关键知识点最大公因式.doc

薄羇肃膁蚆袀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅蚇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈螀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚄肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀蒀薃螇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇薇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肇薄薄羇肃膁蚆袀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅蚇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈螀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚄肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀蒀薃螇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇薇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肇薄薄羇肃膁蚆袀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅蚇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈螀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚄肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀蒀薃螇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇薇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肇薄薄羇肃膁蚆袀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅蚇蚈膇 第一章 多项式关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根）,本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判别定理(定理13，P33),对称多项式基本定理(定理15). 1.1 设的最大公因式是一个二次多项式,求的值. 详解 作辗转相除得如下关系式:,其中,(注:?).为使最大公因式是二次,必须:,解得. 1.2 证明:,(的首项系数等于1). 略证 ,又设,则.1.3 证明:若,则. 提示 (相乘所得).1.4 设,求证:.详证 先证.对作归纳.时成立.假设时成立.下证时也成立,设,由归纳假设,则,由题1.3,则成立.同理,.最后,对于,仍用最先所证方法即得要证问题. 或提示 反证,设,存在不可约多项式,推出矛盾. 1.5 证明:若,则. 提示 证. 问题 ?(参见题1.2). 1.6 求多项式有重根的条件. 详解 ,由于是一个三次多项式,那么有重根有重因式. 作辗转相除得:,其中,.上述运算中,若,则必须(否则),若,可运算到最后,为使,必须,即. 总之,必须. 1.7 证明:不能有重根.略证 反证,设有重根为,矛盾.问题 (1)是否有重根? (2)(素数)在上是否不可约?(利用艾森斯坦因判别定理). 1.8 若是的一个重根,证明:是的一个重根,其中.略证 ,则有重根,设重数为重根,又由题设,则重根,则,. 问题 重根重根?1.9 证明:是的重根,而.略证 由定理6推论1(P23). ,则为的重根,设重数为,则为的重根(由什么保证?),又由条件,为的0重根, 所以,即. 1.10 证明:如果,那么,.详证 设是的一根(三次单位根),则是其另一根.由于,并且,那么,则,即,所以,即,.问题 (1)? (2)?(为非负整数).提示 利用4(或3)次单位根讨论.1.11 判定多项式(奇素数)在有理数域上是否可约?略解 作变换(存在逆变换),则 ,又(为什么?素数),利用艾森斯坦因判别法即可. 1.12 求多项式的有理根. 详解 设其有理根为,则,那么可能的有理根为-1,1,-3,3.由综合除法-1 1 1 -6 -14 -11 -3-1 1 0 -6 -8 -3 ( 0-1 1 -1 -5 -3 ( 0-1 1 -2 -3 ( 0 1 -3 ( 0则知的有理根为-1(4重),3.问题 试在上分解多项式.1.13 用初等对称多项式表示如下对称多项式:.详解 是3元6次齐次对称多项式,首项为,利用基本定理的作法,则中间产生的序列其首项相应的数组有(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2).那么的首项只有,可设.取为1,1,0,代入上式,解得=-4,取为2,-1,-1,代入上式解得=-27, 取为2,2,-1,代入上式,解得=-4,取为1,1,1,代入上式,解得=18.那么. 蚇膂莆蒅蚆袂腿莁蚅羄莄蚀蚄肆膇薆螃腿莃蒂螂袈膅莈螂羁莁芄螁膃膄蚂螀袃葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈莀螇腿芀虿袇衿肃薅袆羁艿蒁袅肄肁蒇袄袃芇莃袃羆膀蚂袂肈莅薈袁膀膈蒄袁袀莄莀羀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅薀羇羇蒀蒆薄聿芃莂薃膁蒈蚁薂袁芁薇薁羃蒇蒃蚀肅芀荿虿膈肂蚇蚈袇芈蚃蚈肀肁蕿蚇膂莆蒅蚆袂腿莁蚅羄莄蚀蚄肆膇薆螃腿莃蒂螂袈膅莈螂羁莁芄螁膃膄蚂螀袃葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈莀螇腿芀虿袇衿肃薅袆羁艿蒁袅肄肁蒇袄袃芇莃袃羆膀蚂袂肈莅薈袁膀膈蒄袁袀莄莀羀羂膆蚈罿肅莂薄羈膇膅薀羇羇蒀蒆薄聿芃莂薃膁蒈蚁薂袁芁薇薁羃蒇蒃蚀肅芀荿虿膈肂蚇蚈袇芈蚃蚈肀肁蕿蚇膂莆蒅蚆袂腿莁蚅羄莄蚀蚄肆膇薆螃腿莃蒂螂袈膅莈螂羁莁芄螁膃膄蚂螀袃葿薈蝿羅节蒄螈肇蒈莀螇腿芀虿袇衿肃薅袆羁艿蒁袅肄肁蒇袄