2019届高考数学专题三第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换教案理.docx

第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换1.(2018全国卷,理4)若sin =,则cos 2等于(B)(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin =,所以cos 2=1-2sin2=1-22=.故选B.2.(2016全国卷,理7)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(B)(A)x=-(kZ)(B)x=+(kZ)(C)x=-(kZ)(D)x=+(kZ)解析:y=2sin 2x向左平移得y=2sin 2x+.令2x+=+k,kZ,得x=+,kZ.故选B.3.(2016全国卷,理5)若tan =,则cos2+2sin 2等于(A)(A)(B)(C)1(D)解析:cos2+2sin 2=.选A.4.(2017全国卷,理6)设函数f(x)=cosx+,则下列结论错误的是(D)(A)f(x)的一个周期为-2(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)f(x+)的一个零点为x=(D)f(x)在,单调递减解析:f(x)=cosx+中,x,x+,则f(x)=cosx+不是单调函数.故选D.5.(2017全国卷,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+,则下面结论正确的是(D)(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2解析:因为sin2x+=cos-2x+=cos2x+.因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,再将y=cos 2x向左平移个单位得到y=cos2x+=cos2x+.故选D.6.(2018全国卷,理10)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是(A)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=cos x-sin x=-sin x-cos x=-sinx-,当x-,即x-,时,y=sinx-单调递增,y=-sinx-单调递减.因为函数f(x)在-a,a是减函数,所以-a,a-,所以0a,所以a的最大值为.故选A.7.(2017全国卷,理14)函数f(x)=sin2x+cos x-x的最大值是.解析:由题意得f(x)=sin2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-cos x-2+1.因为x0,所以cos x0,1.所以当cos x=时,f(x)max=1.答案:18.(2018全国卷,理15)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.解析:因为sin +cos =1,cos +sin =0,所以2+2得1+2(sin cos +cos sin )+1=1,所以sin cos +cos sin =-,所以sin(+)=-.答案:-9.(2018全国卷,理15)函数f(x)=cos3x+在0,的零点个数为.解析:由题意可知,当3x+=k+(kZ)时,f(x)=cos3x+=0.因为x0,所以3x+,所以当3x+取值为,时,f(x)=0,即函数f(x)=cos3x+在0,的零点个数为3.答案:310.(2018全国卷,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.解析:f(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).因为cos x+10,所以当cos x时,即x+2k,+2k,kZ,f(x)时,+2k,+2k,kZ,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=+2k,kZ,sin x=-,cos x=,f(x)有最小值.又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),所以f(x)min=2-1+=-.答案:-1.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).2.题型及难易度选择题、填空题,试题难度中等.(对应学生用书第1921页) 三角函数的图象考向1三角函数的图象变换【例1】 (1)(2018榆林一模)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-,则下列说法正确的是()(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2(C)把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2(D)把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2(2)(2018湖南省两市九月调研)若将函数f(x)=2sinx+ 的图象向右平移个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴为()(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=解析:(1)根据曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-=sinx-,把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sinx的图象;再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2:y=sinx-的图象.故选B.(2)将函数f(x)=2sinx+的图象向右平移个单位得y=2sinx-+=2sinx-的图象,将y=2sinx-图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍得g(x)=2sinx-,令x-=+k,(kZ),得x=+2k,kZ,k=0时,x=.选D.三角函数图象变换中容易出错的地方是沿x轴方向的平移和伸缩变换:把函数f(x)=sin x的图象向右(左)平移个单位长度,得到函数g(x)=sin (x-)(g(x)=sin (x+)的图象,把函数f(x)=sin 1x的图象上各点的横坐标变为原来的倍021称为缩小为原来的,得到函数g(x)=sin(12x)的图象.考向2函数y=Asin(x+)的图象与解析式【例2】 (1)(2018湖北省5月冲刺卷)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,xR)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是()(A),0(B)-,0(C)-,0(D),0解析:(1)由题图得A=2,T=-=,所以=2,因为x=时y=2,所以2+=+2k(kZ),所以=+2k(kZ),因为|0,0,|0,0,|0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为()(A)(B)(C)(D)(2)(2018河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x+2sinx+cos x+.当x,时,求f(x)的值域;若函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=对称,求函数g(x)的单调递增区间.(1)解析:y=sin xsinx+=sin2x+sin xcos x=+=sin2x-+,将y=sin2x-+的图象沿x轴向右平移m(m0)个单位后,得到g(x)=sin2x-2m-+的图象,因为g(x)=sin2x-2m-+为偶函数,所以2m+=+k,kZ,即m=+,kZ,即正数m的最小值为.故选D.(2)解:f(x)=sin2x+sin x cos x+2sinx+cosx+=+sin 2x+sin2x+=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+=sin2x+,由x,得2x+,所以-sin2x+1,0f(x),即f(x)在,上的值域是0,.函数f(x)的图象向右平移个单位后得到h(x)的图象,则h(x)=fx-=sin 2x+,设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,则点P关于直线x=对称的点Q-x,y在h(x)的图象上,所以g(x)=h-x=sin-2x+=sin2x+.所以当-+2k2x+2k(kZ),即-+kx+k(kZ)时,g(x)单调递增,所以g(x)的单调递增区间是-+k,+k(kZ).三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(x+)为奇函数的充要条件是=k(kZ)、为偶函数的充要条件是=k+(kZ),函数y=cos(x+)为奇函数的充要条件是=k+(kZ)、为偶函数的充要条件是=k(kZ);(2)函数y=sin(x+),y=cos(x+)的最小正周期为,函数y=tan(x+)的最小正周期T=;(3)确定y=sin(x+),y=cos(x+)的单调性时首先化为正值,然后把x+看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于x+的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(x+)的值域时,一定要准确求出x+的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域.热点训练2:(1)(2018广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-,则下列结论错误的是()(A)f(x)的一个周期为-(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)fx+的一个零点为x=-(D)f(x)在区间上单调递减(2)(2018安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin-xcos+x-1的图象向左平移(0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则的最小值为()(A)(B)(C)(D)(3)(2018山东青岛二模)已知向量a=cos x,-,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.求f(x)的最小正周期;求函数f(x)的单调递减区间;求f(x)在0,上的最大值和最小值.(1)解析:f(x)=cos2x-的周期为T=k,kZ,所以A对,不符合题意;当x=时,2x-=,cos =-1,所以B对,不符合题意;fx+=cos2x+-=cos2x+,当x=-时,fx+=1;所以x=-不是fx+的零点.所以C错,符合题意;x时,2x-,y=cos x在上递减,所以D对,不符合题意.故选C.(2)解析:由于sin-x=sin-+x=cos+x,故三角函数的解析式即y=2cos2+x-1=cos+2x,令cos+2x=0可得+2x=k+(kZ),则x=+(kZ),取k=0可得x=,即函数图象与x轴正半轴的第一个交点坐标为P,0,函数图象如图所示,数形结合可知的最小值为.故选B.(3)解:f(x)=cos x,-(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin2x-.f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.+2k2x-+2k,kZ,得+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间是+k,+k,kZ.因为0x,所以-2x-.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=,即x=时,f=,所以f(x)的最小值为-.因此,f(x)在0,上的最大值是1,最小值是-.利用三角恒等变换求值【例4】 (1)(2018三明模拟)已知角的终边经过点P(1,2),则等于()(A)-(B)(C)-(D)(2)(2018吉林省百校联盟联考)已知cos+=3sin+,则tan +等于()(A)4-2(B)2-4(C)4-4(D)4-4解析:(1)因为角的终边经过点P(1,2),则tan =2,所以=,故选D.(2)由题意可得-sin =-3sin+,即sin+-=3sin+,展开得sin+cos -cos+sin =3sin+cos +3cos+sin ,整理可得tan +=-2tan =-2tan -=-2=2-4.选B.(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,以及上述公式的变形.(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.热点训练3:(1)(2018张掖一模)已知tan-=4cos(2-),|,则tan 2等于()(A)-(B)(C)-(D)(2)(2018安徽安庆一中高考热身)已知tan(+)=,tan-=,则的值为;(3)(2018河南最后一模)已知x0,tan x=,则=.解析:(1)因为tan-=4cos(2-),所以=4cos ,又因为|,cos 0,所以sin =,cos =,tan =,所以tan 2=.故选B.(2)因为=tan+,且tan+=tan(+)-=,将tan(+)=,tan-=代入可得=.(3)因为x0,tan x=,所以sin x=.又=2sin x,所以=.答案:(1)B(2)(3) 【例1】 (1)(2018福建厦门二检)函数f(x)=cos(2x+)(0)在区间-,上单调递减,在区间-,0上有零点,则的取值范围是()(A),(B),(C),(D),(2)(2018广东省六校联考)已知函数f(x)=cos x sin 2x,下列结论中不正确的是()(A)y=f(x)的图象关于点(,0)中心对称(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)f(x)的最大值为(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数解析:(1)当x-,时,2x+-+,+,又因为(0,),则-+,+0,即,由cos(2x+)=0得2x+=k+,kZ,x=+-,所以-0,解得,综上,.故选C.(2)对于A中,因为f(+x)=cos (+x)sin 2(+x)=-cos xsin 2x,f(-x)=cos (-x)sin 2(-x)=cos xsin 2x,所以f(+x)+f(-x)=0,可得y=f(x)的图象关于(,0)中心对称,故A正确,不符合题意;对于B,因为f+x=cos+xsin 2+x=-sin x(-sin 2x)=sin xsin 2x,f-x=cos-xsin 2-x=sin xsin 2x,所以f+x=f-x,可得y=f(x)的图象关于x=对称,故B正确,不符合题意;对于C,化简得f(x)=cos x sin 2x=2cos2x sin x=2sin x(1-sin2x),令t=sin x,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1t1,因为g(t)=2t(1-t2)的导数g(t)=2-6t2=2(1+t)(1-t),所以当t-1,-或t,1时,g(t)0,函数g(t)为增函数,因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=时的函数值,结合g(-1)=0g=,可得g(t)的最大值为,由此可得f(x)的最大值为,而不是,所以不正确,符合题意;对于D,因为f(-x)=cos (-x)sin (-2x)=-cos xsin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(2+x)=cos (2+x)sin (4+2x)=cos xsin 2x=f(x),所以2为函数的一个周期,得f(x)为周期函数,可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,所以正确,不符合题意,故选C.【例2】 (1)(2018广东珠海市高三摸底)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-,则下列说法正确的是()(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(C)把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2(D)把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2(2)(2018福建百校临考冲刺)若函数f(x)=sin2x-与g(x)=cosx+都在区间(a,b)(0ab0,|的图象过点B(0,-1),f(x)在区间,上为单调函数,且f(x)的图象向左平移个单位后与原来的图象重合,则等于()(A)-(B)(C)(D)-解析:(1)