尺的作圖。(我們由以下現場展覽看到如何由摺紙的折痕形成橢圓)。好處是，它可以把圓規直尺作圖的過程，完完整整地在電腦上做出來。透過這個軟體來教學時你會發現，我們所教的數學思考方法要作個很大的改變，傳統的教學是：已知、求證、證明三步曲，最精采的部分放在證明。現在在動態幾何的環境下，我們不難體會到，求證的過程反而最具吸引力！有些現在看起來精采的數學證明，當年要經過多麼辛苦的歷程，可是現在的學生完全不知道獲得這個證明的掙扎過程，他們現在所看到的只不過是經過幾百年，人們把這個證明一次又一次地將之磨得更漂亮，看起來確實很漂亮，但完全不知背後的辛苦。有了這個軟體之後，有機會讓學生了解到中間掙扎的過程。甚至乎，在講橢圓時，先不要把橢圓的定義告訴學生，讓他們去想合乎這曲線上的點，它們的關係是什麼？從一個活動中間讓學生們去探討，啊！原來這個圖形有這樣的性質，那我們就把這樣的性質當作它的定義。所以甚至一些幾何圖形的概念、定義，也都可以想辨法透過電腦來了解，這是電腦最大的頁獻 允許大家透過動態幾何的實驗，了解這些東西。現代軟體在繪製函數圖形必定要依賴數學方程式。就像在Maple的作圖中，你想要做圖形，它是把x的值代入方程式中逐點逐點的做。但納悶的是，我怎麼知道電腦的計算一定是正確的？便產生了很多問題，比方說：用電腦學習數學時學習者是否必須盲從黑盒子的計算過程？可是如果我們採用Cabri之類的軟體時，又是另一種效果，因為表面上看來你只用圓規和直尺來作圖，似乎沒什麼代數，可是你卻能用它把每一個多項式函數圖形作出來。像這類代數之視覺化的活動是很值很探討的方向。四、網頁的功效1.課程網頁(請見/disk3/appreciation/index.html, .tw/ne01/tjy/appreciation/appreciation.htm) 2.學生作業展示典型的網頁。只用圓規作連桿。網頁的環境的確可以把教學變得多采多姿。展示數學欣賞網頁，過去開的課程，學生作業，五、問題討論問：在教橢圓形時，在傳統的數學教學是告訴你已知是什麼，請你把它證出來。而在動態幾何環境下，先不告訴學生橢圓的定義，要學生由實作中整理出橢圓的概念，然後提煉出定義，所以變得有趣的。問題是，你怎麼發現它的證明？全：傳統的數學教學將重點放在證明，可是在現在的教學環境來說，我們強調數學知覺、強調體會、強調幾何探索的樂趣、強調探索的過程。問：我想到一個有趣的地方，我不知這樣講對不對，我們會很好奇，一個數學家他已知這個，要把另一個證出來，他是證出來後才求證嗎？還是他的直覺告訴他這是對的，然後才去把它證出來？但一般人可有那麼強的直覺？全：一般在數學的領域中，當你覺得這個是對的，你要有很強的直覺才能知道這是對的，但是數學家總深怕直覺上是對的而實際上卻是錯的，所以要經過證明才能放心。可是在我所討論幾何作圖的範圍中，大致都需要想辨法去知道它的證明方法是怎麼才能順利將圖形畫出。當然，有一點數學和其它領域不一樣的地方：數學只把成功的結果作出來，而不會把失敗的結果展示出來。問：這是一個通識課程，您常需要對面不同年級的學生、不同的程度，您有沒有曾經對於不同科系，如理工科或人文的學生，對於他們如何學習的心裡歷程做過類似的研究？看看之間的差別？全：基本而言，大概不會有太大的差別，原因是典型的高中學生，他經歷過六年的數學訓練，但在這方面仍是不足的。國一的數學開始教代數，學生便完全把心思放在代數上，換言之，什麼叫做拋物線？他一定是把方程式告訴你，他並不知道拋物線原來是由幾何的定義所作出來的，甚而更簡單地，我把個東西往上拋，物體所走過的過程也叫做拋物，但他不會這麼想，他只會想成。這是我們現在的數學訓練，中學的數學訓練都是透過方程式的洗腦。而我剛剛講的圓規直尺作圖，在一百多年前稱為綜合幾何，那時的人們相當強調圓規直尺的作圖，可是最近一百年來代數、分析成為顯學，尺規作圖便沒這麼多人去研究，事實上從歷史的角度及整個數學發展的角度來說，這是非常有意義的學習策略。以視覺來體會數學的方式來教學，無論理工科或人文的學生都會容易接受。問：我覺得很有趣的是，往往東西被拋棄是因為這個東西不夠純粹，可是現在你提倡圓規直尺作圖來協助證明。由數學的發展看來，符號來操弄證明應該是最純粹的，而您的作法是讓我們回到更古老的方式，也就是更訴諸於與我們更接近的世界。全：數學界有一個基本的想法是：凡是用眼睛看到的東西是不可靠的。基於這個理念，二十世紀發展出極端缺乏直覺性的abstract nonsense。我們強調更具基礎性、更符合歷史發展、更直觀的由圓規直尺的角度來探討。問：你所展示的這些數學軟體會對於數學老師帶來何等的衝擊？或對未來整個教學教育的發展如何？如果老師在上面教學生在下面一按就出來，那未來老師如何教？全：我相信不只是數學，自二十世紀電腦發展之後，對每一學科都產生很大的影響，這是以前所無法想像的。我想任何一個學科都會遇到的問題是：在這個學科裡面什麼是最重要的東西？但又是誰來決定這是最重要的呢？大致這些都是由權威人士、權威的學派所定出來的，可是那些權威人士對於電腦的應用接觸了多少？是不是認為重要？這倒是另一回事。2002年的現在我們仍不難遇到滿腦袋裡充滿Fortran的架構的數值分析家，Fortran是他當年所學的。現在的他大概也沒有機會接觸也不想接觸新鮮的東西，何況這也不是他教授升等的標準。我算是很幸運的，1977年來清華大學教書，1984年時算是過關，在我過關前三、五年時，已經開始對這些東西有興趣，所以我一直對這有興趣一直做下去。但在我之後的人便沒那麼幸運，為什麼？因為以後的人還是需要過關，但他不太可能拿這種東西來過關，等到他過完關時，要他再學這種東西已經太遲了，他沒辨法去學，這樣惡性循環下來，就算是希望未來數學家對這類有足夠的了解，可是要找這個已不大容易，非常不容易，因為他的老師不會教他，他的老師的老師也不會教他，學習的途徑就小多了。問：不能被機器取代的數學，比如思考方式，有沒有特別的名稱？在您做的東西中要怎樣表現它是不能被取代的？全：數學裡面百分之九十九的推理都是不能被電腦取代。數學大致分為有限的世界及無限的世界，而電腦基本的架構屬於有限的世界，所以想要在電腦上表現無限時並不容易，或許可以考慮採用符號的運算。要電腦懂得思考的先決條件是：我們必須要用恰當的軟體來詢問恰當的問題。現在我們拿個簡單的數學問題為例來說明：為什麼偶數加偶數等於偶數？說穿了就是二倍的a加上二倍的b等於二倍的a+b，國中的同學都知道這叫做因子分解。偶數加偶數等於偶數，聽來簡單，但你可知道我已經偷偷的把無窮的概念隱藏在裡面？如果以直覺的方法來作實驗，我們會試試看2+4是不是偶數，然後問18+22是不是偶數？如果以這種精神做下去，就算使用最快速的電腦也做不完。道理是：基於有限的世界的電腦架構是無法處理無限多的資料。但如果從代數的角度來看位於公式2a+2b=2(a+b)中a可以用無窮的數字代入，無窮便從這裡進來。如果硬要用直覺的方法來詢問計算機偶數加偶數是否等於偶數？我們永遠得不到完整的答覆。可是如果利用符號運算軟體作2a+2b的因子分解時，由計算機所獲得的答案倒是完整的。問：數學的代數，聽起來好像屬於較高層次的認知科學，那難道電腦就不能做嗎？全：我也希望如此，但在數學裡面，比如求最大值解、最佳化解問題，這類東西不是在有限世界裡，在無窮世界裡也會產生，就您說的較高層次的認知方面，我也希望有類似的科技，但我從來不知道有實在的例子，可供人們模擬之。問：我意思是說模擬它的法則，法則是由數量計算而來，這個層次在電腦來說應該不成問題。我想問的是，目前我所知很多的人文思考，其中包括美術、直覺等，確實是連在好幾層認知之外，都不夠做預測、模擬，是否有這種現象？全：數學裡面的確是有這種事情，比如說人們的思考能夠在純粹及抽象的拓樸裡面一直發展下去。這類思考活動真的很像是電腦懂得進行的動作。但是當前似乎不存在懂得作這些動作的辨法。問：電腦的出現對現在的衝擊，以前如果我要證明一個定理，我就在某個期刊上發表一篇文章，那現在如果我有