《导数的应用2》PPT课件.pptVIP

要点梳理 1.函数的单调性 在（a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f(x)0f(x)为 ； f(x)0f(x)为 .,3.2 导数的应用,增函数,减函数,基础知识 自主学习,2.函数的极值 （1）判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ， 那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 解方程 .,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,极大值点,极小值点,3.函数的最值 （1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在（a,b)内的 ； 将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),f(a),4.生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是:,基础自测 1.函数y=x3-3x的单调递减区间是 （ ） A.（-，0） B.（0，+） C.（-1，1） D.（-，-1），（1，+） 解析 y=3x2-3,由3x2-30,得-1x1.,C,2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是 （ ） A.3,+) B.-3，+) C.(-3,+) D.(-,-3) 解析 f(x)=x3+ax-2在（1，+）上是增函数， f(x)=3x2+a0在（1，+）上恒成立. 即a-3x2在（1，+）上恒成立. 又在（1，+）上-3x2-3,a-3.,B,3.函数y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值，最小 值分别是 （ ） A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 解析 y=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而 f（0）=5，f（2）= -15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.,A,4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f(x)在（a，b）内的图像如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 f(x)0时,f(x)单调递增，f(x)0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即f(x)0f(x)=0f(x) 0.由图像可知只有1个极小值点.,A,5.（2009辽宁）若函数f(x)= 在x=1处取极值， 则a= . 解析 因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f(x)=0的根，将x=1代入得a=3.,3,题型一 函数的单调性与导数 【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 求f(x)f(x)0或f(x)0恒成立a的范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）由已知f(x)=3x2-a. f（x）在（-，+）上是增函数， f（x）=3x2-a0在（-，+）上恒成立. 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只要a0. 又a=0时，f(x)=3x20， f（x）=x3-1在R上是增函数，a0. （2）由f(x)=3x2-a0在（-1，1）上恒成立. a3x2在x（-1，1）上恒成立. 又-1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1)在x(-1,1)上， f(x) 0, 即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.,探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，,因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,知能迁移1 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范 围； （3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解 f(x)=ex-a. (1)若a0，f(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a 0,ex-a0,exa,xln a. f(x)的单调递增区间为(ln a,+).,（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒 成立. ex-a0，即aex在R上恒成立. a（ex）min，又ex0，a0. （3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立. aex在（-，0上恒成立. ex在（-，0上为增函数. x=0时，ex最大为1.a1. 同理可知ex-a0在0，+）上恒成立. aex在0，+）上恒成立. a1，a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f(0)=0,即e0-a=0,a=1.,题型二 函数的极值与导数 【例2】设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. （1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程组求解. （2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定 义判断.,思维启迪,解 （1）f(x)= +2bx+1,函数定义域为（0，+），列表,x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点. 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值 的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利 用这一关系（f (x)=0）建立字母系数的方程，通过 解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.,探究提高,知能迁移2 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值. （1）讨论f(1）和f(-1)是函数f(x)的极大值还是 极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程. 解 （1）f(x)=3ax2+2bx-3,依题意， 3a+2b-3=0 3a-2b-3=0,f(1)=f(-1)=0,即,解得a=1,b=0. f（x）=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1,x=1. 若x(-,-1)(1,+)，则f(x)0, 故f(x)在（-,-1)上是增函数， f(x)在（1,+)上是增函数. 若x(-1,1)，则f(x)0, 故f(x)在（-1，1）上是减函数. 所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.,（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0= -3x0. 因f(x0)=3( -1),故切线的方程为 y-y0=3( -1)(x-x0), 注意到点A（0，16）在切线上， 有16-(x -3x0)=3(x -1)(0-x0), 化简得x =-8,解得x0=-2. 所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0.,题型三 函数的最值与导数 【例3】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数f(x); (2)若f(-1)=0，求函数f(x)在-2，2上的最大值、最小值. 先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值. 解 （1）f(x)=x3-ax2-4x+4a, 得f(x)=3x2-2ax-4.,思维启迪,（2）因为f(-1)=0,所以a= , 有f(x)=x3- x2-4x+2,所以f(x)=3x2-x-4. 又f(x)=0,所以x= 或x=-1. 又f = ,f(-1)= , f(-2)=0,f(2)=0, 所以f(x)在-2，2上的最大值、最小值分别为 、 .,探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在a，b内所有使f（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.,知能迁移3 已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f(-1)=0，求函数y=f(x)在 ，1上的最大值和最小值. 解 f(x)=3x2+2ax+1,又f(-1)=0， 3-2a+1=0，即a=2. f（x）=3x2+4x+1=3（x+ ）(x+1). 由f(x)0，得x-1或x- ； 由f(x)0，得-1x- .,因此函数f(x)的单调递增区间为 ，-1， ，1， 单调递减区间为-1， . f（x）在x=-1取得极大值为f(-1)=2; f(x)在x= 取得极小值为f = 又f = f(1）=6，且 f(x)在 ,1上的最大值为f(1)=6, 最小值为f = .,题型四 生活中的优化问题 【例4】(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.,关键抽象出具体函数关系式，运用导数解决. 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函 数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.2分 (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.4分 3a5,86+ a . 在x=6+ a两侧L的值由正变负. 所以当86+ a9即3a 时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 7分,思维启迪,解题示范,当96+ a 即 a5时， Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)12-(6+ a)2 =4(3- a)3. 10分 9(6-a), 3a , 4(3- a)3, a5. 11分 答 若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一 年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）； 若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公 司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3- a)3(万元). 12分,所以Q(a)=,探究提高 （1）解决优化问题的基本思路是：,（2）求函数最值时，不仅可用导数，也可以选择更 为适当的方法求解.,方法与技巧 1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值（范围）时，隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.,一、选择题 1.函数y=x3-2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的 取值范围是 （ ） A.（0，3） B.（0， ） C.（0，+） D.（-，3） 解析 令y=3x2-2a=0,得x= (a0，否则函数y为单调增函数).若函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则 1,0a .,B,定时检测,2.已知f(x)=2x3-6x2+m (m为常数)在-2，2上有最大值3，那么此函数在-2，2上的最小值是 （ ） A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 解析 f(x)=6x2-12x=6x(x-2), f(x)在(-2,0)上为增函数,在（0，2）上为减函数, 当x=0时，f(x)=m最大.m=3, 从而f(-2)=-37,f(2)=-5.最小值为-37.,A,A,4.（2008湖北）若f(x)= x2+bln(x+2)在(-1,+) 上是减函数,则b的取值范围是 （ ） A.-1,+) B.(-1,+) C.（-,-1 D.(-,-1) 解析 由题意知f(x)=-x+ 0,x(-1,+), 即f(x)= 0, 即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0. 1+b0,b-1.,C,5.若函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(-,1) C.(0,+) D.（0, ） 解析 f(x)=3x2-6b, 由题意,函数f(x)图像如右. f(0)0, f(1)0, -6b0, 3-6b0,D,即,得0b .,6.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则（ ） A.a=-11,b=4 B.a=-4,b=11 C.a=11,b=-4 D.a=4,b=-11 解析 由f(x)=x3+ax2+bx+a2, 得f(x)=3x2+2ax+b, f(1)=0, 2a+b+3=0, f(1)=10, a2+a+b+1=10. a=4, a=-3, b=-11, b=3.,D,根据已知条件,即,或,解得,(经检验应舍去),二、填空题 7.（2009江苏）函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减 区间为 . 解析 f(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 令f(x)0得-1x11, 函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为 （-1，11）.,(-1,11),8.已知函数f(x)=-x3+ax在区间（-1，1）上是增函数， 则实数a的取值范围是 . 解析 由题意应有f(x)=-3x2+a 0,在区间（-1， 1）上恒成立，则a3x2,x(-1,1)恒成立，故 a3.,a3,9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小 值，则a的取值范围是 . 解析 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1, f(x)=3x2+6ax+3(a+2). 令3x2+6ax+3(a+2)=0，即x2+2ax+a+2=0. 函数f(x)有极大值和极小值， 方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根. 即=4a2-4a-80,a2或a-1.,a2或a-1,三、解答题,11.已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a), （1）若f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点 （1，f(1)处的切线方程； （2）求f(x)在区间0，2上的最大值. 解 （1）f(x)=3x2-2ax, 因为f(1)=3-2a=3,所以a=0. 又当a=0时,f(1)=1,f(1)=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 3x-y-2=0.,(2)令f(x)=0,解得x1=0,x2= ,