《数学知识点积》doc版.doc

蚃膀蒂薃羂腿膂莆袈腿芄薂袄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羅膅莁蚈袁膄蒃蒁螇芃膃蚆蚃芃芅葿羁节莈蚅羇芁薀蒈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒄螁羄袅膄薄袀羄芆螀螆羃莈薂蚂羂蒁莅肀羁芀薁羆羁莃蒄袂羀蒅虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒂蚆螅肅膁蒈螁肅莄螄蚇肄蒆薇羅肃膆螂袁肂芈薅螇肁莀螁蚃膀蒂薃羂腿膂莆袈腿芄薂袄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羅膅莁蚈袁膄蒃蒁螇芃膃蚆蚃芃芅葿羁节莈蚅羇芁薀蒈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒄螁羄袅膄薄袀羄芆螀螆羃莈薂蚂羂蒁莅肀羁芀薁羆羁莃蒄袂羀蒅虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒂蚆螅肅膁蒈螁肅莄螄蚇肄蒆薇羅肃膆螂袁肂芈薅螇肁莀螁蚃膀蒂薃羂腿膂莆袈腿芄薂袄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羅膅莁蚈袁膄蒃蒁螇芃膃蚆蚃芃芅葿羁节莈蚅羇芁薀蒈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒄螁羄袅膄薄袀羄芆螀螆羃莈薂蚂羂蒁莅肀羁芀薁羆羁莃蒄袂羀蒅虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇羃肇荿蒀衿肆蒂蚆螅肅膁蒈螁肅莄螄蚇肄蒆薇羅肃膆螂袁肂芈薅螇肁莀螁蚃膀蒂薃羂腿膂莆袈腿芄薂袄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羅膅莁蚈袁膄蒃蒁螇芃膃 数学知识点积1、 含n个元素的有限集合其子集共有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2 个。2、 集合中，Cu(AB)= (C uA)U(C u B), 交之补等于补之并。C u(AU B) = (C uA) (C u B)，并之补等于补之交。3、 ax2+bx+c0的解集为x|mxn(0 m n),则cx2+bx+a 0的解集为x| 1/n x0的解集为x| n x或 x0的解集为x| 1/m x或 x 1/n ；ax2-bx+c0的解集为x| -n x 0的解集为x| -1/m x或 x0, a0, M0 N0, 那么loga(MN)= logaM + logaN, loga(M/N)= logaM - logaN,logaMn= nlogaM, a logaN=N.换底公式：logaN= logbN/ logb a, logam logbn logck= logbm logcn logak= logcm logan logbk.13、 函数图像的变换：（1） 水平平移：y= f (xa)( a 0)的图像可由y= f (x)向左或向右平移a个单位得到；（2） 竖直平移：y= f (x) b( b 0)图像，可由y= f (x)向上或向下平移b个单位得到；（3） 对称：若对于定义域内的一切x均有f (x+m)= f (x-m),则y=f (x)的图像关于直线x= m对称；y=f (x)关于（a,b）对称的函数为y!=2b- f (2a-x) .（4） 翻折：y=f (x)是将y=f (x)位于x轴下方的部分以x轴为对称轴将期翻折到x轴上方的图像。y=f (x)是将y=f (x)位于y轴左方的图像翻折到y轴的右方而成的图像。（5） 有关结论：若f (a+x)= f (b-x),在x为一切实数上成立，则y=f (x)的图像关于x=(a+b)/2对称。函数y=f (a+x)与函数y= f (b-x)的图像有关于直线x=( ba)/2对称。15、 等差数列中，ana1（n-1）d = am+(n-m) d;sn= n (an+ a1）/2= na1+n(n-1)d/2;若n+m=p+q,则am+an= ap+aq;sk,s2k-k,s3k-2k成以k2d为公差的等差数列。 an 是等差数列，若ap =q, aq =p,则ap+q =0; 若sp =q, sq =p,则sp+q =-(p+q);若已知sk,sn,sn-k, sn=(sk+sn+sn-k)/2k; 若 an 是等差数列，则可设前n项和为sn=an2+bn（注：没有常数项）,用方程的思想求解a,b。在等差数列中，若将其脚码成等差数列的项取出组成数列，则新的数列仍旧是等差数列。16、 等比数列中，an= a1 qn-1=amqn-m,若n+m=p+q,则aman= apaq; sn=n a1(q=1), sn= a1(1- qn)/(1-q),( q1);若q1，则有（an+2 - an+1）/（an+1 - an）= q，若q-1，（an+2 + an+1）/（an+1 + an）= q；sk,s2k-k,s3k-2k也是等比数列。a1 + a2+ a3, a2+ a3+ a4, a3+ a4+ a5也成等比数列。在等比数列中，若将其脚码成等差数列的项取出组成数列，则新的数列仍旧是等比数列。17、 常用数的裂项公式：1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1), 1/n(n+k)=1/k1/n - 1/(n+k),18、 弧长公式：l=|r。s扇=1/2lr=1/2|r2=1/2l2/|；当一个扇形的周长一定时（为L时），其面积最大为L2/16，其圆心角为2弧度。19、 cos2=1/ (1+tan2), tan2/2=(1-cos)/ (1+cos),tan/2=sin/ (1+cos), tan/2=(1-cos)/ sin。20、 若A+B+C=n,则一定有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；若A、B均为锐角， A+B=/4（1+tanA）(1+tanB)=2；三角形中，AB ab sinAsinB.21、 三角函数图像的平移有两种方式：（1）先扩大周期再进行平移，这时要记住在平移时提出系数后，按“左加右减”进行平移；（2）先平移再扩大周期，注意在扩大周期时，函数起点不变。三角函数的对称轴：使三角函数取得最大值或是最小值时x的值所在的垂直于x轴的直线。正弦函数和余弦函数都有无数条对称轴。22、 零向量：长度为0的向量叫做零向量。其方向是任意的，因而零向量与任一向量平行。共线向量（又叫平行向量）：方向相同或相反的向量。相等向量：长度相等且方向相同的向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量。任一向量（a,b）的方向向量是（1，b/a）,法向量是（1，-b/a）23、 两个向量共线的充要条件是：有唯一的实数使b=a（a0）。向量的夹角范围为0，是指组成角时两向量起点相同或终点相同，否则是其夹角的补角。24、 平面向量的坐标运算：（1） 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+ b =(x1+x2，y1+y2)；a- b =(x1-x2，y1-y2)（2） 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=( x2-x1，y2-y1),|AB|=（x2-x1）2 +（ y2-y1）2（3） 若a=(x,y),则a= (x, y)，当=1/|a|时，a/|a|表示a方向的单位向量。（4） 如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab 的充要条件是x1 y2- x2y1 =0；（5） 如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab 的充要条件是x1 x2+y1 y2 =0；25、 平面向量的数量积： （a）b=(ab)；ab = ba；(a+b) c=ac +bc；ab= | a | b |cos=x1 x2+y1 y2；abab=0x1 x2+y1 y2 =0；(ab) ca(c b);26、 线段的定比分点：=p1p/pp2,即“起点到分点比上分点到终点”， p1p， pp2方向相同时为正，方向相反时为负。若p1（x1，y1）,p（x，y），p2（x2，y2），则x=( x1+x2）/(1+), y=( y1+y2）/(1+)。此也可用于证明三点共线。 平移公式：p（x，y）为图形F上一点，它按向量a=(h，k)平移后对应的点为p（x，y）,则有x= x+ h，y= y+ k。27、 正弦定理、余弦定理：a/sinaA = b/sinB = c/sinC =2R(R为三角形外接圆半径)；a2=b2+c2-2bccosA。在解三角形的求值或证明过程中，可将相应的边（正弦）换成对应的正弦（边）进行解题。30、a0,b0,则(a+b)/2ab ， a+b+c33abc； a1 +a2+a3+annna1a2a3an；2ab/(a+b) ab (a+b)/2 (a2+b2)/2；|a|- |b| |a b| |a|+|b|31、在证明不等式或求最值时，可设参数方程（三角代换）求解：（1）若x2 + y2 = a2时，可设x= acos,y= asin, 0,2）；（2）若x2/a2 + y2/ b2 =1,可设x= acos,y= bsin, 0,2）；（3）若x2 + y2 1时，可设x= rcos,y= rsin, (0r1)0,2）；(4)对于1- x2 ,可设x= cos或x= sin。32、将某商品做以下提价方案进行，其提价幅度为：甲=乙丙第一次提价第二次提价甲p%q%乙q%p%丙(p+ q)/2 %(p+ q)/2 %33、直线的方程（1）直线在坐标系中的倾斜角的取值范围是：0 o180o；（2）直线倾斜角的正切即为直线的斜率（k=tan）；直线的斜率按逆时针增大（在第一象限内由0到+，在第二象限内由-到0）；当倾斜角等于90 o时，直线的倾率不存在；（3）当直线斜率存在时，其方向向量为（1，k）,其法向量为（1，-1/k）；34、两条直线的位置关系：（1）两条直线的位置关系：斜截式一般式方程y =k1x + b1y =k2x + b2A1x + B1y + C1=0A2x + B2y + C2=0相交k1 k2A1 B2 - B1 A2 0垂直k1 k2= -1A1 A2 + B1B2=0平行k1 =k2，b1 b2A1 B2 - B1 A2=0 A1 B2 - B1 A2=0B2 C1 - B1 C20 A1 C2 - A2C1 0重合k1 =k2，b1 =b2A1 B2 - B1 A2= B2 C1 - B1 C2= A1 C2 - A2C1=0(2)两条直线的夹角：L1到L2的角：直线L1与L2相交，L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，记为1。计算公式：tan1= (k2 - k1 )/(1+ k1k2), 1+ k1k20;L2到L1的角：直线L2与L1相交，L2依逆时针方向旋转到与L1重合时所转的角，叫做L2到L1的角，记为2。计算公式：tan2= (k1 - k2 )/(1+ k1k2) ,其中1 +2=;L1与L2的夹角：直线L1与L2相交所成的锐角，叫做L1与L2的夹角，记为。计算公式：tan= |k2 - k1| / |1+ k1k2|, 1+ k1k20;点与直线的位置关系：点到直线的距离： d= |Axo + Byo + C|/ (A2+B2);两平行线Ax + By + C1=0与Ax + By + C2=0的距离为d= | C1 - C2|/ (A2+B2)；注：在用此公式时，必须把x,y项的相应系数化成相等的形式。与直线Ax + By + C=0平行的直线可设为Ax + By + =0；与这条直线垂直的直线可设为Bx - A y + =0，再根据已知条件求出即可；过点（xo，且与直线Ax + By + C=0平行、垂直的直线可直接写成：A（x- xo）+ B（y- yo）=0和B（x- xo）- A（y- yo）=0；过直线L1 ：A1x + B1y + C1=0与L2：A2x + B2y + C2=0交点的直线系方程为：A1x + B1y + C1+（A2x + B2y + C2）=0。35、圆的定义及方程：定义标准方程一般方程参数方程基本量平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）（x-a）2+(y-b)2=r2X2+y2+Dx+Ey+F=0x=a+rcosy=b+rsin圆心（a,b）圆心（-D/2,-E/2）半径(D2+E2- 4f) /2圆心（a,b）半径r注：当D2+E2- 4f0时无轨迹。36、圆的切线及切线长：（1）过圆（x-a）2+(y-b)2=r2上一点（x0,y0）的切线方程为：（x0-a）（x-a）+( y0-b) (y-b)=r2；（2）从圆外一点（x0,y0）做圆的两条切线，过两切点的直线方程为：（x0-a）（x-a）+( y0-b) (y-b)=r2；(3) 从圆外一点（x0,y0）做圆的切线长为d = （x0-a）2+( y0-b) 2 - r2 = x02+ y02+D x0+E y0+F;（4）直线被圆所截得的弦长：几何法：运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|=2r2- d2代数法：|AB|=|x1-x2|1+k2=|y1-y2|1+1/k2；(k为直线斜率，适用于所有的圆锥曲线)37、圆系：（1）设圆C的方程为X2+y2+Dx+Ey+F=0，则与圆C同心的圆系方程为：X2+y2+Dx+Ey+=0；（2）过两个已知圆X2+y2+D1x+E1y+F1=0和X2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为：X2+y2+D1x+E1y+F1+（X2+y2+D2x+E2y+F2)=0（-1）；当=-1时，即为两圆相交时公共弦所在的直线；若两圆相切，当=-1时则是它们的公切线。38、解析几何中的对称问题：（1）点关于直线对称问题点（a,b）关于点（x,y）的对称点的坐标为（2x-a,2y-b）;点（a,b）关于x轴的对称点为（a,-b）；关于y轴对称的点为（-a,b）；关于原点对称的点为（-a,-b）；关于直线y=x的对称点为（b,a）；关于直线y=- x的对称点为（-b,-a）；点（a,b）关于直线y+x + c=0的对称点为（-b-c,-a-c）；曲线f(x,y)=0关于直线y+x + c=0的对称曲线为：f（-y-c,-x-c）=0.(2)曲线C：f(x,y)=0与曲线C：g(x,y)=0关于点P（a,b）对称，则曲线C上任一点M（x,y）关于P的对称点M（2a-x,2b-y）在曲线C上，即g(x,y)= f（2a-x,2b-y）=0。 即曲线的对称关系可转化成点与点的对称关系。39、椭圆的相关知识：定义：（1）到两定点的距离的和是定值（和大于两点间的距离）的点的集合（轨迹） （2）平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是定值（小于1）的点的集合（轨迹）（1）标准方程（焦点在x轴上）：x2/a2 + y2/b2 = 1；参数方程：x=acos,y=bsin.e=c/a 0e1 焦半径：|PF|a ex0,0e2x02c2 （x0表示椭圆上任意一点的横坐标. ）(2)当在已知条件中不知道焦点位置时，可设椭圆方程为：M x2 + Ny2 = 1，再根据已知条件求解；（3）b和c的几何意义：当b c时，椭圆上所有的点与两焦点连线所成的角均为锐角，当b = c，则除了两短轴项点与两焦点连线为直角外，其余也均为锐角，当c b时，则以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有四个交点，这四个交点与焦点的连线成90度的角，在圆内部成钝角，在圆外部的成锐角。（4）椭圆“焦点三角形的面积”：S= b2 tan(/2).( 是椭圆上与焦点相连的两直线所成的角)（5）中点弦：若M（x0,y0）在椭圆内，则以点M为中点的弦所在直线的斜率为：k= - (b2/ a2) （x0/y0）。弦长|AB|=2ae(x1+x2)(过右焦点) ；|AB|=2ae(x1+x2)(过左焦点)(6)焦半径:椭圆上一点A(x0 ,y0)到两个焦点的距离|AF1|= aex0,|AF1|= a-ex040、双曲线定义：（1）到两个定点的距离的差的绝对值是定值的点的集合（轨迹）。（2）到定点的距离与到定直线的距离的比是定值（大于1）的点的集合（轨迹）。双曲线的统一形式：A x2 + By2 = 1，其中AB1，A为正，则焦点在x轴上，B为正，则焦点在y轴上. 焦半径：: 双曲线上一点P(x0 ,y0) 到焦点的距离|PF|a ex0。以y = b/a x为渐近线的双曲线系可设为：x2/a2 - y2/b2 =，当0时，表示焦点在x轴上，当0时，表示焦点在y轴上。中点弦：若M（x0,y0）在双曲内，则以点M为中点的弦所在直线的斜率为：k= (b2/ a2) （x0/y0）。41、抛物线定义：到定点的距离与到定直线距离相等的点的集合（轨迹）。方程：y2 = 2px (p0)焦点（ p/2,0）准线：x= -p/2。焦半径|MF|= x0 + p/2性质：已知过抛物线y2 = 2px (p0)的焦点F的直线交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2），则有如下性质：（1） y1y2= - p2 ， x1 x2= p2/4(2)|AB|= x1 + x2 + p = 2p/sin(为直线AB的倾斜角)（3）SAOB= p2/sin（同上） （4）1/|AF| + 1/|BF| = 2/ p（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切（6）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切。中点弦：若M（x0,y0）在抛物线内，则以点M为中点的弦所在直线的斜率为：k= p /y0 。42、空间向量:空间向量的坐标运算：设a=（a1，a2，a3） ,b=(b1,b2,b3,)则a + b=（a1 + b1，a2 + b2，a3 + b3）；a - b=（a1 - b1，a2 - b2，a3 - b3）；a b = a1b1+ a2b2+a3b3；a b a =b a1/b1 = a2/b2 = a3/b3, a b a b =0 a1b1+ a2b2+a3b3 = 0 ;| a |= a12+a22+a32 cos= (a b)/| a |b|. A=（a1，a2，a3） ,B=(b1,b2,b3,),则dA,B=|AB|=(a1 b1)2+ (a2 - b2)2+ (a3 - b3）2几类问题的解决方法：（1） 平面向量的法向量的求法：设n=（x,y,z）,利用n与平面内的两个不共线向量a,b垂直，其数量积为0，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解；（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，AB是直线L的方向向量，则直线L与