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第十一章 完全不確定決策,決策分析 Decision Analysis,授課教授: 簡禎富博士 2005/11/15,不確定情況下的決策分析步驟 (1-3),確認主要的不確定事件：不確定事件為決策者在決策時並不能控制該事件發生的情況，但該事件最後出現的狀態，卻會影響不同決策方案的實行後果(consequence) 定義不確定事件可能的自然狀態(state of nature)：所定義該事件的自然狀態應該彼此間完全互斥，並且集合起來又可以完整表達該不確定事件所有可能的結果(mutually exclusive, collectively exhaustive) 估計不確定程度：估計不確定事件的不確定程度，進而設法給定每種自然狀態的對應機率(probability),不確定情況下的決策分析步驟 (4-5),確認各方案在不同自然狀態下的後果：可以量化或質化的方式表示，量化表示方式通常以金錢的報酬或損失來表示，並結合第七章多屬性結果表示方式 評估方案：根據不確定情況下的決策理論或方法，計算各方案的期望報酬或期望損失，選擇最優者 完全不確定的情況代表決策者在步驟(3)中無法判斷某個自然狀態的發生機率會高於或者低於另一個自然狀態 可能是缺乏相關經驗或過去的歷史資料，以致無法估計發生的機率，也可能是該不確定因素在未成定局之前，無法定義可能的情況和估計發生的機率 由於沒有辦法給定機率，決策者也無法進行步驟(5),大綱,完全不確定情況下的決策必須藉由邏輯思考的方式設定合理的決策準則 不僅牽涉到邏輯上的問題，而還需符合管理哲學和決策者的偏好架構和風險態度。比如，管理者當時對遠景的看法是樂觀亦或悲觀？性情是保守型或是喜歡冒險型？這些均會影響到決策者的決策制定法則 本章介紹 完全不確定情況下可以使用的決策準則 機率給定與修正 機率認知的陷阱,完全不確定情況下決策的決策準則,一群同學要安排週末全班活動的計畫，希望能夠越多人參加越好，大家提出了幾個不同方案。出席人數： 打棒球被打壘球所隨機凌越(stochastic dominance),小中取大準則(Maxmin return),又稱悲觀準則或安全準則 作最壞的打算，再由各最壞的報酬中選擇最好的結果,決策準則,大中取大準則(Maximax return),又稱樂觀準則或冒險準則 對於每一個方案抱持最樂觀的希望，因此先由每個方案中找出不同自然狀態下之最高報酬為該方案的最高報酬，再由這些方案的最高報酬中選取最大的一個,決策準則,賀威志決策準則(Hurvicz optimism-pessimism index),Net = M + (1-)m，M則表最大報酬值，m則表示最小報酬值。為樂觀係數，該係數表示決策者對每一個可行決策方案之樂觀期望最大報酬值所賦予的機率。完全樂觀者， = 1，完全悲觀者， = 0,決策準則,薩維基最小悔惜準則(Savages minimax regret),尋求最小損失或最小悔惜(regret)，使決策發生錯誤時的機會成本趨於最小 即期望在相同自然狀態下，選擇的方案縱然不是最佳方案，但該方案的報酬和相同狀態下最佳方案的報酬之間的差額是最小的 悔惜定義為一決策方案之報酬與相同自然狀態下可以產生最大報酬之決策方案，兩者報酬的差額 先推算每一個決策方案之最大可能悔惜後，決策者便可根據大中取小的原則選擇其中悔惜最小的方案,決策準則,薩維基最小悔惜準則例,悔惜的計算以自然狀態為25度(3)的情況下為例，方案中報酬最佳者為S4壘球賽，報酬P(S4, 3)=25,決策準則,S1悔惜 P(S4, 3)- P(S1, 3)=25-7=18 S2悔惜 P(S4, 3)- P(S2, 3)=25-20=5 S3悔惜 P(S4, 3)- P(S3, 3)=25-15=10 S4悔惜 P(S4, 3)- P(S4, 3)=25-25=0,拉普拉斯決策準則(Laplaces principle of insufficient reason),又稱不充分理由原則 是根據古典機率的定理，當一個不確定事件有四種可能的結果，既然無更多的資訊可區分哪一種可能結果出現的機率會高於其他可能結果，則此四種結果出現的可能性程度相同，所以機率應該相同，而且又只有此四種可能，所以他們集合起來代表所有可能性，因此可以推論四種可能氣溫的每一種結果的發生機率都是1/4 決策者可以根據此原理在完全不確定情況下對每一個可能狀態賦予相同的機率，則可以進而求出每一個決策方案的期望報酬，並從其中選擇期望值較大的方案,決策準則,拉普拉斯決策準則例,E(Si)=0.25*P(Si,N1) + 0.25*P(Si,N2) + 0.25*P(Si,N3) + 0.25*P(Si,N4),決策準則,評估可行決策方案原則,一個可行決策方案，其執行結果應能滿足組織(公司)的目標 一個可行決策方案，其執行結果的影響，應該能被接受並且必須要能實施 應以預期的反應或目標來評估 每一個可行決策方案的風險都應該要考慮到，所選擇的方案應重視現在而不是過去的可能性 決策分析方法確實可以提供我們系統性的思考方法與分析方式，協助決策者從盤根錯節的問題中抽絲剝繭整理出頭緒。用這些方法得到的結果，相信會比決策者完全以直覺(intuition)進行決策更容易得到令人滿意且符合組織(公司)目標的決策方案,決策準則,機率的種類,說話者以可能機會50%表達其認為該事件是否會發生的信心程度(degree of belief)。說話者不一定有歷史資料可以佐證或真正精確地計算過機率，大部分是個人判斷(subjective judgment) 不確定情況下的決策需要機率描述各種自然狀態出現的可能性來協助決策者進行風險下的決策分析，事實上，機率可以分為古典機率、頻率機率、以及主觀機率(Barnett, 1982; Berger, 1985) 面對沒有經驗、可參考的資訊過少或者沒有真實機率存在的情況，必須將主觀判斷的信心程度轉為機率,古典機率 (classical probability),基於以下三個基本定理(Kolmogorov axioms of probability)來推算機率值 定理一：機率的範圍：某一個不確定事件的可能狀態的發生機率必定介於0與1之間。亦即最高的機率就是100%，而最低的機率為0% 定理二：所有可能狀態集合的機率總合必為1：某一個不確定事件的所有可能出現狀態的集合的機率為1，也就是最高的機率值 定理三：機率具有可加性(additive)：某一個事件的兩種互斥的可能結果，亦即一種結果發生則另一種結果必定不發生，則此二種結果任一者發生之機率為個別結果發生機率的加總，即P(A1 or A2)=P(A1)+P(A2),機率種類,古典機率例,以丟骰子可能出現的點數為例，根據上述三個基本定理，可以推論 骰子出現一點(A1)的機率是介於0與1之間，即 0 P(A1) 1。同理，0 P(A2), P(A3), P(A4), P(A5), P(A6) 1 骰子出現一點、二點、三點、四點、五點、或六點等六種所有可能狀態的機率總合為1 由於骰子只有可能出現一點、二點、三點、四點、五點、或六點中的一種狀態，因此任二種結果互斥，所以P(A1 or A2)=P(A1)+P(A2) 如何證明骰子是公平的呢？,機率種類,頻率機率 (frequency probability),指當某一個不確定事件可以重複觀察得到某種可能結果出現的頻率 就如同可以在所有環境因素都維持不變的條件下，重複同一個實驗非常多次，並紀錄每次實驗的結果，然後計算各種結果發生次數與事件重複總次數的比值 以丟骰子為例，若將該骰子投擲100次紀錄每一次的結果，並統計每一個點數出現的次數，發現其中五點出現14次，推論丟骰子出現五點的頻率機率為14/100 我們可以用重複的實驗來檢驗骰子是公平的假設 應用頻率機率來推估不確定決策問題中某個不確定事件的機率時會面對最大的困難在於決策無法重新來過,機率種類,主觀機率 (subjective probability),反映決策者或專家對某一個不確定事件的結果可能發生的信心程度(degree of belief) 未來10年內會發生大地震的機率，或是2005年台灣股票達8000點的機率，都是不會重複發生的事件，也不能用頻率機率的方法來給定機率 地質學家根據火山活動、地質結構、震波圖等資訊，提出一個機率值代表他認為會發生地震的信心程度 另一種不適用頻率機率的情況為沒有非常相近的真實事件的存在可以作為參照，例如1995閏八月 主觀機率的兩個特性:(1)針對同一事件不同人的主觀機率也不相同，(2)主觀機率的可信度與下判斷之人的專業知識或相關資訊充足的程度有關,機率種類,機率給定與修正,主觀機率之給定 離散機率 主觀機率之給定連續機率 機率修正貝氏定理,離散機率 (discrete probability ),一般有三種給定主觀機率的方法 第一種是直接估計法，乃是詢問決策者你認為這件事會發生的機率有多高? 。決策者可能實在回答不出來，或是給了答案後自己也很沒有信心，決策科學家與心理學家通常利用一些工具(instrument)來協助萃取決策者的判斷，如機率輪盤(probability wheel) 其中深藍區域的大小來協助決策者來直接預估某一項不確定事件的機率 換言之，直接估計法並不是隨意亂猜，透過有形工具可以幫助決策者將抽象的判斷更精確地表達出來,機率給定與修正,賭博情境,利用賭博 (gamble) 的實際情境，讓決策者在兩個打賭中選擇，藉著找出決策者可接受的賭金，以了解決策者的主觀機率判斷 調整Bet A 與Bet B方向，直到該球迷覺得兩個打賭是一樣的，則停止此過程 Bet A 與Bet B是無差異(indifferent)時 $XP(兄弟贏) $Y1 P(兄弟贏) = $XP(兄弟贏) $Y1 P(兄弟贏) P(兄弟贏),機率給定與修正,離散機率,樂透彩卷情境,第三種給定主觀機率的方法則是比較兩張樂透彩卷，則可直接針對機率值推估 當一決策者認為購買有機率P可贏得兩週希臘之旅的彩卷與購買兄弟象贏的彩卷是無差異的時候，代表他覺得買兩個彩卷任一張的期望報酬都一樣，因此可推論，他認為兄弟象會贏得總冠軍的機率就等於公益彩卷之獲獎機率,機率給定與修正,離散機率,連續機率,當不確定事件的可能結果不是有限個數的項目，而是連續性的資料 例如股市的點數，強烈颱風帶來的雨量，要對每一個可能的資料點都進行機率給定以定義出整個不確定事件所有可能結果的機率分配，是不切實際的做法 可行的方法為將連續數值分成若干間隔(bin)，並由其中取出代表點，則可以根據上節的機率給定方法，針對每一間隔範圍的代表點都進行類似步驟，累積起來即可獲得整體機率分配,機率給定與修正,連續機率例,買基金 根據收集到的資訊，台灣股市今年大約會在6500點到8500點的之間。為建構6500點到8500點之間所有可能狀態的機率，可以500點為單位，對台股指數低於6500點、7000點、7500點、8000點與8500點這五種狀況做機率推估。以台股指數 7000點為例 p=15%時兩張彩卷是一樣的,機率給定與修正,連續機率,機率修正貝氏定理,進入機率修正的主題前，先回顧一下條件機率(conditional probability)與機率的分解。條件機率P(A|B)表示給定B事件發生的條件下，A事件發生的機率，數學定義為： 其AB中表示A與B的交集，亦即A、B同時發生 一事件空間中B事件的補集(complement)為 ，代表B不發生的事件，其機率 ，換言之B與 彼此互斥,機率給定與修正,機率分解,事件A可被分解為A與B的交集和A與的 交集，根據機率的可加性，P(A)可寫為,要討論的事件本身受到其他多個不確定事件的影響時，直接估計該事件的機率會顯得困難，將該事件適當分解為其他不確定事件分析會較為容易 例如股市漲跌的機率受到市場需求強弱的影響，因此預估計股市漲的機率，可分解為兩種市場情況下分別估計再加總，亦即，市場需求上升時股市上漲的機率，與市場需求下降時股市上漲的機率,機率給定與修正,貝氏定理,二機率事件的貝式定理,根據條件機率與貝式定理(Bayes Theorem) ，在沒有其他資訊時，事件B發生的機率P(B)與在有事件A發生的條件下，事件B發生的機率P(B|A)，兩者之間具有一定關係，故貝氏定理常應用於主觀機率的修正，顯示決策者如何根據先期資訊或樣本資訊來修正其對於某事件發生與否的信心,機率給定與修正,貝氏定理,貝式定理一般式,數個自然狀態，可能的結果(自然狀態)為H1,H2,Hn，符合完全互斥且互不遺漏(MECE)的假設 令P(Hi)為Hi成立的驗前機率(prior probability)，亦即決策者在沒有其他資訊前認為Hi成立的主觀機率 當決策者由樣本獲得證據E後，便可根據貝氏定理修正各個Hi在給定E發生的條件下成立的機率，又可稱為Hi的驗後機率(posterior probability)P(Hi |E),機率給定與修正,貝氏定理,驗後機率與概似機率,其中P(E|Hi)為的Hi概似函數機率(likelihood function)，顯示當Hi成立時，樣本中可觀察到證據E的機率，而每個假設Hi的驗後機率正比於概似機率與驗前機率的乘積,機率給定與修正,貝氏定理,貝氏定理應用,兄弟象隊球迷在確定象隊進入總冠軍賽的當下，他興奮的認為兄弟象會贏得總冠軍(H1)的機率為P(H1)=0.7，反之他認為兄弟象會輸掉總冠軍(H2)的機率為P(H2)=0.3 若兄弟象隊不幸輸了第一場，總冠軍的機率會如何? 根據過去的經驗，象隊在總冠軍賽中，在贏得該年度總冠軍的比賽中，第一戰輸掉(E)的佔的比例為2/5；輸掉年度總冠軍下，第一戰輸掉(E)佔的比例為1/2,機率給定與修正,貝氏定理,機率認知的陷阱,人對機率認知與電腦處理機率的方式並不一像，不是20%就代表一特定的數值。人對機率的認知受限於認知能力的限制與風險偏好 認知能力的限制是指人無法精準的區別機率的差異，例如決策者可以清楚區分20%和80%表示兩者發生的機率一個偏低一個偏高，且有明顯差別，但決策者對35%和45%或是65%和55%的區分能力則不佳 風險偏好則是指在不同的決策背景中，相同機率代表的風險不盡相同。在70%會損失100萬的決策與70%會獲得100萬的決策中，決策者的風險偏好會導致決策者對機率70%的感覺不相同 Allais矛盾、Ellsbergs 矛盾,Allais矛盾例一,其中方案A可直接獲得$1,000,000，方案B為樂透彩卷,機率認知的陷阱,Allais矛盾例二,第二種決策情況有C、D兩個方案，都是樂透彩卷,機率認知的陷阱,Allais 矛盾之報酬列表,經實驗發現，在第一個決策中，很高比例的人會選擇方案A；另一方面，在第二個決策中，很高比例的人會選擇方案D,機率認知的陷阱,Allais 矛盾推論,當我們說抽到12號球到100號球中這89顆球以後的任何一個，決策一的A與 B方案以及決策二的C與 D兩方案的報酬沒有差異，所以可以專注在比較不同方案在1號球到11號球間報酬的差異，其實是根據理性決策的獨立原則(independence axiom)或所謂的替代性公理(substitution axiom) Allias的實驗證明人們在面對這兩個決策時的心態並非完全遵守理性的決策原則，在第一個決策中，由於方案A完全確定，因此很高比例的人會偏好此方案；然而，在第二個決策中，C與 D兩方案都是風險下的決策，因此很高比例的人會選擇方案D，雖然方案D比C機率值低1%但報酬高五倍,機率認知的陷阱,Ellsbergs 矛盾例一,有一個袋子之中有90顆球，其中30顆是紅球其餘60顆是黃球或黑球，不知道黃球和黑球各佔的比例是多少 第一種摸彩方式有以下兩種摸彩方案可以選擇，您要選擇哪一種?,機率認知的陷阱,Ellsbergs 矛盾例二