经广义协变原理改造的物理定律.doc

经广义协变原理改造的物理定律总体方案 牛顿曾经注意到，牛顿第二定律在伽利略变换下保持形式不变： 即 做变换 t=t x=Rx+vt (R、v为实常数）时保持形式不变 即 （伽利略变换下m和f不变） 但是还有许多变换，比如在加速坐标系或旋转坐标系中（v或R依赖于t时），不能使方程保持形式不变，只有在特定参考系即惯性系中，运动方程才可以保持它通常的形式。现在我们都知道，即使升级到狭义相对论，也不能使方程在任意坐标变换下保持形式，因为Lorentz变换和伽利略变换一样，都属于线性变换，而任意坐标变换属于非线性变换，要在这种情况下保持方程形式不变，付出的代价是非常大的。 而爱因斯坦坚信所有的物理方程在任何坐标变换下都能保持形式不变，往下我们会看到，仅仅为实现这个目的，就造出了广义相对论。 爱因斯坦把他的信念升华成广义相对性原理，这个原理是这样的：普遍的自然规律，应当用对一切坐标系都适用的方程来描述也就是说，所有的物理方程在任何坐标变换下都能保持形式不变(广义协变性) 。 后来他又提出等效原理：在任何引力场里的每一个时空点人们总能建立一个自由下落的“局部惯性系”，使得在所讨论的那一点附近的充分小的邻域内，自然规律的形式与狭义相对论的表述形式相同。（强等效原理） 因为广义相对性原理不具备物理内容，所以人们把这两个原理合起来，称为广义协变原理： 物理方程在一般引力场中也成立，只要它具备两个条件： （1）这个方程在没有引力场时是成立的（和狭义相对论的定律一致） （2）这个方程是广义协变的，即在一般坐标变换x-x下，方程形式不变 很显然，广义协变原理告诉我们，一个物理方程在没有引力场时成立，那么在有引力场（大质量附近）或惯性力场（加速或旋转坐标系）中也同样成立，而且方程的形式不变。于是整个广义相对论就是按照这个思路建立起来的。 其实要方程在一般坐标变换下保持形式不变并不难，只要方程的每一项都遵从同样的变换关系，变换后的系数将会从整个方程中消掉，从而保持方程的形式不变。但是方程的每一项通常包括矢量、微商、梯度、旋度和散度以及更高阶的张量等等，他们通常不遵从同样的坐标变换关系。下面是个典型的例子： 单粒子的四维动量的坐标变换规律为 注意，偏导数是在处计算的，所以它依赖于，当我们对求微商时，便得到两项：多出了一个非齐次项，正是这一项使得与不遵从同样的变换规律，但是我们定义 （其中）我们发现它恰好满足 我们称它为 的协变导数实际上诸如此类的协变微分、梯度、协变散度和协变旋度都在张量分析定义好了，它们都满足同样的坐标变换规律，整个张量分析就是这些内容。由于协变微分在=0时（即没有引力时）化为普通的微商，同时协变散度和协变旋度化为普通的散度和旋度，这些特点加上广义协变原理启示我们用下面的算术方法来改造物理定律：先写下在狭义相对论中成立的方程，然后决定方程中每一个量在一般坐标变换下应如何变换，再把换成，所有的导数换成协变导数，所得到的方程就是广义协变的。 再下来你应该知道我们要做什么工作了，我们要把狭义相对论形式的质点力学、电动力学方程、能量动量张量以及万有引力方程改造为广义协变的形式，我们把这些工作分两步做，第一步是引力场对物