《平面几何名定理》doc版.doc

数学教育网-数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 平面几何名定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题讲解1设AD是ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。2过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：。3D、E、F分别在ABC的BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。5已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。6已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证：。7ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PEAB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BCEF=BFCE+BECF。8正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）9O为ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距离。求证：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。10ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）11O1和O2与ABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点，EG、FH的延长线交于P。求证：PABC。12如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。例题答案：1.分析：CEF截ABD（梅氏定理）评注：也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。2.分析：连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1评注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。评注：托勒密定理6.评注：托勒密定理7.评注：西姆松定理（西姆松线）8.评注：面积法9.评注：面积法10. 评注：同一法11. 证明：连结BD交AC于H。对BCD用塞瓦定理，可得因为AH是BAD的角平分线，由角平分线定理，可得，故。过C作AB的平行线交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长线于J。则，所以，从而CI=CJ。又因为CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。常用不等式（比较有用的三元轮换不等式）1. 2. .当 时,还有（以下代表循环求和）3. 证：1.原不等式2. 原不等式3.无妨设amina,b,c 令b=a+p,c=a+q p,q0,原不等式. 这里A B C 显然成立4.(嵌入不等式)设x、y、z为实数，A、B、C为三角形的三个内角，则x2y2z22（xycosCyzcosAzxcosB）证：原不等式 显然成立.5.(Surnyi)设n3为正整数, x1、x2xn 为非负实数,证：若存在xi0 不妨设xn0原不等式变为 由Chebyshev不等式立得此式成立下设xi0 i1，2，n 利用数学归纳法证明原式n=3时 原不等式.此即Schur不等式设原不等式对n-1成立（n4）考虑n的情况:记， t1，2n对固定的k，1kn 考虑数组（x1，x2，xk-1，xk1，xn）由归纳假设，有 即整理得上式对k1，2n求和，得代入原不等式，得原不等式 因为所以由Schur不等式知此式成立6. a1a2an , b1b2bn .( 注：满足1.2.3.，可简记为（a1，a2，an）（b1，b2，bn）)证：引理：设为凸函数，acb，则 证略。回到原题，令 i1，2n 我们证明 若已证明 令， k1，2n 则所以.下证：当aiai+1bibi+1,由引理.其他情况类似可证。7. (凸函数性质1)设acb为实数，n为正整数，实数x1、x2xn满足ax1x2xnb，函数f在上上凸，在上下凸。记F.则F最小时，存在 使得x1x2xk-1a， xk+1xk+2xn.则F最大时，存在 使得x1x2xk-1，xk+1xk+2xnb.当函数f在上下凸，在上上凸时，有类似结论。证：先考虑F最小的情况 若没有xi或仅有x1c 此时cx2x3xnb，由Jensen不等式 若存在i 2 使ax1x2xic 则f（x1x2xi（i1）a）,相加即得.ii 存在m， 使 无妨设m最小则f（x1x2xm-1（m2）a）+f（x1x2xm-1+xm（m2）ac）f（c）.则此时仅有（x1x2xm-1+xm（m2）ac） 如此调整下去即可.F最大时类似地可得结论8. (凸函数性质2)设a为实数，n为正整数，