[理学]72变分法.ppt

Ch.7 最优控制原理,目录(1/1),目 录 7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结,变分法(1/1),7.2 变分法 本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题,然后引出泛函的极值问题。 内容为 多元函数的极值问题 泛函 欧拉方程 横截条件 欧拉方程和横截条件的向量形式,多元函数的极值问题(1/1),7.2.1 多元函数的极值问题 多元函数极值问题可分为 无约束条件极值问题、 等式约束条件极值问题和 不等式约束条件极值问题。 下面分别讨论。,无约束条件的多元函数极值(1/3),1. 无约束条件的多元函数极值 无约束条件的多元函数的极值问题讨论的是: 假定多元函数f(x1,x2,xn)对其所有自变量都连续,且具有连续的一阶和二阶偏导数。 将所有自变量x1,x2,xn记为向量x的形式,则问题为求x,使x=x*时,f(x)达到极小值。 该问题可记为,无约束条件的多元函数极值(2/3)-定义7-1,函数极小的定义是一个相对概念,并不是在函数的定义域上的一个绝对概念,其基本定义可表述如下。 定义7-1 若存在一个0,由x-x*所规定的x*的邻域内总有y(x*)y(x),则称点x*是函数y(x)的一个相对极小点,简称为极小点。 由数学分析知识可知,无约束条件时的多元函数极小值问题的解x*满足如下必要条件,无约束条件的多元函数极值(3/3),如果函数f(x)对x的二阶导数矩阵在x*为正定矩阵,则上述多元函数极小值问题的必要条件亦为充分条件,即 是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。,有等式约束条件的多元函数极值(1/5),2. 有等式约束条件的多元函数极值 有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为 式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; g(x)=0即为等式约束条件。,有等式约束条件的多元函数极值(2/5),拉格朗日乘子法是解决有等式约束条件的函数极值问题的有效方法,其求解基本方法如下。 1) 先引入拉格朗日乘子=1 2 p,定义如下拉格朗日函数 2) 该极值问题的解x*满足如下必要条件 如果函数L(x)对x的二阶偏导数矩阵在x*为正定矩阵,则该必要条件亦为充分条件,即,有等式约束条件的多元函数极值(3/5)例7-1,例7-1 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数 在约束条件 下的极小值。 其中,e为m维常数向量;A,H和b分别为适宜维数的常数矩阵和向量;c为常数。,有等式约束条件的多元函数极值(4/5),解 先定义如下拉格朗日函数 式中,为m维拉格朗日乘子向量,那么 当(A+A)可逆时 由约束条件Hx=e,有 即,有等式约束条件的多元函数极值(5/5),将上述的表达式代入式(1),可得 当矩阵H为行满秩矩阵时,矩阵H(A+A)-1H是可逆的,此时上述解成立。 由极值问题的充分条件可知,当 时,上述极值为极小值。,有不等式约束条件的多元函数极值(1/7),3. 有不等式约束条件的多元函数极值 有不等式约束条件的多元函数极值问题可描述为 式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; 式g(x)=0即为不等式约束, 符号“”的意思为函数向量g(x)中每个元素“小于等于0”。,有不等式约束条件的多元函数极值(2/7),有不等式约束条件的函数极值问题的求解比等式约束条件的函数极值问题复杂。 受前面讨论的引入拉格朗日乘子的启发,求解不等式约束的函数极值问题也引入了乘子的概念,其求解基本方法可由如下库恩-塔哈克(Kuhn-Tucker)定理给出。,有不等式约束条件的多元函数极值(3/7)定理7-1,定理7-1(库恩-塔哈克定理) 对上述不等式约束的极值函数问题,那么必存在p个不同时为零的数1,2,p,满足为 式中,=1 2 p为库恩-塔哈克乘子向量; L(x,)为如下库恩-塔哈克函数,有不等式约束条件的多元函数极值(4/7)例7-2,例7-2 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数 解 先定义库恩-塔哈克函数如下,有不等式约束条件的多元函数极值(5/7),根据库恩-塔哈克定理,极小值的必要条件如下: 式中,现在依次考虑下述4种可能情况: (1) 1=2=0,即在两个不等式约束的边界之内求解。此时,则由 解得x=y=0。由于该问题的第一个不等式约束条件不满足,因此,不是极小解。,有不等式约束条件的多元函数极值(6/7),(2) 1=0,20。因此,有: 解得 上述第一个解中20不满足问题的约束条件,故不为该问题的极小值解；,有不等式约束条件的多元函数极值(7/7),只有第三个解满足库恩-塔哈克定理的所有条件,因此是该问题的极小值解。 (3) 类似前面求解过程,可知在10,2=0及10,20两种情况下,该问题无解。 综上所述,该极值问题的解为,泛函(1/14),7.2.2 泛函 变分法是研究泛函极值问题的一种经典方法,从17世纪末开始逐渐发展成为一门独立的数学分支。 它在力学、光学、电磁学等方面有着极为广泛应用。 下面先讨论泛函的基本概念。 泛函是函数概念的一种扩充。 函数表示从数到数的对应关系,如y(x)=2x2-x+1规定了自变量x和因变量y之间的对应关系,是数x到数y的一种映射。 而泛函则表示函数y到数J的一种映射关系,见下面的例子。,泛函(2/14)最短弧长问题,显然,上述弧长的积分式对于任意给定的连续可微的函数y(x)都存在对应的一个积分值,即存在函数y(x)到数S(y(x)的一种映射关系。 因此,有下面泛函的定义。,图7-2最短弧长问题,最短弧长问题 如图7-2所示,设y(x)是连接点(x1,y1)到(x2,y2)的一条曲线。 若y(x)是连续可微的,则A,B两点的区间y(x)的弧长为,泛函(3/14)定义7-2,定义7-2 对于某一类函数集合中的每一个函数y(x),都存在一个确定的数J与之对应,那么就称J为依赖于函数y(x)的泛函,记为 J=Jy(x) 或简记为J。 相应地,自变量函数y(x)称为宗量。 从上述定义可知,泛函规定了数J与函数y(x)的对应关系,可理解为“函数的函数”。 需要强调的是,上述定义中的宗量y(x)是某一特定函数的整体,而不是对应于某一自变量x的函数值y(x)。 为强调泛函的宗量是函数的整体,有时将泛函表示为J=Jy()。,泛函(4/14),在泛函的定义中,强调泛函的宗量y(x)属于某一类函数。 由泛函的定义所确定的宗量属于的函数类称为容许函数类或容许函数空间。 如最短弧长问题中泛函Sy(x)的容许函数类为通过A,B两点的连续可微或分段连续可微的函数。 线性泛函是研究泛函极值问题的基础,下面先给出线性泛函的定义。,泛函(5/14)定义7-3,定义7-3 泛函Jy(x)如果满足下列叠加性和齐次性两个条件 Jy1(x)+ y2(x)=Jy1(x)+Jy2(x) Jcy(x)=cJy(x) 式中,y1(x)和y2(x)为任意的两个函数;c为任意常数。 此时,称Jy(x)为线性泛函。 线性泛函具有可叠加性和齐次性。,泛函(6/14),泛函的极值则是在容许函数类中求得使泛函达到极值的函数。 如最短弧长的例子中,就是从函数序列中求得一个使最短的函数。 在不考虑约束的条件下,连接两点的是一条连接两点的直线。 为导出泛函的极值条件,还需要定义宗量和泛函的变分。为此,不妨回顾一下函数微分的定义。,泛函(7/14),若函数y=f(x)具有连续的导数,则它的增量可以表示如下 上式右边第1项是x的线性函数,第2项是x的高阶无穷小量。 因此,当x充分小时,第1项起主要作用,它与y很接近。 所以,第1项为函数增量的线性主部,亦称为函数的微分,记为 类似于上述变量x和函数y(x)的微分的定义,泛函宗量和泛函的变分的定义如下。,泛函(8/14)定义7-4,7-5,定义7-4 泛函宗量的变分是指同一函数类中两函数之差,记为 显然,宗量的变分y(x)也是独立的自变量x的函数。 定义7-5 若连续泛函Jy(x)的增量可以表示为 式中,右边第1项为y(x)的线性连续泛函, 第2项为关于y(x)的高阶无穷小。 那么,则将第1项称为泛函Jy(x)的变分,并记为,泛函(9/14),如同函数的微分是函数的增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函的增量的线性主部,所以,泛函的变分也可以称为泛函的微分,此时称泛函是可微的。 引理7-1 泛函Jy(x)的变分为 证明 可微泛函的增量可以写作,泛函(10/14),由于L(y(x),y(x)是关于y(x)的线性连续泛函,且r(y(x),y(x)为y(x)的高阶无穷小,因此有 故,泛函(11/14)例7-3,此引理,可将求泛函的变分化为求函数的微分,因此可以利用函数的微分法则,方便地计算泛函的变分。 例7-3 求如下泛函的变分。 解,泛函(12/14)定理7-2,由上述例子可以看出,根据引理7-1,计算泛函的变分如同计算函数的微分一样简单。 基于上述泛函变分的定义和计算方法,有如下泛函Jy(x)的极小值定理。 定理7-2 若可微泛函在y0(x)上达到极小(极大)值,则在y=y0(x)上有 证明 对于任意给定的y来说,Jy0+y是实变量的函数。 根据定理的假设可知,变量的函数Jy0+y在=0上达到极值。,泛函(13/14),由函数极值的必要条件,有 由引理7-1可知,上式的左边等于泛函Jy(x)的变分,即J。 因此,考虑到变分y的任意性,从而定理得证。 ,泛函(14/14),泛函的变分实际上就是关于其宗量变分y(x)的线性连续泛函,因此,在实际求解过程中,可以通过求泛函对其所有宗量的一阶偏微分得到泛函的变分。 泛函Jy1(x),y2(x),ym(x)的变分为 在本书后面的部分,将经常使用上述计算式计算变分。 利用上式重新计算例7-3,可以得到相同的结论。,欧拉方程(1/4),7.2.3 欧拉方程 从容许函数类中求某一函数x(t),使积分型泛函 取极小的变分问题,通常称为拉格朗日问题。 它是古典变分学中3个基本问题之一。 前面讨论的最短弧长问题即属于拉格朗日问题。 此外,三个变分基本问题还有麦耶尔(Mayer)问题和波尔扎(Bolza)问题。,欧拉方程(2/4),所谓麦耶尔问题,是指使末值型泛函 取极小的变分问题。 波尔扎问题是指使复合型泛函 取极小的变分问题。 容易看出,拉格朗日问题和麦耶尔问题可以看成波尔扎问题的一种特例,波尔扎问题是最一般形式的变分问题。 可以证明,上述3个问题可以互相转换。,欧拉方程(3/4),比如,若令 假定初值S(x(t0),t0)恒定不变,则波尔扎问题就可以化为一个等价的拉格朗日问题。 若引进一个新的变量x0(t),使 令 则又可把波尔扎问题化为一个等价的麦耶尔问题。,欧拉方程(4/4),某些实际的变分问题,其原始形式可能不属于这3个基本变分问题中的一个,但都可经数学变换将其化为3个基本变分问题之一。 因此,研究3个基本变分问题的任何一个都具有普遍意义。 下面就分别介绍 变分法的基本预备定理 拉格朗日极值问题的必要条件-欧拉方程。,变分法的基本预备定理(1/4)定理7-3,1. 变分法的基本预备定理 定理7-3 如果函数F(t)在区间t0,tf上是连续的,而且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数(t) 如,(t)为一阶或若干阶可微函数,在t0,tf上的端点处(t0)=(tf)=0,并且|(t0)|,或|(t0)|且|(t0)|)。 有 则有 F(t)0 tt0,tf,变分法的基本预备定理(2/4),证明 由于函数(t)是任意选定的,因此,可以取 (t)=W(t)F(t) 式中,W(t)是任一满足条件 的函数,其中c(t)为某个任意函数,它在区间t0,tf上各点的函数值及其导数值可以选得任意小。 因此,这样的(t)满足定理所要求的一切条件。 将函数(t)代入式(7-28),得,变分法的基本预备定理(3/4),上述积分式中的被积函数F2(t)W(t)是非负的。 因此,上述积分式成立的充要条件为被积函数F2(t)W(t)恒等于零,而W(t)是满足某些简单条件的任意函数。 要上式成立,必有 F(t)0 tt0,tf 上述定理可推广至多函数问题,即有如下推论。,变分法的基本预备定理(4/4)推论7-1,推论7-1 若函数Fi(t)(i=1,2,n)在区间t0,tf上是连续的,而且对于只满足基本预备定理要求的任意选定的,互相独立的函数i(t)(i=1,2,n),有 则有 Fi(t)0 tt0,tf, i=1,2,n,欧拉方程(1/10),2. 欧拉方程 下面将从拉格朗日泛函极值问题着手,导出泛函极值的必要条件-欧拉方程,或欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程。 考虑如下积分型的拉格朗日泛函极值问题:有 式中,x(t)至少是t的二次可微函数, 是变量t,x(t)和 的连续函数,并且有二阶连续偏导数。 曲线x(t)的端点时间t0和tf是固定的,且满足如下边界条件 x(t0)=x0, x(tf)=xf,欧拉方程(2/10),该问题中,t0,tf,x(t)和 为泛函的宗量,为积分变量。 求该泛函极值问题,须先求该泛函的一阶变分J。 J是泛函对其所有宗量的一阶变分,为 其中,欧拉方程(3/10),由于t0,tf,x(t0),x(tf)固定,所以有 t0=0, tf=0, x(t0) =0, x(tf) =0 因此 泛函取极值的条件是J=0。 由定理7-3可知,当J=0时,得极值条件,欧拉方程(4/10),上述极值条件可简记为 将上式左边的第二项展开,可得 上述3式通常均可以称为欧拉方程(或欧拉-拉格朗日方程)。 当 时,上述欧拉方程是二阶常微分方程。,欧拉方程(5/10),欧拉方程的积分曲线x=x(t,C1,C2)称为极值曲线。 只有在极值曲线上泛函J才可能达到极小(极大)值。 对于所讨论的两个端点固定的情况,正好可以用两个边界条件x(t0)=x0和x(tf)=xf ,将积分常数C1和C2确定出来。,欧拉方程(6/10),当函数 不显含自变量t时,欧拉方程可表示为 由于有 所以,有如下一阶常微分方程 式中,C1为积分常数。 因此,当函数 不显含t时,解欧拉方程可等价于解上述一阶常微分方程。,式中,m,s和g分别为质点的质量、线速度和所受到的重力加速度。 由上式可得,欧拉方程(7/10)-最速降线问题,例7-4(最速降线问题) 如图7-3所示,假定不计摩擦力和阻力,确定质点在重力作用下,从A点以最短时间滑到B点的轨线。 解 由于这是一个能量守恒系统,因而总能量不变:,图7-3 最速降线,欧拉方程(8/10),因此,质点从A到B的时间为 即最速降线问题为拉格朗日泛函极值问题。 在该泛函问题中,自变量为x,宗量为y(x)。 由于泛函的被积函数F不显含自变量x,则解欧拉方程等价于解一阶微分方程(7-35)。 将F代入方程(7-35),有,欧拉方程(9/10),经整理,可得 引入参变量,令y=ctg,于是上式可表示为 又由 积分得,欧拉方程(10/10),由边界条件y(0)=0,可得该泛函问题的极值曲线解 这是圆滚线的参数方程,式中C2/2为滚动圆半径。 常数C2可由另一边界条件y(xf)=yf来确定。,横截条件(1/9),7.2.4 横截条件 前面研究拉格朗日问题时,曾假设两个端点给定且固定不变, x(t0)=x0,x(tf)=xf。 实际上这就是求解欧拉方程所必需的边界条件。 许多实际问题的端点是未知的,如前述的月球软着陆问题和最速升降问题的末态时刻都是未知的,它本身就是该泛函极值问题的一个变量。 那么,当端点可变时,泛函的极值必要条件如何?,横截条件(2/9),为使问题简单,又不失一般性,假定容许函数的始端(t0,x(t0)给定,末端(tf,x(tf)可变,并假定沿曲线c(tf)变化,如图7-4所示。,图7-4 末态约束曲线示意图,对这类始端固定、末端可变的泛函极值问题的描述如下。 寻找一条连续可微的极值曲线,使性能指标泛函 达到极值。 该极值曲线的边界条件为 x(t0)=x0, x(tf)=c(tf),横截条件(3/9),对该泛函极值问题,设x*(t)是一条满足始端固定且末端可变条件的极值曲线。 那么对于与x*(t)有同样边界点的更窄的函数类来说,x*(t)也必然能使泛函(7-36)达到极值。 因此,x*(t)必能满足端点固定时的泛函极值必要条件。 也就是说,x*(t)应当满足欧拉方程 在这里,由于末端(tf,x(tf)可变,因此,由边界条件(7-37)不能确定上述欧拉方程的通解中的两个积分常数。,横截条件(4/9),下面将对端点可变的泛函极值问题导出其极值解的必要条件。 该泛函极值问题中, 为泛函的宗量,t为积分变量。 为了求该泛函极值问题,引入拉格朗日乘子,并重新定义泛函为 则该泛函对其所有宗量的一阶变分为,横截条件(5/9),式中各符号意义如前所述。 由于x(t0)固定,所以有t0=0与x(t0) =0,因此,横截条件(6/9),泛函 取极值时的条件是 =0。 由定理7-3可知,当 =0时,欧拉方程仍然成立。 且有横截条件 和边界条件x(tf)=c(tf)。 求解欧拉方程需要求解上述横截条件,由此可以求得欧拉方程的通解中的积分常数和终端状态tf和x(tf)。,横截条件(7/9)例7-5,从上述推导过程可知,实际上由泛函 对其乘子宗量(tf)的变分所导出的方程恰为约束条件x(tf)-c(tf)=0。 鉴于这个原因,在求解具有约束条件的泛函极值问题时,一般不必对所引入的拉格朗日乘子宗量(t)和(tf)进行变分,在求解极值解的时候,直接加入约束条件即可。 例7-5 求y-x平面上固定点(0,1)至直线c(xf)=2-xf的最短弧长曲线。 解 由前述最短弧长问题可知,该最短弧长曲线问题的泛函为 式中,自变量为x,宗量为y(x)。,横截条件(8/9),由欧拉方程,有 即 解之得 所以 y=C2x+ C3 式中,C1、C2和C3为积分常数。,横截条件(9/9),由边界条件y(0)=1,可得 y= C2x+1 常数C2可由横截