变分理论的一 致性.doc

肃蒃莆袃膅芆螅袂羅聿蚁袁肇莄薇袁膀膇蒃袀衿莃荿衿羂膆蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿莅羅肈膂螄羅膀蒈蚀羄芃芀薆羃羂蒆蒂蕿肅艿莈虿膇蒄蚇蚈袇芇薃蚇罿蒂蕿蚆膁芅蒅蚅芄膈螃蚄羃莄虿蚃肆膆薅蚃膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀蚆螀肂膃蚂蝿芄蒈薈螈羄芁蒄螇肆蒇莀螇腿芀蚈螆袈蒅薄袅羁芈蒀袄肃蒃莆袃膅芆螅袂羅聿蚁袁肇莄薇袁膀膇蒃袀衿莃荿衿羂膆蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿莅羅肈膂螄羅膀蒈蚀羄芃芀薆羃羂蒆蒂蕿肅艿莈虿膇蒄蚇蚈袇芇薃蚇罿蒂蕿蚆膁芅蒅蚅芄膈螃蚄羃莄虿蚃肆膆薅蚃膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀蚆螀肂膃蚂蝿芄蒈薈螈羄芁蒄螇肆蒇莀螇腿芀蚈螆袈蒅薄袅羁芈蒀袄肃蒃莆袃膅芆螅袂羅聿蚁袁肇莄薇袁膀膇蒃袀衿莃荿衿羂膆蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿莅羅肈膂螄羅膀蒈蚀羄芃芀薆羃羂蒆蒂蕿肅艿莈虿膇蒄蚇蚈袇芇薃蚇罿蒂蕿蚆膁芅蒅蚅芄膈螃蚄羃莄虿蚃肆膆薅蚃膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀蚆螀肂膃蚂蝿芄蒈薈螈羄芁蒄螇肆蒇莀螇腿芀蚈螆袈蒅薄袅羁芈蒀袄肃蒃莆袃膅芆螅袂羅聿蚁袁肇莄薇袁膀膇蒃袀衿莃荿衿羂膆蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿莅羅肈膂螄羅膀蒈蚀羄芃芀薆羃羂蒆蒂蕿肅艿莈虿膇蒄蚇蚈袇 变 分 理 论 的一 致 性 赵建中 （云南大学资源、环境与地球科学学院，昆明，650091） 摘要： 本文以数学逻辑讨论了弹性力学中的变分理论。讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。文章发现，钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的；涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾；对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。在数学逻辑的背景下，变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统；变量独立性应该逻辑地理解为变量本体性；变分理论形式化是解决变量独立问题的方法。文章对弹性力学提出两个具有一致性的系统：变分公理系统和变分形式系统关键词 变分理论，变量独立，一致性，形式化，变分公理系统 ， 变分形式系统中图分类号： O343.2 文献标识码：A1. 引言广泛运用于数学、物理学和工程学诸多领域的变分法是数学物理方法的一种基本的、重要的方法。最小势能原理（Minimum Potential Energy Principle，以下称MPEP）是弹性力学中的一个典型的变分原理1,2。胡海昌和鹫井久一郎分别独立地建立了三类变量的变分原理，通称胡海昌-鹫井久一郎原理（以下称 H-W 原理）3-6。 1964年, 钱伟长用拉格朗日乘子法推导出H-W原理 。何吉欢称，此举“使得推导广义变分原理从盲目走向科学” 7,8。1983-1985期间, 钱伟长论证了 H-W 原理有一个约束条件，因而原理中有一类变量不独立，原理等价于两变量的 Hellinger-Reissner 原理( 以下称H-R 原理)9-13。为了解除H-W原理 的约束，钱提出了高阶拉格朗日乘子法并建立了 原理，而且称其为完全的广义变分原理9-11。何吉欢称：“这是变分发展史上的重要里程碑” 7。然而，正如本文指出的，在钱的理论中存在着若干矛盾。 罗恩的工作也涉及到变量独立问题。他事实上认为变分原理中的变量独立是不证自明的或理所当然的14。但是变量独立的问题并没有解决，因为在他的系统中也存在着矛盾。进一步，我们发现，在鹫井久一郎、钱伟长和罗恩的工作中明示的或隐含的有关变量独立的“传统”的理解隐含着矛盾 6, 9-11, 14。 本文提出并讨论了变分理论的一致性问题，指出一致性是对任何数学理论的基本要求，变分理论也不应该例外。如果变分理论是一个严格的理论，它必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统。如果变分理论是一个具有一致性的系统，变量独立性就应该理解为变量本体性，变分理论的形式化是解决变量独立问题的方法。其后我们对弹性力学的变分学提出了两个具有一致性的变分理论：变分公理系统和变分形式系统。 2.弹性力学的基本方程、变分理论的一致性原理 2.1. 弹性力学的基本微分方程(a)平衡方程： ; (2.1)(b)几何方程（应变-位移关系）： ; (2.2)(c)物理方程（应力-应变关系）： (2.3a)或 ; (2.3b)(d)应力边界条件： ; (2.4)(e)位移边界条件： . (2.5)式(2.1)-(2.5) 中应用了爱因斯坦惯例，如 ； 是弹性体的体积域；是加载面力 的分片光滑的表面部分；是给定位移 的分片光滑的表面部分； 是 体力分量；, 和 分别为应力、应变和位移分量； 和 分别为物体的势能和余能； 是边界面元法矢量的方向余弦。物体边界 由两部分边界和组成, (2.6)2.2. 本文讨论的弹性力学的变分原理（给出泛函） (即 MPEP) , (2.7) (2.8) , (2.9) , (2.10) . (2.11)2.3. 本文提出的变分理论的一致性原理 当且仅当变分理论的逻辑系统中不存在逻辑矛盾时，该变分理论是一致的。3. 高阶拉氏乘子理论的不一致性3.1. 高阶拉氏乘子理论虽然钱伟长的论文中没有声明，但他的逻辑系统事实上包含下面的九个公设，九个定义和九条推导和推理规则：3.1.1. 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的公设P3.1. 泛函由(2.7)-(2.11)式表达的弹性力学变分原理。.P3.2. 方程 (2.1), (2.2), (2.3a) 或(2.3b), (2.4) 和 (2.5) (本节中表为(2.1-2.5) )。P3.3. 唯一性定理 10： 对于某一物理问题而言，只要变量是完备的，变分约束条件已知，或根本没有任何变分约束条件，则其有关变分原理或广义变分原理的泛函，是唯一地决定的。P3.4. 变量独立性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，任一变量（、 或 ） 不能既是独立的又是不独立的。P3.5. 变量独立性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，每一变量（、 或 ） 必须是独立的或者是不独立的。P3.6. 约束性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的任一方程不能既是约束条件又是自然条件。P3.7. 约束性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的每一方程必须是约束条件或是自然条件。P3.8. 变分原理身份的矛盾律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的任一变分原理不能既是有约束的变分原理又是无约束的、完全的广义变分原理。P3.9. 变分原理身份的排中律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的每一变分原理必须是有约束的变分原理或是无约束的、完全的广义变分原理。3.1.2. . 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的定义D3.1. 对所讨论的变分原理而言，当且仅当变量不受由D3.2 或D3.3定义的任何约束条件的约束时，该变量是独立的变量。 D3.2. 在进行正推理（见D3.5)、逆推理或半逆推理（见D3.6）的过程中，如果必须把一个代数方程或者一个微分方程用代入法代入变分原理或者该变分原理的欧拉方程，该代数方程或者微分方程是该变分原理的约束条件。D3.3. 任何两个泛函由(2.7)-(2.11)式表达的变分原理，如果该二泛函的和或差等于零，则该二变分原理等价。 使得该等价关系成立而必须满足的代数方程是变分原理的约束条件。D3.4. 变分原理的自然条件是变分原理通过正推理（见D3.5）而得到的代数方程或微分方程。D3.5. 正推理是从变分原理及其约束条件（如果有的话）出发，按照.3.1.3.节的数学推导规则推导出变分原理的欧拉方程及其后继方程的推理过程。D3.6. 逆推理是从 (2.1-2.5)式出发, 按照.3.1.3.节的数学推导规则推导出变分原理的推理过程。半逆推理是从变分原理出发, 按照.3.1.3.节的数学推导规则推导出变形的变分原理的推理过程。 D3.7. 约束变分原理是具有至少一个约束条件的变分原理。D3.8. 广义变分原理是用拉格朗日乘子法解除约束而建立的变分原理。完全的广义变分原理是用拉氏乘子法 和/或 高阶拉氏乘子法解除了所有约束条件而建立的变分原理。D3.9. 证明是根据公设P3.1-P3.9和定义D3.1-D3.9 并遵循推导和推理规则 R3.1-R3.9.进行的数学逻辑推理过程。 3.1.3. 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的推导和推理规则 R3.1. 变分法基本引理（ Fundamental Lemma of the calculus of variations 1 ）及其推广。R3.2. 微分学的高斯定理（ Gauss Theorem ）。R3.3. 弹性力学的剪应力互等定理() 和功能原理 2。R3.4. 代数、微分、积分和变分运算规则。 R3.5. 正推理（见D3.5)中的代入法。这是一种解除约束的方法。R3.6. 拉氏乘子法（一阶的和高阶的）。这是半逆推理（见D3.6)中解除约束的方法。 R3.7. 逆推理或半逆推理（见D3.6)中的代入法。这是向变分原理引入约束条件的方法。 R3.8. 逆推理（见D3.6)中的权余法（ weighted-residual method ）。这是给变分原理引入自然条件的方法。R3.9. 在一个约束条件中，至少有一个变量是受到约束的，因而该变量是不独立的。 在3.2-3.5节中，我们将在高阶拉氏乘子理论的框架内给出一些证明，表明高阶拉氏乘子理论存在着矛盾。3.2. 有关 P3.3 和 P3.8的矛盾: 根据 D3.3 和R3.6的证明、定理和评述 由 (3.1)钱10根据 D3.3证明, H-R 原理和H-W原理等价，它们都有约束条件 (3.2) 现在，我们遵照R3.6用高阶拉氏乘子法解除H-R 原理的约束，结果建立起H-W原理 ： (3.3) 式中 .这样，是一个完全的广义变分原理。我们知道，钱用高阶拉氏乘子法建立了完全的广义变分原理9-11。由此可知，存在着两个而不是唯一的完全的广义变分原理的泛函 和。因而有定理： 定理T3.2.1 弹性力学至少存在着两个具有约束条件（3.2）的变分原理的泛函 和 ；至少存在着两个完全的 广义变分原理的泛函 和。 定理T3.2.2 H-W 原理（泛函为）既是一个有约束的变分原理，又是一个完全的广义变分原理。 于是有评述： 评述Re3.1.定理T3.2.1 和公设P3.3矛盾；定理T3.2.2 和公设P3.8矛盾。 3.3. 有关约束的矛盾：根据D3.6的证明、定理和评述3.3.1. 证明Pr3.3.1该证明由钱先生给出11。证明中 (2.1) 和 (2.4) 式是用权余法引入变分原理的，而 (2.2), (2.3a) 和 (2.5)式是用代入法引入的。根据R3.8 ，式(2.1) 和 (2.4) 成为MPEP 的自然条件；根据R3.7，式(2.2)、(2.3a) 和 (2.5)成为 MPEP的约束条件。 3.3.2. 本文给出的证明Pr3.3.2 现在，我们用权余法把(2.3a)引入变分原理，而用代入法把 (2.1)、(2.2)、 (2.4) 和(2.5) 引入变分原理： . (3.4)代(2.2) 入(3.4)得到 , (3.5) 于是 . (3.6)代 (2.1) 入(3.6), 得到 , (3.7) 式中使用了高斯定理。 把 (2.4) 和 (2.5) 代入 (3.7), , (3.8) 从而 . (3.9)根据R3.8, 式 (2.3a)成为MPEP 的自然条件；根据 R3.7, 式(2.1)、 (2.2)、 (2.4) 和 (2.5) 成为MPEP 的约束条件。. 3.3.3. 定理和评述 从3.3.1-3.3.2节的证明Pr3.3.1和Pr3.3.2我们有定理：定理T3.3式(2.1)、(2.3a) 和 (2.4)既是 MPEP 的约束条件，又是MPEP 的自然条件。从而有评述：评述Re3.2.定理T3.3 和公设P3.6矛盾。3.4. 有关约束的又一矛盾：根据D3.5的证明、定理和评述 3.4.1. 证明Pr3.4.1该证明是钱伟长给出的11：:由 (2.7)并遵照 R3.4，有 . (3.10) 代(2.2) 入 (3.10), (3.11) 按照 R3.2 和 R3.4, 得到 , (3.12) 此式已满足 (2.5)。 于是，按照R3.1得到其欧拉方程 （Euler equations ）1： (3.13) 和 . (3.14) 根据P3.7, 必须把应力-应变关系 (2.3a)代入 (3.13) 和 (3.14)，从而使 (2.1) 和 (2.4)成为MPEP的自然条件 （见D3.4）。 根据D3.2，式(2.3a)是一个约束条件。 3.4.2. 本文给出的证明Pr 3.4.2 由(2.7) 并遵照R3.4,有 . (3.15)由 R3.2、R3.4，有 . (3.16)代（3.16）入 (3.15) , 得到 . (3.17) 根据 P3.7, 必须把(2.2) 和 (2.5) 代入(3.17)。根据D3.2，它们是约束条件。用代入法 (见 R3.5) 解除约束，我们得到 , (3.18)式中 和 是独立的变量（见D3.1）。遵照 R3.1 和 D3.4，式(2.1) 、(2.3a) 和 (2.4)是MPEP的自然条件。 3.4.3. 定理和评述 由3.4.1 和.3.4.2节的证明，我们有 定理：定理T3.4式 (2.3a) )既是 MPEP 的约束条件，又是MPEP 的自然条件。从而有评述：评述Re3.3.定理T3.4 和公设P3.6矛盾。3.5.有关变量独立的矛盾：遵照D3.1 和R3.9的证明、定理和评述由3.3.3节的定理T3.3 和3.4.3节的定理T3.4，根据 R3.9 和D3.1, 我们有定理：定理T3.5变量既是变分原理MPEP的不独立变量，又是MPEP的独立变量。于是有评述：评述Re3.4. 定理T3.5 和公设P3.4矛盾。 3.6. 高阶拉氏乘子理论的不一致性、变量独立问题 由评述Re 3.1-Re 3.4，根据2.3节提出的变分理论的一致性原理，我们有结论性的评述： 评述Re3.5. 由钱伟长建立的弹性力学变分原理的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的。由于高阶拉格朗日乘子理论的不一致性，该理论并没有解决由钱伟长先生提出的变量独立问题。事实上，由3.5节的定理T3.5，高阶拉格朗日乘子理论中的变量可以既是变分原理的不独立变量，又是同一个变分原理的独立变量。 4. 罗恩的系统及其不一致性问题 在罗恩的论文中，没有任何证明和解释，直称五类变量的变分原理中“动量场 、速度场 、位移场 、应变场 及应力场 是独立无关的任意五类变量” 14。其后，用约简运算导出少于五类变量的各级Gurtin型广义变分原理，包括三类变量Gurtin型（HW）广义变分原理，并声明其泛函中、 、 是“任意无关的”。看起来，钱伟长提出的H-W原理中变量独立的问题似乎被罗的工作解决了。然而，如果提出下面的公设进行逻辑的讨论，那么罗的系统（包括变分原理、代数方程、微分方程和推理）存在着矛盾。这个公设是：P4.1. 变量独立性的矛盾律：系统中任一变量不能既是独立的又是不独立的。 在罗的论文14中，五类变量的变分原理是由弹性动力学的基本方程3.1-3.9导出的。如果认为满足基本方程3.1-3.9的五类变量都是独立的，这就违反了对于变量独立的传统理解。另一方面，如果认为基本方程3.1-3.9中的五类变量是不独立的，这就违反了变量独立性的矛盾律公设P4.1，因为作者声称五类变量变分原理中的变量都是独立的。 类似的矛盾也出现在约简运算程序中。在文14中，当变分原理中的某些变量满足选自3.1-3.9的某个方程时，该变分原理就“降级”为变量数目较少的变分原理。如果这些受到方程约束的变量被认为是独立的，这就违反了对于变量独立的传统理解。另一方面，如果认为这些变量是不独立的，这就违反了变量独立性的矛盾律公设P4.1，因为作者声称五类变量变分原理中的变量都是独立的。 有关变量独立的传统理解所隐含的矛盾将在.5.1节讨论。5. 解决变量独立问题的方法 5.1. 变分理论中有关变量独立的传统理解所隐含的矛盾5.1.1. 变分理论中有关变量独立的传统理解 有关独立变量的传统理解有不同的版本：(1) 不带任何附加条件（subsidiary condition）的变量（quantity）是独立变量 6；(2) 没有任何需要满足的变分约束条件（constraint condition）的变量（variable）是独立变量9-11；（3）没有任何约束（constraint）的变量（ variable、 function或 field）是独立变量14。 .现在，我们用“传统的独立变量”来指称以上(1)-(3) 版本的任何一种。5.1.2. 借助系统 S 5.1的讨论5.1.2.1. 系统S 5.1 (a)公设P5.1.1. 以 (2.8)为泛函的变分原理，式中、 和 非零。P5.1.2. 变量 、 和 是传统的独立变量(见 5.1.1节)。 (b)推导规则R5.1.1. 变分法基本引理（推广）1 。R5.1.2. 微分学的高斯定理。R5.1.3. 弹性力学的剪应力对等定理() 2。R5.1.4. 代数学、微分学和变分学的运算规则。(c)定义D5.1.1. 证明是从P5.1.1-P5.1.2出发，遵照 推导规则R5.1.1-R5.1.4的数学逻辑推理过程。5.1.2.2. 证明Pr5.1、系统S 5.1的矛盾 从P5.1.2 有 , (5.1)否则 不是传统的独立变量。另一方面，从P5.1.1 和 P5.1.2并遵照R5.1.1-R5.1.4进行推导不难得出 (2.1)、(2.2)、(2.3a)、 (2.4) 和(2.5)。我们发现(2.2) 和 (5.1) 互相矛盾。因而，变分理论有关变量独立的传统理解隐含着矛盾。5.2. 逻辑地理解变量独立 用代入法解除约束意味着不独立的变量本质上“不是”它自己本身，而是别的变量或变量运算的代表符号；或者说，不独立的变量逻辑地“是”别的变量或变量的运算。例如，如果 是不独立的变量，它逻辑地“不是”而“是”位移的运算。 因而，我们把变量的独立性逻辑地理解为变量的本体性；也就是说，独立的变量逻辑地是变量本身而不是别的什么，因而也就不能用别的变量或变量的运算来代替。这样一种对变量独立性的逻辑理解是解决变分原理理论中变量独立问题的方法的基础和本质所在。 5.3. 欲建立的新理论的基本特征 为了解决变量独立问题，新的变分理论应该具有下列特征：A. 新的变分理论应该是一个排除了误解和不确定性的数学逻辑系统，因为误解和不确定性隐含着矛盾。 B. 有关变量独立的传统理解（见5.1.1节)应该排除。C. 变量的独立性逻辑地理解为变量的本体性（见5.2节)。形式化是表达 变量本体性的数学方法，因而新的理论应该是形式化理论。D. 变量的独立性不需要证明。 在高阶拉氏乘子理论中，变量的独立性是需要证明的。然而，任何证明都需要一个前提：至少存在着一类独立的变量。于是就带来一个问题：为什么这类变量这样特殊，以至于它的独立性不需要证明？高阶拉氏乘子理论中不存在这个问题的回答。E当某个方程是（传统的）约束条件时，该条件必须在变分过程中得到满足，否则可能导致矛盾（5.4节将给出一个有关 MPEP的例子)。这就表明，一致性是比约束性更为基本的问题。 解除约束不是别的，而是遵照变分理论的推导规则所进行的运算而已。换句话说，约束对应着推导规则。因而，只要建立起变分理论的推导规则，建立起一致的变分理论，约束的概念就不是变分理论所需要的。 F. 新理论的逻辑系统必须是一致的，其一致性必须得到证明而且可以证明。为了证明这种一致性，一致性需要形式化。 G. 几乎可以预测，新理论的逻辑系统是不完全的。 在罗恩的理论中，五个变量不加证明地理解为独立的变量，从而避免了因证明带来的矛盾。然而，当着用约简的方法追求系统的完全性时，矛盾就出现了（见第4节)。高阶拉氏乘子理论涵盖了 (2.7)-(2.11)所有的变分原理，但完全性的追求是以牺牲系统的一致性为代价的。新的理论必须是一致的系统，我们预测将是不完全的系统。5.4. 形式化的不一致性方程的建立 克莱因（Kline ）告诉我们，希尔伯特（Hilbert）曾经论辩，当一个逻辑系统 不一致时，“方程” (5.2)将被导出15。本节我们将导出形如(5.2)式的不一致性方程。 5.4.1. 有关MPEP 的准形式化系统S5.4 (a)公设:P5.4.1. 泛函为(2.7)的变分原理，式中, 和 非零。P5.4.2. 变量 和 传统独立。 (b)推导规则R5.4.1. 变分法基本引理（推广）1 。R5.4.2. 代数学、微分学和变分学的运算规则。 R5.4.3. 形式代入（替换）。(c)定义 D5.4.1. 证明是从P5.4.1-P5.4.2出发，遵照 推导规则R5.4.1-R5.4.3的数学逻辑推理过程。5.4.2. 形式化不一致性方程: 证明Pr5.4由P5.4.1 并遵照 R5.4.2 得到（3.10）式。然后，从（3.10）式由P5.4.2并遵照 R5.4.1 得到 , (5.3) (5.4)和 . (5.5)另一方面，从 P5.4.1有 . (5.6)等式(5.4) 和 (5.6)互相矛盾。为了把这个矛盾形式化，遵照R5.4.3把 (5.4)式形式地代入 (5.6) 得到 , (5.7)这就是形式化的矛盾方程。 由(5.7)我们形式地导出 , (5.8)这就是形式化的不一致性方程。另一方面，由(5.8) 可导出 (5.7)。于是 (5.7)式和(5.8)式等价，因为它们可以互相推导。 同理，我们可以导出 上的形式化的不一致性方程。6. 弹性力学变分学的准形式化理论 16,17 基于5.3节要求的系统的基本特征，我们建立了弹性力学的准形式化变分理论。该理论由定义、变分公理系统、对变分公理系统的证明和定理组成。 6.1. 定义 6.1.1. 一般定义 D6.1. 变分公理系统的定义： 变分公理系统包含6.1.2节的系统内的定义、6.2节的无量纲泛函和方程、6.3节的合式函数、6.4节的合式方程形成规则、所有合式方程、6.5节的公设和公设方程、6.6节的推导规则以及其后的 系统内的证明和定理。 D6.2. 公理系统一致性的定义： 当且仅当形式化的不一致性方程 (6.1) 不是公理系统内的定理时，该公理系统是一致的。 D6.3. 公理系统完全性的定义： 当且仅当每个合式方程都是公理系统内的公设或者定理时，该系统是完全的。D6.4. 公理系统独立性的定义： 当且仅当系统的任何公设的合式方程都不能从别的公设的合式方程导出，该公理系统是独立的。 D6.5. 关于公理系统性质的证明的定义： 关于公理系统性质的证明是符合定义 D6.2、D6.3或 D6.4的、以定理结束的推理过程。6.1.2. 变分公理系统内的定义D6.6. 合式函数（Well-formed Functions）形式独立的定义： 合式函数形式独立 性 是合式函数等同于其自身。 D6.7. 变分公理系统内的证明的定义： 变分公理系统内的证明是从公设方程出发、遵照系统的推导规则导出的合式方程的有限系列。 D6.8. 合式方程的可证性的定义： 当且仅当合式方程可以 遵照系统的推导规则从公设方程导出，该合式方程是可证的，它是公理系统的一个定理。D6.9. 形式化一致性方程的定义： 等式 (6.2)是形式化的一致性方程。 6.2. 无量纲函数和方程N6.1. 为变分公理系统建立了无量纲的笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system） 。N6.2. 由N6.1建立的无量纲的笛卡尔坐标系中的三维有限闭域是弹性体的体积域； 是 的有限的、封闭的、分片光滑的表面。N6.3. 在 内和 上定义的函数、方程和不等式都是无量纲的。 6.3. 合式函数（Well-formed Functions）F6.1. 实数是合式函数。F6.2.定义在 内和上的、在内有对坐标的连续的一阶偏导数的连续函数，也就是 应力分布函数、应变分布函数 和位移分布函数,是合式函数。F6.3.给定的、有限的、连续的、定义在内的体力函数 、 定义在上的表面力函数 以及定义在上的边界位移函数 ，是合式函数。F6.4.体积域 内的连续的能量密度函数，在内 有连续的偏导数 , 是合式函数。F6.5.由F6.1-6.4所指的合式函数，经由代数运算 和/或 微分运算导出的函数，是合式函数。F6.6. 由F6.1-6.5所指的合式函数，经由积分运算导出的泛函，是合式函数。 F6.7. 除了由F6.1-F6.6界定的合式函数外，不存在任何合式函数。6.4. 合式方程（Well-formed Equations）形成规则 E6.1. 用F6.1-6.5 所指的合式函数构建的代数方程和代数不等式是合式方程。E6.2. 用F6.1-6.5 所指的合式函数构建的微分方程和微分不等式是合式方程。E6.3.用F6.6所指的合式函数建立的变分方程是合式方程。 E6.4. 遵照推导规则由E6.3所指的合式方程导出的变分方程是合式方程。E6.5. 除了由E6.1-E6.4界定的合式方程外，不存在任何合式方程。 6.5. 变分公理系统的公设 P6.1. 弹性力学的合式变分方程。P6.2. 弹性力学的合式微分方程。P6.3. 合式函数的形式独立性 (见 D6.6)。P6.4. 形式化一致性方程(见D6.9)。根据 P6.1-P6.4，变分公理系统的公设方程为 ： (6.3)（式中 、 和 非零）， (6.4) (6.5) (6.6) (6.7)以及无量纲方程 (2.1)、(2.2)、 (2.3a)、 (2.4) 和 (2.5) (在第6节中用(2.1-2.5A) 表)。上述方程中使用了爱因斯坦记号。 6.6. 推导规则R6.1. . (6.8)R6.2. . (6.9)R6.3. 形式化的弹性力学的变分法基本引理： 如果 , (6.10) , (6.11) , (6.12)和 , (6.13)则有 , (6.14) , (6.15) , (6.16) , (6.17)和 , (6.18) 式中 , , , , 和 是的连续函数。R6.4. 由E6.1-6.2所指的合式方程遵守代数运算和一阶微分运算规则；除了由. R6.6禁止的情况外，代入法（包括形式代入）是允许的方法。R6.5. 由E6.3-6.4所指的合式方程遵守一阶微分运算规则和一阶变分运算规则；除了由. R6.6禁止的情况外，代入法（包括形式代入）是允许的方法。R6.6. 禁止代入（替换）规则 把(2.1-2.5A)中的任何方程及类似方程代入由E6.3-6.4所指的合式方程是禁止的。 R6.7.数学证明的穷举法。R6.8. 除了由R6.1-R6.8界定的推导规则以外，不存在任何推导规则。 6.7. 变分公理系统的一致性 定理T 6.1. 由D6.1定义的变分公理系统是一致的。证明Pr 6.1. (穷举法，见R6.7，D6.5)举证Ca1：由(6.4-6.6), 不可能导出(6.1) 式，例如：例Ex 6.1： 由 (6.4)有 . (6.19) 按照 R6.4, 由 (6.19)导出(6.7)。举证Ca 2： 由 (2.1-2.5A), 不可能导出(6.1) 式，例如： 例Ex6.2： 把 (2.1-2.5A)式减去自身， 按照 R6.4导出（6.7）。 举证Ca 3： 由(2.1-2.5A) 和 (6.4)-(6.6), 不可能导出(6.1) 式，例如： 例Ex6.3：由 (6.4)有 (6.20)和 . (6.21)由 (2.2)有 .(6.22) 把(6.5)、 (6.20) 和 (6.21) 代入 (6.22) , 导出内的(6.7) 式。举证Ca 4：由(2.1-2.5A) 和 (6.3)-(6.6), 不可能导出(6.1) 式，例如： 例Ex 6.4： 由 (6.3)，按照 R6.1、R6.2 和 R6.5, 有 . (6.23)由(6.4)-(6.6) 和 (6.23) ，按照R6.3,有 , (6.24) , (6.25) , (6.26) , (6.27) . (6.28)用(6.24) 减去 (2.1) 、 (6.25) 减去 (2.2)、 (6.26) 减去 (2.3a) 、 (6.27) 减去 (2.4)、 (6.28) 减去 (2.5)，导出 类似(6.22)的五个方程 。然后按照R6.4导出（6.7）式。 举证Ca 5： 由 (2.1-2.5A) 和 (6.3)-(6.7), 不可能导出(6.1) 式，例如： 例Ex6.5：把(6.7) 式加到举证Ca1至举证Ca4中的任何代数方程或微分方程，不可能导出(6.1) 式。 例Ex 6.6：用（6.7）式乘以举证Ca1至举证Ca4中的任何代数方程或微分方程，不可能导出(6.1) 式。 例Ex 6.7： 把 (6.7)式代入举证Ca1至举证Ca4中的任何代数方程或微分方程，不可能导出(6.1) 式，反之亦然。 根据举证Ca1至举证Ca5以及D6.8, (6.1)式不是系统内的定理。于是根据D6.2定理T6.1得证6.8. 变分公理系统的不完全性 定理T6.2.由D6.1定义的变分公理系统是不完全的。 证明Pr6.2. (见D6.5, D6.8)： 除了(6.3)以外的变分原理,比如无量纲的MPEP，都不是系统内的公设或定理。因此，根据D6.3，该变分公理系统是不完全的，T6.2得证。6.9. 变分公理系统的独立性定理T6.3. 由D6.1定义的变分公理系统是不独立的。证明Pr6.3. (见D6.5)公设方程（6.7）和（2.1-2.5A）都可以由公设方程（6.3）导出（见6.7节举证Ca4），根据D6.4定理T6.3得证。6.10. 变分公理系统的极小化 在前面的讨论中，方程(6.4)-(6.6)取作变分公理系统的公设方程，因为它们是合式函数（传统理解的“变量”）形式独立的显式。在公设方程中包含方程(6.4)-(6.7) 和(2.1-2.5A)的目的是为了证明合式函数形式独立与合式方程(2.1-2.5A)之间的相容性 (见6.7节例 Ex 6.3 )。在公设方程中排除方程(6.4)-(6.7) 和 (2.1-2.5A) (以及公设P6.2 和P6.4)将使变分公理系统极小化并具有独立性。这个极小化变