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七下 数学各章节知识点总结第一章 整式的运算单项式多项式 一、整式： 1、单项式和多项式统称为整式。整式 （1）单项式有三种：单独的字母；单独的数字；数字与字母的乘积。 单项式的系数是指单项式中的数字因数，比如的系数是 ， 单独的一个非零数的次数是0，比如-2，等。 单项式的次数是所有字母的指数和，如次数是8。 注意：单项式中可以有分母，但分母中不能含字母； 单项式的系数包括前面的符号； 单项式的次数只与所含字母的指数有关。(2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：在多项式中，每个单项式的项叫做多项式的项， 其中，不含有字母的项叫做常数项。 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 一个多项通常叫做“几次几项”，比如是三次三项式。 多项式的特殊形式，比如等。 用多项式表示多位数：两位数 10ab，三位数 100a10bc。 2、 整式的加减： 整式的加减就是求几个整式的和或差的运算。 整式的加减法的一般步骤：整式加减法的实质就是去括号后合并同类项。 （1）如果有括号，应先去括号； （2）如果有同类项，再合并同类项。 对于化简求值的题目，应该先化简，再代入求值。 3、同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 (m、n都是正整数），推广应用（m、n、p是正整数）注意:当两个幂的底数互为相反数时，可以转化为同底数的幂，适当变换符号。 4、 幂的乘方与积的乘方： （1） 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即 (m、n都是正整数） 逆用 ，推广应用=（2） 积的乘方：，(n是正整数) 例题：若,求的值。5、同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 即(a不为0，m,n都为正整数，且mn)。 逆用 。 注意：（1）零指数幂：任何非零数的零次幂都等于1，即； （2）负整数指数幂：任何非零数的-p（p是正整数）次幂都等于这个数倒数的p次幂，即，p是正整数)。 有时也可写成的形式。 6、 整式的乘法： （1）单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式乘以单项式的结果还是一个单项式。 （2）单项式乘以多项式：只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加，即m(a+b)=ma+mb。单项式乘以多项式的理论依据是分配律。单项式乘以多项式的结果是一个多项式，其项数与多项式中的项数相同。 （3）多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 7、平方差公式： ，即两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。可以逆用：。 8、完全平方公式，即两个数的和（或差）的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍，叫做完全平方公式。还可以逆用： 拓展应用： ， ，9、 整式的除法： （1）单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。从运算的法则来看，单项式除法的实质是有理数的除法与同底数幂的除法。 （2）多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的实质是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的运算。10、 多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式一般按下面两步进行：（1）用多项式的每一项除以单项式;（2）把每一项除得的商相加。（3）对于混合运算的题目，解题时要先确定运算顺序，然后根据公式和法则依次进行计算，不能急躁。 第二章 平行线与相交线 本章知识结构： 1、互余与互补：（1）如果两个角的和是直角，那么就称这两个角互余角；（2）如果两个角的和是平角，那么就称这两个角互补角；（3）余角、补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。注意：互余与互补都是反映两个角的数量关系，而不是位置关系。（4）邻补角是指这样的两个角：和是平角；在位置上，有一条公共边，而另外的两条边互为反向延长线。 2、对顶角：既要求位置关系，又要求数量关系。（1）在两条直线相交所成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角。（2）如果两个角有公共顶点，并且它们的边互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。（3）对顶角的性质：对顶角相等；是由两条直线相交所成的对角。 3、同位角、内错角、同旁内角：（1）这三种角都是两条直线被第三条直线所截形成的角，因此识别这三种角的关键是认清第三条直线。（2）同位角：两个角都在被截两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。（3）内错角：两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 (4)同旁内角：两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。4、两直线平行的判定方法：除了定义之外 （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。（4）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。（简称为：平行于同一直线的两直线平行）（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。（简称为：垂直于同一直线的两直线平行）5、两直线平行的性质： （1）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等。 简称:两直线平行，同位角相等。 （2）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。 简称:两直线平行，内错角相等。（3）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角相等。 简称:两直线平行，同旁内角相等。注意：如果两条直线不平行，那么就不会有同位角、内错角、同旁内角相等。 6、用尺规作线段和角：（1）在几何中，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 用直尺画直线，不能使用刻度；用圆规作园（或作弧），或者截取一定长度的线段。（2）尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。（3）吃规作图： 已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件。 求作：根据题目写出要求的图形及此图形应满足的条件。 作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程，当不要求写作法时，要保留作图痕迹。 第三章 生活中的数据一、认识百万分之一这样小的数：1、百万分之一即，这样小的数可以用单位来估计，常用的单位有：微米、纳米，1微米=米=米，1纳米=米=米。 2、说明：（1）百万分之一米又称为微米，即1微米=米。 （2）10亿分之一米又称为纳米，即1纳米=米。（3）1微米=纳米。 （4）1米=10分米=100厘米=1000毫米=微米=纳米。 面积单位：1= 1= 质量单位：1吨=千克=克。二、科学计数法： 1、一个绝对值小于1的数，用科学计数法可以表示为的形式，其中a、n的要求是 （1）1a10，即原数的小数点移到第一个不是零的数位的后面，就能得到a； （2）n为负整数，其绝对值是小数点移动的位数。 2、一个绝对值较大的数，用科学计数法表示为的形式，其中1a10,n为正整数。三、精确数与近似数： 1、精确数是指与实际完全符合的数。 由此可以判断一个数是精确数还是近似数，关键看它与实际是否完全相符。 （1）一般情况，测量的数量都是近似数； （2）不要认为整数就是精确数，而分数和小数就是近似数。 2、近似数的精确度：近似数的精确度是指接近准确数的程度，一个近似数，四舍五入到了哪一位，就称这个近似数精确到了哪一位。用四舍五入法取近似数时，要精确到哪一位，就对这一位的下一位进行四舍五入，至于后面的数字不用考虑。 注意：（1）“保留两位小数”、“精确到小数点后第二位”、“精确到百分位”与“精确到0.01”都是相同的意思。 （2）按照精确度而确定的近似数的末位数如果是0，不能省略。 （3)精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。 即带有文字单位（比如万、千等）的近似数要还原，看最后一个有效数字在哪一位上； 如果是科学计数法表示的近似数，也要还原成一般的数。 例如：40.3精确到 位，有 个有效数字，分别是 3.20万精确到 位，有 个有效数字，分别是 精确到 位，有 个有效数字，分别是 四、有效数字： 有效数字的定义：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都是这个数的有效数字。确定近似数中的有效数字有三种情况：（2）（3）对于用科学计数法表示的近似数，由（1a10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字，而与无关。 五、统计图和统计表：用于表示数据的方式 1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分占总体的百分比。4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。5、制作象形统计图的要求： 要使每个象形图能代表每一个数据，写明标题，注明图形所代表的数目和单位 第四章 概率 本章知识结构: 概率 一、事件发生的可能性大小: 1、事件分为必然事件、不可能事件和不确定事件。 2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。 3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次完全不会发生，即发生的可能性为0。 4、不确定事件：事先无法确定会不会发生的事件。也就是说该事件可能发生，也可能不会发生，即发生的可能性在0和1之间。越接近于1，发生的可能性越大。二、等可能性是指几种事件发生的可能性相等： 1、等可能事件：在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，并且每一种结果都是等可能的，求这种类型事件的概率叫做等可能事件的概率型。比如摸球、掷硬币、掷骰子等。 2、概率是用来反映事件发生的可能性大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，比如 在等可能事件中，事件A发生的概率是 （1）必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1； （2）不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0； （3）不确定事件发生的概率在01之间，记作0P（不确定事件）1。 3、概率的计算： （1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式直接计算出事件A的概率。 （2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”来分析。4、区域事件发生的概率：（1）在区域事件中，某个事件发生（用A表示）的概率等于这一事件发生的可能结果所组成的图形的面积（用表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用表示），所以该事件的概率可以表示为全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。（2）求区域事件的概率： （1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系； （2）然后计算出各部分的面积； （3）最后代入公式求出概率。 3、 游戏公平： 游戏是否公平是根据各方获胜的可能性是否相同，或者说各方获胜的概率是否相同，如果相同，那么游戏公平，否则游戏不公平。 第五章 三角形本章知识结构： 本章知识要点：一、认识三角形：1、三角形的有关概念：（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连接所形成的图形叫做三角形。（2）三角形的基本要素：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所夹的角叫做三角形的内角。（3）三角形用符号表示，顶点A、B、C的三角形记作ABC，“ABC”读作“三角形ABC”。用数学语言表述为：如图，三角形有三个顶点A、B、C；有三条边AB、BC、AC；有三个内角A、B、C。2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。三角形任意两边之和大于第三边的理论依据是：两点之间，线段最短，而三角形任意两边之差小于第三边可由三角形任意两边之和大于第三边得出。注意：（1）三角形三边关系可以运用于判断三条线段能否构成三角形。（2）已知三角形两边长，求第三边长的取值范围。3、三角形三个内角之间的关系：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。（n边形的内角和等于（n-2）180度）（2）三角形内角和的运用：已知两个内角求第三个内角；已知三个内角的比例关系，求各个内角的度数；求三角形中各角之间的关系。4、三角形三个外角之间的关系：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。5、三角形的分类：（1）按照三角形内角的大小把三角形分成三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（2）按照三角形三边的长度把三角形分成两类：等腰三角形（包括等边三角形）、不等边三角形。6、直角三角形的表示方法和性质：（1）通常用“RtABC”表示“直角三角形”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。（2）性质：直角三角形的两个锐角互余。7、三角形的三条重要线段：（1）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部，即内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，交点在三角形内部。这个交点叫做重心。（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点，即垂心。其中，锐角三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点是直角的顶点，钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部。三角形的角平分线、中线和高，既非直线，也非射线，它们都是线段。注意：等底等高的问题。8、做证明题的方法：就是逆向思维，从要证明的结论出发，挖掘已知条件怎么用，才能推到出结论。 二、图形的全等：1、全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形。所谓重合，是指形状相同、大小相等。2、全等图形的性质：全等图形的形状相同，大小相等。显然，全等图形的周长、面积也一定相等。注意：形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积大小相等的两个图形也不一定是全等图形。三、全等三角形：1、全等三角形的概念和表示方法：（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。（2）表示方法：用符号“”表示两个三角形全等，符号“”读作“全等于”。注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。比如ABC和全等表示为ABC。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。注意：（1）利用这个性质可以证明有些边或者角相等。（2）由全等的定义还可以得出全等三角形的周长相等、面积相等。3、判定两个三角形全等：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或者“SSS”。 （2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或者“ASA”。（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或者“SAS”。（4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或者“AAS”。（5）判定两个直角三角形全等：除了运用判定一般三角形全等的4种方法之外，还可以用“HL”来判定，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”， 即“HL”。4、判定三角形全等条件的总体比较： 5、三角形的稳定性：由三条边对应相等的两个三角形全等可知，只要三条边的长确定了，这个三角形的大小和形状就确定了，这就是三角形的稳定性。在实际生活中，无论什么构件，只要做成三角形形状，放在任何地方都不变形。 四、求作三角形：（1）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形;（2）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形;（3）已知三角形的三条边，求作三角形。五、利用三角形全等测距离：这种方法的基本思想是从实际问题中建立全等三角形模型，然后利用全等三角形的对应边相等，解决不能直接去测量的两点之间的距离问题。常用的构造三角形的方法：依据SAS、ASA、AAS等来构造。其基本步骤：（1）画图，构造全等三角形;（2）说明三角形全等得到对应边相等;（3）得出结论。 六、其他相关三角形的命题：1、三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。2、锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60X90 ，最大锐角不小于60度。3、任意一个三角形两角平分线的夹角=90第三角的一半。4、钝角三角形有两条高在外部。5、全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。6、面积相等的两个三角形不一定是全等图形。7、三个角对应相等的两个三角形不一定全等。8、两个等边三角形不一定全等。9、一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。10、有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 第六章 变量之间的关系一、变量：1、变量：在不同事物的变化过程中，有些量的值是按照某种规律在变化的，有些量的值是始终不变的。在一个变量过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值保持不变的量为常量。2、自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，其中y随着x的变化而变化，我们就说x是自变量，y是因变量。自变量因变量联系1、两者都是某一过程中的变量；2、两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化。区别先发生变化或自主发生变化的量后发生变化或随自变量变化而变化的量二、表示两个变量之间的关系：1、用列表。列表格，一般是第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化的规律，还可以利用变化趋势对结果做出预测。 2、用关系式。用来表示两个变量之间的关系的数学等式叫做关系式。（1）关系式的特征：一般来说，左边是因变量，右边是关于自变量的代数式，自变量可以在允许的范围内任意取值。（2）关系式的作用：一是根据关系式可以求值，二是可以反应出两个变量之间的关系是怎样的，是怎样的变化规律。（3）能确定变量之间的关系式：相关公式 路程=速度时间 长方形周长=2（长宽）梯形面积=（上底下底）高2 本息和=本金利率本金时间总价=单价总量 平均速度=总路程总时间若等腰三角形顶角是y，底角是x，则y与x的关系式为y=180-2x. 3、用图象。用图象来表示两个变量之间关系的方法叫做图象法，在用图象表示两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。理解图象上点的含义：一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量，二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置。比如“速度与时间”图象和“路程与时间”图象。另外，要注意区分，横轴或纵轴表示的变量是指的什么。从横轴和纵轴的实际意义，理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点。 4、 比较三种表示方法的优缺点：列表格能直接得到某些具体的对应值，但是不能反映变量的整体变化情况。用关系式能够简洁明了表示变量之间的关系，方便于计算，但是需要计算才能得到结果。用图象能够直观地表示出变量之间的变化关系，但是容易误读图象中反应出来的信息。 5、用语言表述变量之间的变化关系： 对事物变化趋势的表述一般有两种（1）因变量y随着自变量x的逐渐增加（大）而增加（大）；（2）因变量y随着自变量x的逐渐增加（大）而减小（小）；注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.比如，在什么范围内，因变量y随着自变量x的逐渐增加（大）而逐渐增加（大）等等. 6、 估计（或者估算） 对事物的估计（即估测、估算）有三种： 1、利用事物的变化趋势进行估计： 比如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况