[高一数学]上海数学1-18章知识点总结.doc

一、集合1、有限集的个数对集合A=1，2，3n,A中有n个元素那么：（1）A集合子集的个数是2n （2）A集合非空子集的个数是2n-1（少了）（3）A集合真子集的个数是2n-1（少了A自身）（4）A集合非空真子集的个数是2n-2（少了和A自身）2、规定空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。给出下列条件：集合A中任何一个元素都是集合B中的元素；集合B至少存在一个元素不在集合A中；集合B中任何一个元素都是集合A中的元素3、如果集合A、B满足，则A是B的子集；如果集合A、B满足、，则A是B的真子集；如果集合A、B满足、，则A与B是相等的集合；注意：条件为AB，在讨论的时候不要遗忘A的情况；考察集合的关系借助韦恩图。 4、集合的含义：( l )表示函数的定义域； ( 2 ) 表示函数的值域；( 3 )表示方程的解的集合，或表示曲线上的点的集合； ( 4 )表示方程解的集合且 x A ;二、不等式1.1、基本不等式：（1）、重要不等式：如果（2）、定理：如果a,b是正数，那么（3）、已知都是正数，求证：如果积是定值P,那么当时，和有最小值如果和是定值S,那么当时，积有最大值（4）、公式的等价变形：ab，ab（）2（5）、 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；（6）、定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）（7）、推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）1.2、基本不等式的应用注意三个条件：一正二定三相等（1）、若：，如果积P是定值,那么当且仅当时，和有最小值如果和S是定值,那么当且仅当时，积有最大值（2）、若：，如果积P是定值,那么当且仅当时，和有最小值如果和S是定值,那么当且仅当时，积有最大值2、分式不等式的解法(1)解分式不等式要注意它的等价变形：； 0；0；0 (2)有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但须注意分母不为零3、无理不等式的解法4、绝对值不等式的解法：基本思想：含绝对值不等式不含绝对值不等式（1）、不等式|x|a(a0)的解集|x|0)的解集为:x|-axa(a0)的解集为:x|xa或x10a0,1）的b次幂等于N，及b=N，那么数b叫做以为底N的对数，记做logaN=b其中叫做对数的底数，N叫做真数。2指数式与对数式的互化 根据对数的定义知：（1）零和负数没有对数，真数为正数，即N0；（2）1的对数为0， 即 loga1=0；（3）底的对数等于1， 即logaa=1；（4）对数恒等式： 在对数中必须强调底数 0,1通常以10为底的对数叫常用对数，N的常用对数log10N简记为lgN通常以e=2.71828为底的对数叫自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN二、对数的运算7一般地，对数有下列运算性质：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：证明：设M=p, N=q由对数的定义可以得：M=，N=MN= = MN=p+q，即证得MN=M + N设M=p，N=q由对数的定义可以得M=，N= 即证得设M=P 由对数定义可以得M=, =np， 即证得=nM一般有下面对数换底公式：（其中）证明：设 N = x , 则 = N 两边取以m 为底的对数： 从而得： 两个常用的推论:， （ a, b 0且均不为1）三、反函数的概念8一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值，在D中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到关于的函数叫的反函数。记但习惯上表示自变量，表示函数所有改写成（A）9、求反函数的步骤（1）根据的值域写出的定义域（2）由解出 （3）交换，得 10、互为反函数图像之间的关系 （1）一般地，函数的图像与它的反函数关于直线=对称。（2）一般地，如果两个函数图像关于直线=对称，那么两个函数一定互为反函数。11、反函数存在的条件 若函数是从定义域到值域的一一对应，即是定义域上的单调函数，则存在反函数12、反函数与原函数的关系 （1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。（2）若原函数是奇函数，则反函数一定是奇函数，但奇函数未必有反函数;偶函数一般不存在反函数13、反函数存在的条件若函数是从定义域到值域上的一对应，即是定义域上的单调函数，则存在反函数14、反函数的一些结论：（1）一般地，函数的图像与它的反函数关于直线=对称。（2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性（3）定义域上的单调函数必有反函数（4）奇函数的反函数是奇函数（5）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数（6）周期函数在整个定义域内不存在反函数（7）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成四、对数函数15、定义：函数叫做对数函数。其是自变量，定义域是16、对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a10a c，b + c a，c + a b，ab c，bc b（3）边与角关系：大边对大角3正弦定理 （R为外接圆半径）a = 2R sinA，4余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA、5面积公式：面积公式； ；9解斜三角形的常规思维方法是：（用正弦还是余弦定理）（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况（3）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C10在三角形中的一些结论：（1）三角学中的射影定理：在ABC 中，（2）在ABC 中，（3）在ABC 中：引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定(a0,或变a0)六、三角函数1、一、正弦函数和余弦函数的图像及性质 ，R叫正弦函数；正弦函数的性质：1、定义域： 2、值域： 3、奇偶性：奇函数4、最大值是1， 5、最小值是-1，6、单调性：单调增区间 单调减区间7、周期性 8、对称中心 9、对称轴叫余弦函数余弦函数的性质：1、定义域： 2、值域：3、最大值是1， 4、最小值是-1，5、奇偶性：偶函数6、单调性：单调增区间 单调减区间7、周期性 8、对称中心 9、对称轴6.2正切函数与余切函数，叫正切函数正切函数的性质： 1定义域：， 2值域：R 3周期性： 4奇偶性：奇函数5单调性：在开区间内，函数单调递增余切函数y=cotx的图象及其性质即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象1、定义域 2、值域：R，当时，当时3、周期： 4、奇偶性：奇函数5、单调性：在区间上函数单调递减周期函数定义：对于函数，如果存在一个常数T（T0）使得当取定义域D内的任意值时，都有成立，那么叫周期函数。T的最小正值叫最小正周期。6.3 yAsin(x)图像及性质一般地，函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)，xR(其中A、为常数，且A0，0)的周期T1y=Asinx，xR(A0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的2它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A3若A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1) 到原来的倍，或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）2若0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值三、等比数列1、 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0），即：（0）理解：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数，成等比数列=（,0）2 隐含：任一项“0”是数列成等比数列的必要非充分条件3 = 1时，为常数2、等比数列的通项公式1: 通项公式2: 3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列4、等比中项：如果在与中间插入一个数G，使,G，成等比数列，那么称这个数G为与的等比中项. 即G=（, 同号）5、等比数列的性质：若m+n=p+k，则6、判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法7、等比数列的增减性：当q1, 0或0q1, 1, 0,或0q0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列;当q0) 如an= 研究函数的增减性 如数学归纳法一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。八、向量1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q1802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作，即有 = |cosq，（）并规定与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替。（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0。（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是 = = 如右图： = |cosb = |OA|，= |cosa = |OA| = 但 (5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是() () 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线3“投影”的概念：作图定义：|cosq叫做向量在方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |；当q = 180时投影为 -|。4向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|osq的乘积。5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量。1 = =|cosq 2 = 0，3 当与同向时， = |；当与反向时， = -|特别的 = |2或 4 osq = 5| |平面向量数量积的运算律：1交换律： = 2数乘结合律：() =() = () 3分配律：( + ) = c + 说明：（1）一般地，()（）（2），（3）有如下常用性质：，（）（）()平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量，试用和的坐标表示，所以1、 在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基本单位向量。任作一个向量，由平面向量基本定理知有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2、平面向量的坐标运算：（1） 若，则：， ，和实数，则两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差两个向量的积是坐标对应乘积之和实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若，则后一点坐标减去前一点坐标（4） ()的充要条件是即点P是线段之中点，其坐标为（）2.平面内两点间的距离公式：（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，则4.两向量夹角的余弦（） cosq =8.3：共面向量分解定理：平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量2.直线方程（1）点的方向式（2）点的法向式（3）点斜式方程- ，且斜率为 4)斜截式方程P（0,b），斜率为k，直线的方程： (5)两点式方程当，时，经过B（ (6)截距式方程A(a,0) B(0,b)（a,b均不为0） (7)一般式方程(其中是常数，不全为0) 1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为3两条直线的位置关系：直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。5圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E24AF0；6圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。8、直线与圆相交所得弦长9.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;10.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据系数的正负来判断焦点在哪一坐标轴上常数的关 系 ， 最大，最大，可以渐近线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、章节知识点回顾：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点4双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为6焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上7双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） 8等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；9共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 10共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-111双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 12 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 13抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为。 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号。14抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。15直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（4）若已知过焦点的直线倾斜角则（5）常用结论：和和1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.13.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.14.除法运算规则： (a+bi)(c+di)= i.15*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数16. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量 17复数减法的几何意义两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18复数的模：一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两条直线互相