数学中的两大研究对象形与数的矛盾统一是数学发展的内在.doc

数形结合思想在高中数学中的重要作用 靖江市第一高级中学 夏玉萍内容摘要：数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：（1）“以形助数”把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；（2）“以数解形”把直观图形数量化，使形更加精确。关键字：数形结合思想 数学中的两大研究对象形与数的矛盾统一是数学发展的内在因素,数形结合是推动数学发展的动力。数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数学结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在高考中占有非常重要的地位。数形结合能力的提高,有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质,有利于扎实打好数学基础,有利于数学素质的提高,同时必然促进数学能力的发展。 数形结合思想的应用包括以下两个方面：（1）“以形助数”把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；（2）“以数解形”把直观图形数量化，使形更加精确。一、数形结合思想在数学中的重要地位数形结合思想是非常重要的数学思想方法，在解析几何中显得尤为重要，数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短. 恩格斯是这样来定义数学的: “数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”. 这就是说，数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一. 因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.二、数形结合在各知识点中的应用实例1.数形结合在集合问题中的应用对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决.例： 某班有48名学生, 每人至少参加一项体育活动, 参加篮球赛、排球赛、田径的人数分别为28，24，15，同时参加篮球赛、排球赛的有8人，同时参加篮球赛、田径的有5人，同时参加排球赛、田径的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人?析： 一般用圆来表示集合, 两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素. 利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题解 我们可用圆、分别表示参加篮球赛、排球赛、田径的人数，如图1，则三圆的公共部分正好表示同时参加三项活动的人数用表示集合中元素的个数，则有：A(篮球赛)B(排球赛)C(田径)图1，即：.所以 ，即同时参加三种活动的有1人.2.数形结合思想在不等式和方程问题中的应用例：解不等式析： 求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集 O-23图2解 我们可先联想对应的二次函数的图像，如图2，从解得，知该抛物线与轴交点横坐标为，当取交点两侧的值时，即时，即.故可得不等式的解集为：例：已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当x-1,1时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10析：（1）选C由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x) =lgx，则x（0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。3.数形结合思想在解决数列问题中的应用数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例、设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，求a4的最大值. 解 设等差数列的首项为a1，公差为d, 则S4=4a1+6d10，即2a1+3d5, S5=5a1+10d15，即a1+2d3.又a4=a1+3d, 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题， 作出可行域,如图 可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4.4.数形结合在解析几何中的应用 例： 已知曲线与直线有两个交点，求实数的取值范围.析 ：这是一道求参数的取值范围的问题，解题的关键是从曲线的变化中找出不变的特征，常见的不变特征有：(1)过定点；(2)图像.解 由，得它的图像即以为圆心，半径为1，在轴上方的半圆，如图3，yO12图3而是过定点，斜率为的直线. 连结，过点作圆的切线， 由 由图4-7易知过点的直线位于（不包括）和（包含）之间时与半圆有两个交点，如下图虚线，故得.5.数形结合在三角函数中的应用例： 解不等式. 图410分析 有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题, 一般借助于单位圆或三角函数图像来处理.解 从不等式的两边表达式我们可看成两个函数上作出它们的图像，如图4，得到两个不同的交点，横坐标分别为. 而当在区间内时，的图像都在的图像上方所以可得到原不等式的解集为： 总之数形结合思想在各个模块及高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。数形结合思想是数学教学中的一个重要组成部分，是学好数学的一把钥匙，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用.“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受