课件：控制与接口技术-离散系统.ppt

控制与接口技术,主讲教师：叶春生, Tel华中科技大学材料学院,控制与接口技术,第一章 绪论 第二章 线性离散系统的分析与校正 第三章 控制系统的状态空间分析与综合 第四章 STM32处理器及其应用 第五章 数控（CNC）系统及其插补原理 第六章 数控机床的伺服驱动系统 第七章 SIMULINK交互式仿真集成环境,内容提要,引言 采样过程的数学描述 信号恢复 Z变换理论 采样系统的数学模型 离散控制系统分析 数字控制器的设计 Matlab在离散系统中应用,2.1 概述,控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数,则这样的系统称为连续时间系统,简称连续系统; 控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码,则这样的系统称为离散系统。 在离散系统中，采用Z变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以Z传递函数为基础的复域分析法。,加热炉控制系统,一个加热炉控制系统，温度通过测温电阻和电桥平衡电路将温度转变为电压送出，检流计得到的电流信号通过凸轮改变电位计电位，然后通过放大器改变减速电机已达到调节加热气体的供给量，使加热炉的温度保持在一个给定的数值范围内。检流计电流的变化是连续的，,如何应用采样系统对该加热炉进行控制？,图2-1 炉温采样控制系统原理图,信号的采样,采样系统是对连续系统的信号在某些规定的时间上取值,成为断续形式的脉冲信号,而相邻两个脉冲之间是没有信号值的,如图2-2所示.,图2-2 信号的采样,信号的复现,图2-2 信号的采样,在采样控制系统中,把脉冲序列转变为连续信号的过程,称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器。 保持器的作用有: 实现两种信号之间的转换; 对脉冲信号进行复现滤波,避免高频噪声加入到系统的连续部分中去。,数字控制系统,数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环系统.包括：数字计算机（离散）；被控对象。,图2-3计算机控制系统的典型原理图,离散控制系统的特点,1） 由数字计算机构成的数字校正装置,效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活. 2） 采样信号,特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声,从而提高了系统的抗干扰能力. 3） 允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度. 4） 可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好. 5） 对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统,可以引人采样的方式使其趋于稳定.,2.2 采样过程的数学描述,2.2.1 采样过程 把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器,又叫采样开关.采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关。,图2-4幅值调制过程原理图,将断续信号用如下数学式子表示 或 对离散信号e*（t）取拉氏变换，可得,连续信号e（t）与断续信号e*（t）,为理想单位脉冲序列,例：设e（t）=1（t）为单位阶跃函数，试求e*（t）的拉氏变换。 解：,由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息,所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化.研究采样信号的频谱,目的是找出E*（s）与E（s）之间的相互联系,对上式两边取拉氏变换,由拉氏变换的复数位移定理,得到,上式说明：(1)采样开关前后信号的拉氏变换E*（s）与E（s）之间的关系；即离散信号与连续信号频谱关系。(2) E*（s）是s的周期函数,2.2.2 采样信号的频谱,-,-,E(j ),0,0,-,-,(a) 连续信号e（t）的频谱,(b)离散信号e*（t）的频谱（ 2 ）,为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍既,2.2.3 香农（shannon）采样定理,这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢复出来。实际使用时,理想滤波器 的滤波特性为,1,0,其频率特性如图,-,理想滤波器的频率特性,2.2.4 采样周期的选择,采样定理只是给出了采样周期选择的基本原则,并未给出选择采样周期的具体计算公式.一般T越小，对控制过程的信息获得越多,控制效果也会越好;但计算量加大,实现较复杂控制规律的难度加大. T越大: 给控制过程带来较大的误差,降低系统的动态性能,甚至有可能使控制系统不稳定。 工程实践表明，根据下表给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。,工业过程T的选择,从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为,由于 ，所以采样周期可按下式选取：,采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：,或者,2.2.5 信号保持,信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实现方法：理想滤波器；实际使用的方法：保持器。 零阶保持器：零阶保持器（恒值外推）的外推公式为：,零阶保持器的数学表达式为,无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该具有频率特性,经过采样理想滤波后，脉冲序列的频谱为,零阶保持器的输出为阶梯信号。,由于 ，（k=0,1,2,）所以保持器的输出 与连续输入信号 之间的关系式为,的拉普拉氏变换则为,零阶保持器的传递函数为,应用零阶保持器恢复信号,零阶保持器的频率特性为,(7-22),其幅频特性和相频特性如图所示,3,2,-,-2,-3,零阶保持器的频率特性,2.2.5 一阶保持器,一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中t为kT到（k1）T之间的时间变量。,一阶保持器的脉冲响应函数应该如图所示的那样。,a）一阶保持器的脉冲响应函数,b）脉冲响应函数的分解,根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数,或,一阶保持器的频率特性为,式中,按上式画得的幅频特性。虚线为零阶保持器的频率特性 。,2,3,-,-2,一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）,2.3 离散系统的数学模型,2.3.1 离散系统的数学定义 将输入序列 r(n) 变换为输出序列c (n) 的一种变换关系,称为离散系统. 记作,其中, r(n) 和 c(n) 为 时系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT),T为采样周期。,1） 线性离散系统：如果上式离散系统满足叠加原理,则称为线性离散系统。 2） 线性定常离散系统：输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统,称为线性定常离散系统。,2.3.2 差分方程及其解法,1）用Z变换解差分方程,用Z变换求解差分方程的一般步骤： (1) 利用初始条件，运用Z变换法，将差分方程变为以z为变量的代数方程:,(2) 根据x(kT)=Z-1X(z)，运用逆Z变换法，求解它的时间响应x(kT)。,X（Z）称为X*（t）的z 变换，记为z,z = X(Z) = X(kT)Z-k,在Z变换中，X（Z）为采样脉冲序列的Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。由于在采样时刻，X（t）的值就是X（kT）,所以从这个意义上说，X（Z）既是X*（t）的Z变换，也可以写为X(t)的Z变换，即,Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k,例1 已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始条件为x(0)=0,x(1)=1，试求其时间响应。 解：根据左移定理，其差分方程的Z变换式为 z2X(z)-z2x(0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0 整理后得,即时间响应为 x(n)=(-1)n-(-2)n n=0,1,2,2.3.3 脉冲传递函数,1） 脉冲传递函数定义 z传递函数又称脉冲传递函数。如果系统的初始条件为零，输入信号为r(t)，经采样后r*(t)的Z变换为R(z)，连续部分输出为c(t)，采样后c*(t)的Z变换为C(z)，如图2-6所示，开环传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，用G(z)表示,开环采样系统,2）开环系统(环节)的z传递函数,离散系统脉冲传递函数G(z)的求取步骤为： (1)先求出系统连续部分的传递函数G(s)。 (2)对G(s)进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数g(t)=L-1G(s)。 (3)对g(t)采样，求出离散系统脉冲响应函数,(4)求离散系统脉冲响应函数g*(t)的Z变换，即求出z传递函数G(z)为,3）串联环节的z传递函数,串联环节的z传递函数求法与连续传递函数求法类似,不过离散环节串联时传递函数的求法更复杂些，此时,有三种情况需要考虑，如图所示。,串联形式,4）闭环脉冲传递函数,在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可以用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式，如下图所示。,两种环节并联形式,闭环传递函数和误差传递函数为,典型闭环采样系统脉冲函数的一些规律： (1)将输入R(s)也作为系统的一个环节看待。 (2)把未被采样开关(不包括虚拟采样开关)分割的所有环节的s域传递函数相乘作为一个独立环节.,例2-5 一个计算机控制系统的结构如图2-9所示，试求该系统的闭环z传递函数。,故闭环传递函数为,4）闭环脉冲传递函数,在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可以用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式，如下图所示。,两种环节并联形式,2.4 采样系统的稳定性与稳态误差,2.4.1 离散系统稳定性及稳定条件 由连续系统控制理论可知，线性时不变连续系统稳定的充要条件是，系统所有特征根具有负实部，i0。z平面的单位圆内部是离散系统特征根(或极点)分布的稳定域，单位圆周为稳定边界,如下图所示。,离散系统稳定性的定义: 若离散系统在有界输入序列作用下, 其输出序列也是有界的, 则称该离散系统是稳定的. (1) 时域中离散系统稳定的充要条件,2.4.3 离散系统稳定性的充要条件,当且仅当差分方程,所有特征根的模,相应的线性定常离散系统是稳定的。,(2) z 域中离散系统稳定的充要条件 当且仅当离散特征方程 的全部特征根均分布在z平面上的单位园内, 或者说所有特征根的模均小于1, 即, 相应的线性定常离散系统是稳定的。,离散系统稳定的充要条件的另一种表示形式是输出响应的每一分量都要衰减为零，即,为此每一个根的模|zi|1,如果有一个根的模|zi|1，则系统就不稳定，有一个根的模|zi|=1，则系统处于临界稳定状态。,对于单位反馈离散系统,其误差脉冲传递函数为,2.4.4 离散系统的稳态误差,的极点全部严格位于 z 平面上的单位园内, 即若离散系统是稳定的, 则其稳态误差为,可见线性定常离散系统的稳态误差, 不但与系统本身的结构和参数有关, 还与输入序列的形式和幅值有关, 此外还与采样周期T 有关。,2.5 采样系统的动态性能分析,2.5.1 离散系统的时间响应 假定外作用为单位阶跃函数 1(t). 如果可以求出离散系统的闭环,求图示系统在单位阶跃输入的作用下的过渡过程 , 已知T=1s。,2.5.2 采样器和保持器对动态性能的影响,采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点, 仅影响开环传递函数的零点. 离散系统的开环脉冲传递函数零点的变化, 必然会引起闭环脉冲传递函数极点的改变. 因此采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能。定性分析如下: (1) 采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小, 但使超调量增大, 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定性. 然而在某些情况下, 例如在具有大延迟的系统中, 误差采样反而会提高系统的稳定性。 (2) 零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长, 超调量和振荡次数也增加. 这是因为除了采样造成的不稳定因素外, 零阶保持器的相角迟后降低了系统的稳定性。,2.5.3 闭环极点与动态响应的关系,z域的闭环脉冲传递函数一般表为,当输入为单位阶跃信号时,输出信号的Z变换,闭环实极点与动态响应的关系图,闭环共轭极点与动态响应的关系图,2.6 Matlab在离散系统中应用,连续系统离散化，在Matlab中应用CZDM函数。它的一般格式为,CZDM （ num , den , T , zoh）,零阶保持,采样周期,连续传函分母多项式系数表,连续传函分子多项式系数表,例 已知开环离散控制系统结构如图，求开环脉冲传递函数。采样周期T=1秒。,y (t),开环离散控制系统,解 先用解析求G（Z）,G(Z) = Z =,用Matlab可以很方便求得上述结果,%This script converts the transfer function %G(S)=1/s(s+1) to a discrete-time system %with a sampling period of T=1 sec %,num=1;den=1,1,0; T=1 numZ,denZ=c2dm(num,den,T,Zoh); printsys(numZ,denZ,Z),打印结果,假定离散系统如图所示。输入为单位阶跃，可用dstep函数求输出响应。,Dstep ( num , den , n ),用户指定的采样点数,离散系统脉冲传函分母多项式系数,离散系统脉冲传函分子多项式系数,y (Z),开环离散系统,例 已知离散系统结构如图所示，采样系统的输入为单位阶跃，采样周期T=1秒，求输出响应。,闭环离散控制系统,解： 由GB(Z)= =,y(Z)=GB(Z)R(Z)=,= 0.368z -1+z 2 +1.4z -3+1.4z -4+1.14z -5 +,可绘制输出响应如图,1 2 3 4 5,0.4,1,1.4,闭环离散控制系统单位阶跃响应,如果用Matlab的dstep函数，可很快得到离散输出y*(t)和连续输出结果y(t),%This script gene rather the unit step response ,y(kt), %for the sampled data system given in example % num=0 0.368 0.264; den=1 -1 0.632; dstep(num,den),dend=conv(1 0,dd); numdm,dendm=minreal(numd,dend); % n1,d1=series(numdm,dendm,numg,deng); num,den=cloop(n1,d1); t=0:0.1:20; step(num,den,t),This script computes the continuous-time unit %step response for the system in example % numg=1;deng=1 1 0; nd,dd=pade(1,2) numd=dd-nd;,连续输出,本节主要内容,1模拟PID调节器 2数字PID控制器的实现 3数字PID算法的改进 4数字PID参数的整定 5PID控制的新发展,27 数字PID控制,按偏差的比例、积分和微分进行控制的调节器简称为PID调节器，是在连续系统中技术最为成熟，应用最为广泛的一种调节器。 PID调节器结构简单、参数易于调整，当被控对象精确数学模型难以建立、系统的参数又经常发生变化时，应用PID控制技术，在线整定最为方便。 在计算机进入控制领域后，用计算机实现数字PID算法代替了模拟PID调节器。,1用经典控制理论设计连续系统模拟调节器，然后用计算机进行数字模拟，这种方法称为模拟化设计方法。 2应用采样控制理论直接设计数字控制器，这是一种直接设计方法（或称离散化设计）,数字PID控制器的设计是按照 1 进行的。,连续生产过程中,设计数字控制器的两种方法:,1.模拟PID调节器,模拟PID控制,PID控制器是一种线性控制器； 根据对象的特性和控制要求，可灵活地改变其结构。,PID调节器的基本结构,1. 比例调节器 2. 比例积分调节器 3. 比例微分调节器 4. 比例积分微分调节器,控制规律：,其中： 为比例系数；,为控制量的基准。,比例调节的特点：比例调节器对于偏差是即时反应，偏差一旦产生，调节器立即产生控制作用使被控量朝着减小偏差的方向变化，控制作用的强弱取决于比例系数。只有当偏差发生变化时，控制量才变化。,（1）比例调节器,缺点：不能消除静差； 过大，会使动态质量变坏，引起被控量振荡甚至导致闭环不稳定。,P调节器的阶跃响应,（2）比例积分调节器,控制规律：,积分调节的特点：调节器的输出与偏差存在的时间有关。只要偏差不为零，输出就会随时间不断增加，并减小偏差，直至消除偏差，控制作用不再变化，系统才能达到稳态。,其中： 为积分时间常数。,缺点：降低响应速度。,（3）比例微分调节器,控制规律：,其中： 为微分时间常数。,微分调节的特点：在偏差出现或变化的瞬间，产生一个正比于偏差变化率的控制作用，它总是反对偏差向任何方向的变化，偏差变化越快，反对作用越强。故微分作用的加入将有助于减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定。它加快了系统的动作速度，减小调整时间，从而改善了系统的动态性能。,缺点： 太大，易引起系统不稳定。,（4）比例积分微分调节器,控制规律：,比例积分微分三作用的线性组合。 在阶跃信号的作用下，首先是比例和微分作用，使其调节作用加强，然后是积分作用，直到消除偏差。,2数字PID控制器,当采样周期足够小时，在模拟调节器的基础上，通过数值逼近的方法，用求和代替积分、用后向差分代替微分，使模拟PID离散化变为差分方程。,可作如下近似:,式中，T为采样周期，k为采样序号。,两种标准的数字PID控制算法,（l）数字PID位置型控制算法,控制算法提供了执行机构的位置。,式中：,或：,（2）数字PID增量型控制算法,由位置型算法,又,，得：,得：,增量型算法只需保持前3个时刻的偏差值。,（3）两种标准PID控制算法比较,图6 两种PID控制算法实现的闭环系统,（a）位置型,（b） 增量型,算法比较 ： （1）增量型算法不需要做累加，计算误差或计算精度问题，对控制量的计算影响较小。而位置型算法要用到过去误差的所有累加值，容易产生大的累加误差。 （2）增量型算法得出的是控制量的增量，误动作影响小，而位置型算法的输出是控制量的全量输出，误动作影响大。 （3）采用增量型算法，由于算式中不出现 项，则易于实现手动到自动的无冲击切换。,3. 数字PID控制算法的改进,1. 什么是饱和效应？ 在实际过程中，控制变量因受到执行元件机械和物理性能的约束而限制在有限范围内，即,其变化率也有一定的限制范围，即,如果计算机给出的控制量在所限制范围内，能得到预期结果；若超出此范围，实际执行的控制量就不再是计算值，将得不到期望的效果。这种效应称为饱和效应。,2. 抑制饱和的方法,过程的起动、结束、大幅度增减设定值短时间内系统的输出会出现很大的偏差，致使积分部分幅值快速上升。由于系统存在惯性和滞后，这就势必引起系统输出出现较大的超调和长时间的波动，特别对于温度、成分等变化缓慢的过程，这一现象更为严重，有可能引起系统振荡（即积分饱和现象）。采用积分分离PID或变速积分PID等控制算法可以解决。,1) 抑制积分饱和,积分分离PID控制算法,式中， 为逻辑变量； 为积分分离限值，它根据具体对象要求确定。过大，达不到积分分离的目的；过小，一旦被控量 无法跳出积分分离区，只进行PD控制，将会出现静差。,图7 PID控制算法比较,系数与偏差当前值的关系可以是线性的或非线性的，可设为,变速积分的PID积分项表达式为,值在 区间内变化 。,变速积分PID控制算法,2抑制微分饱和方法,微分环节的引入对于干扰特别敏感。当系统中存在高频干扰时，会降低控制效果。当被控量突然变化时，正比于偏差变化率的微分输出就很大。但由于持续时间很短，执行部件因惯性或动作范围的限制，其动作位置达不到控制量的要求值，这样就产生了所谓的微分失控（饱和）。采用不完全微分可以收到较好理想效果。,图8 不完全微分PID控制器,不完全微分PID控制器结构,（1）,（2）,不完全微分的PID控制算法,（3）,（4）,进行离散化，得到不完全微分PID位置型控制算式,（5）,（1）普通PID控制的微分作用仅局限于第一个采样周期有一个大幅度的输出。一般的工业用执行机构，无法在较短的采样周期内跟踪较大的微分作用输出，而且理想微分容易引进高频干扰。 （2）不完全微分PID控制的微分作用能缓慢地持续多个采样周期。由于不完全微分PID算式中含有一个低通滤波器，因此抗干扰能力也较强。,4. 数字PID控制器参数的整定,1）采样周期的选择,（1）采样周期应