高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_3_2抛物线的几何性质二课件新人教b版选修1_1

第二章 2.3 抛物线,2.3.2 抛物线的几何性质(二),1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 直线与抛物线的位置关系,思考1,直线与抛物线有哪几种位置关系？,答案,三种：相离、相切、相交.,思考2,若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？,答案,不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点.,梳理,(1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.,有两个或一个,有且只有一个,无,(2)直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0时，直线与抛物线 公共点.当k0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,两,一,没有,平行或重合,一,题型探究,类型一 直线与抛物线的位置关系,例1 已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,解答,消去y得k2x2(2k24)xk20， (2k24)24k416(1k2). (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k20且0， 即k20且16(1k2)0， 解得k(1,0)(0,1). 所以当k(1,0)(0,1)时， 直线l和抛物线C有两个交点.,(2)若直线与抛物线有一个交点， 则k20或当k20时，0， 解得k0或k1. 所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点， 则k20且1或k1或k1时， 直线l和抛物线C无交点.,直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.,反思与感悟,跟踪训练1 平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y1的距离相等，设M的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程；,解答,x24y.,(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线yx2的距离最短，求出P点的坐标；,解答,(3)设直线l：yxm，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？,解答,424(4m)0，m1. 所以当m1时，直线l和曲线C有交点.,类型二 与弦长中点弦有关的问题,例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程；,解答,(2)求直线AB的方程.,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,且x1x24，y1y22. 由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，,所以所求直线AB的方程为y12(x2)， 即2xy30.,反思与感悟,(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率.,跟踪训练2 已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.,解答,得ky26y24k60. 当k0时，624k(24k6)0. 设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,所求直线的斜率k3， 所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222，,类型三 抛物线性质的综合应用,命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题 例3 已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答,设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1， 所以x1x2y1y20.,因为y10，y20， 所以y1y24p2， 所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,证明,所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，,即直线AB过定点(2p,0).,反思与感悟,在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.,跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明,方法一 设AB的斜率为k，则AC的斜率为k. AB：y2k(x4)与y2x联立得 y2k(y24)，即ky2y4k20. y2是此方程的一个解，,kACk，,由题意得kABkAC，,命题角度2 对称问题 例4 在抛物线y24x上恒有两点A，B关于直线ykx3对称，求k的取值范围.,解答,因为A，B两点关于直线ykx3对称， 所以可设直线AB的方程为xkym. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线AB的方程代入抛物线方程，得y24ky4m0， 设AB的中点坐标为M(x0，y0)，,因为点M(x0，y0)在直线ykx3上，,因为直线AB与抛物线y24x交于A，B两点， 所以16k216m0，,反思与感悟,轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.,跟踪训练4 已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离.,证明,由题意可设l：yxb，把直线方程代入yx23中，得x2xb30. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.,因为该点在直线xy0上.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3条 C.2条 D.1条,答案,解析,1,2,3,4,5,当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为ykx1.,得k2x2(2k1)x10， 当k0时，符合题意； 当k0时，令(2k1)24k20，,与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,1,2,3,4,5,答案,解析,如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|， 所以|MF|MN|MH|MN|. 由MHNFOA，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,设直线AB的方程为xk(y3)2， 将与y28x联立，得y28ky24k160， 令(8k)24(24k16)0，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_.,16,同理可得N的横坐标x24k2，可得x1x216.,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,设所求抛物线方程为y2ax(a0). A(x1，y1)，B(x2，y2)，,消去y，得4x2(a16)x160， 由(a16)22560，得a