《二重积分的概念》PPT课件.ppt

第二十一章 重积分,1 二重积分概念,(一) 教学目的：掌握二重积分的定义和性质 (二) 教学内容：二重积分的定义和性质 (1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性 (2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件,平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质,一、平面图形的面积,设有界平面图形 P,存在矩形 R 使得,用平行于坐标轴的直线,网 T 分割这个图形,记,为,记,为,显然有,记,称为 P 的内面积.,称为 P 的外面积.,定义1 若平面图形 P 的内面积等于它的外面积，则,称 P 为可求面积，并称其内、外面积的共同值为 P,的面积.,定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：,总存在直线网 T ，使得,推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它的,外面积,定理21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：,P 的边界的面积为零.,定理21.3 若曲线 K 为 a, b 上连续函数 f 的图象，,则曲线 K 的面积为零.,由参数方程,表示的平面光滑曲线，其面积一定为零.,因此，若平面有界图形 P 的边界是由参数方程,所表示的平面光滑曲线，则 P 一定可求面积.,二、二重积分的定义及其存在性,1.曲顶柱体的体积,求以曲面 z = f ( x, y ) 为顶，,D 为底的曲顶柱体的体积 V,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 ,母线平行于 z 轴的柱面,直柱体的体积,=底面积高,这里我们又面临着与,求曲边梯形面积类似,高度的不变与变的矛盾,的矛盾：,因此用与求曲边梯形面积类似的方法：,分割、,近似代替、,求和、,取极限,分割：,把 D 任意的分成 n 个可求面积的小区域,用,表示小区域的面积,以每个小区域,准线，作母线平行于 z 轴的,的边界为,柱面，把曲顶柱体分割成 n,近似代替：,个小曲顶柱体,求和：,取极限,2。二重积分的定义及可积性,是定义在可求面积的有界区域 D上的函数 ,将区域 D 任意分成 n 个小区域,以,表示小区域的面积，,一个分割 T ，称,这些小区域构成 D 的,为分割 T 的,细度，,任取一点,作和,称它为 f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和.,若极限,在D上可积，并称此极限为,存在，则称,在D上的二重积分，记为,当,时，二重积分,在几何上表示以,为曲顶，D 为底的,曲顶柱体的体积.,当,时，二重积分,值等于积分区域,D 的面积.,引例中曲顶柱体体积:,由二重积分的定义知道，若,在 D 上可积，,则对任何分割，极限,都存在且相等. 因此为方便计算，常选一些特殊的分,割，如选用平行于坐标轴的直线网来分割 D , 那么每,一小区域,一般是小矩形，其面积,此时通常把,记为,也常记作,因此面积元素,在有界可求面积区域 D 上可积的必要条件,是它在 D 上有界.,设,在 D 上有界， T 为 D 的一个分割，它把,D 分成 n 个可求面积的小区域,令,和式,分别称为,关于分割 T 的上和与下和.,可积条件,定理 21.4,在 D 上可积的充要条件是：,定理 21.5,在 D 上可积的充要条件是：,存在 D 的某个分割，使得,定理 21.6,有界闭区域 D 上的连续函数必可积.,定理 21.7 设,是定义在有界闭区域 D 上的,有界函数. 若,的不连续点都落在有限条光滑,曲线上，则,在 D 上可积.,( k 为常数),三、二重积分的性质,特别, 由于,则,4. 若在D上,6. 设,这里 SD 是积分区域 D 的面积.,则有,5. 所以,7. (二重积分的中值定理) 若,在闭区域,则至少存在一点,使,D 上连续,这里 SD 是积分区域 D 的面积.,例. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x