利用关键性条件构造全等三角形.doc

膄莄薀袇肀莃蚂蚀羆莃莂袆袂蒂蒄蚈膀蒁薇袄肆蒀蝿蚇肂葿葿羂羈肆薁螅袄肅蚃羀膃肄莃螃聿肃蒅罿羅膂薇螂袁膁蚀薄腿膀荿螀膅膀薂薃肁腿蚄袈羇膈莄蚁袃膇蒆袆膂膆薈虿肈芅蚁袅羄芅莀蚈袀芄蒃袃袆芃蚅螆膄节莅羁肀芁蒇螄羆芀蕿羀袂艿蚁螂膁荿莁薅肇莈蒃螁羃莇薆薃罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄莄薀袇肀莃蚂蚀羆莃莂袆袂蒂蒄蚈膀蒁薇袄肆蒀蝿蚇肂葿葿羂羈肆薁螅袄肅蚃羀膃肄莃螃聿肃蒅罿羅膂薇螂袁膁蚀薄腿膀荿螀膅膀薂薃肁腿蚄袈羇膈莄蚁袃膇蒆袆膂膆薈虿肈芅蚁袅羄芅莀蚈袀芄蒃袃袆芃蚅螆膄节莅羁肀芁蒇螄羆芀蕿羀袂艿蚁螂膁荿莁薅肇莈蒃螁羃莇薆薃罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄莄薀袇肀莃蚂蚀羆莃莂袆袂蒂蒄蚈膀蒁薇袄肆蒀蝿蚇肂葿葿羂羈肆薁螅袄肅蚃羀膃肄莃螃聿肃蒅罿羅膂薇螂袁膁蚀薄腿膀荿螀膅膀薂薃肁腿蚄袈羇膈莄蚁袃膇蒆袆膂膆薈虿肈芅蚁袅羄芅莀蚈袀芄蒃袃袆芃蚅螆膄节莅羁肀芁蒇螄羆芀蕿羀袂艿蚁螂膁荿莁薅肇莈蒃螁羃莇薆薃罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄莄薀袇肀莃蚂蚀羆莃莂袆袂蒂蒄蚈膀蒁薇袄肆蒀蝿蚇肂葿葿羂羈肆薁螅袄肅蚃 利用关键性条件 构造全等三角形丁小泰 江苏省江都市郭村中学文章来源：2008年下半年度试题与研究内容摘要：利用角平分线、中点中线、相等线段、全等变换等关键性条件构造全等三角形解决问题论文关键词：角平分线、中点、中线、相等线段、全等变换全等三角形是初中几何的重要内容，它是证明线段相等、角相等的重要依据。构造全等三角形，技巧性强，难度大，在实际问题中，如何迅速地找到解题思路呢？具体问题具体分析，每个题目都有自己的最有特色的最具关键性的条件，利用这个关键性条件构造全等三角形，常可达到事半功倍的效果。一、利用角平分线，构造全等三角形角是轴对称图形，并且角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角的对称性和角平分线的性质，来构造全等三角形是解题的一个重要方法。例1. 如图，AOB90,将三角尺的直角顶点落在AOB的平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边与AOB的两边分别相交于点E、F，试证PEPF 图1 图2 分析：如图1，因为OC是角平分线，所以本题可以过P点作PMOA于M，PNOB于N，不难发现只要证明PMEPNF，即可得到PEPF，根据PMEPNF90、PMPN(角平分线性质)、MPENPF这三个条件，利用ASA可以证明PMEPNF。如图2,因为OP是角平分线，则AOPBOP，所以本题还可以在OF上截取OG，使OGOE，利用SAS可以证明POEPOG，所以PEPG，只要再证明PGF是等腰就可以得到PEPF。二、利用中点、中线，构造全等三角形题目的条件中常常出现中点、中线字样，此时可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或延长中线，构造全等三角形。例2如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC),取线段AE的中点M探究：线段MD、MF的关系，并加以证明通过观察发现，线段MD、MF的关系为：MDMF，MDMF分析：注意到M是BC的中点，延长DM交BE于N点，则构造出与MDA全等的MNE(ASA)所以MDMN，即M为DN的中点，根据猜测的结论MDMF，不难联想到等腰的“三线合一”性质，连FD、FN，只要证明FDN是等腰直角即可解决问题。而根据FCFE、FCDFEN45、CDNE(NEAD)，这三个条件，利用SAS可证明FCDFEN，可以说明FDN是等腰Rt例3.如图，AD是ABC的中线，求证：AB+AC2AD 分析：延长中线AD至M点，使MDAD，则ACDMBD(SAS)，所以ACBM，从而利用三角形三边之间的关系可解决本题。三、利用相等的线段，构造全等三角形全等三角形的四种判定方法有一个共同的特征，就是至少有一组边相等，利用线段相等可以构造全等三角形。例4. 如图所示，在ABC中，A90,ABAC,D为AC中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F, 求证：ADBCDF分析：欲证ADBCDF，首先应考虑证ADB与CDF所在的两个三角形全等，观察图形易知，CDF所在的CDF不可能和ADB所在的ADE或ADB全等，此时，应构造全等三角形解题。题目中出现两组相等的线段，即ABAC，ADCD，若以CD、AD为基础来构造，可以CDF为标准，去寻找一个包含AD、ADB的三角形与之全等，此时不难发现该三角形中应有一个45的角，因此可作BAC的平分线与BD相交于G，下面只须先证明ABGCAF得到AGCF，再证明ADGCDF即可。如图3所示，若以AB、AC为基础来构造，可以ADB为标准，去寻找一个与之全等的以AC为直角边的直角三角形，此时可过C点作CHAC交 AF的延长线于H。下面通过证明BADACH，从而把ADB转移到H，把AD转移到CH，再证明CFDCFH可证明结论。四、利用全等变换，构造全等三角形图形的平移、旋转、翻折这三种变换都是全等变换，即平移、旋转、翻折前后的两个图形全等，利用此性质可构造全等三角形。例5.如图,在ABC中，AEBF，FHEGAC，求证：EG+FHAC分析：由BFAE，FHAC，不难联想到将BFH平移至与EA重合的位置，即利用平移构造全等三角形。过E点作EMBC交AC于M，可证得BFHEAM，从而FHAM，证明四边形EGCM是平行四边形，得到EGMC，本题可以圆满解决。例6.如图，已知E、F分别在正方形ABCD的边BC和DC上，且EAF45,AK为自A向EF所引的垂线，K为垂足，求证AKAB。分析：将ADF绕A点旋转至ABG处，则AFAG，FADGAB。因为FAD+BAE45，所以GAB+BAE45即GAEFAE，根据SAS条件可得GAEAFE ，从而AKAB例7.如图,等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC45，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD2,BC8求(1)BE的长，(2) CDE的正切值分析：因翻折后点B与点D重合，连DE、DF，则BFEDFE，所以BEDE，则EDBDBE45,所以BED90，即DEBC，从而将求BE的长的问题转化为求等腰梯形ABCD的高的问题。根据题中的已知条件可求解，求CDE的正切值的问题也可以解决。解决问题要抓住关键，根据题目中的具体条件，从诸多的条件中找到一些关键性条件，构造出全等三角形，使问题快速得到解决。 莃薅蒇螆膆蒁蒆袈莁莇薅羀膄芃薄肂羇蚂薃袂膂薈薂羄肅蒄薁肇芁莀薁螆肄芆薀衿艿薅虿羁肂蒁蚈肃芇莇蚇螃肀芃蚆羅芆芈蚅肈膈薇蚅螇莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂芅螂肄膅薄螁螄羈蒀螀袆膃莆蝿肈羆莂蝿螈节芈螈袀肄薆螇羃芀蒂螆肅肃莈袅螅芈芄袄袇肁薃袄罿芆葿袃膂聿蒅袂袁莅莁蒈羄膈芇蒇肆莃薅蒇螆膆蒁蒆袈莁莇薅羀膄芃薄肂羇蚂薃袂膂薈薂羄肅蒄薁肇芁莀薁螆肄芆薀衿艿薅虿羁肂蒁蚈肃芇莇蚇螃肀芃蚆羅芆芈蚅肈膈薇蚅螇莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂芅螂肄膅薄螁螄羈蒀螀袆膃莆蝿肈羆莂蝿螈节芈螈袀肄薆螇羃芀蒂螆肅肃莈袅螅芈芄袄袇肁薃袄罿芆葿袃膂聿蒅袂袁莅莁蒈羄膈芇蒇肆莃薅蒇螆膆蒁蒆袈莁莇薅羀膄芃