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第2章 抽样分布 Sampling Distributions,1 样本的联合概率密度函数,则总体的密度函数为,X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布,称为样本数据矩阵。,为样本联合密度函数。,2 样本分布,一、维希特（Wishart）,1、定义随机矩阵的分布,矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量,定义 维希特（Wishart）分布的统计量,设 个随机向量,独立同分布于 ，则随机矩阵,服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。,特别当 是 阶对称阵，则 的分布为的下三角部分组成的长向量,在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元 正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当 于一元统计中的 分布。,定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度为 特别，当 和 时， 服从 分布。,维希特（ Wishart）分布的密度函数,二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：,（1）若A1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。,（2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。,三、 抽样分布,定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有,则有,证明：,当 ， 时，由卡方分布的定义可知,可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。,服从自由度为 的卡方分布。,定理2 设 独立同正态分布，则统计量,证：,由于样本均值,相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。,在一元正态的情形下，我们有样本的统计量 当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差 来代替总体的方差，则 那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。,定义：,称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。,定理：,当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布，记为 。,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,（1）Wilks分布,定义：设 和 ，且 相互独立， 和 ， ，则称 服从Wilks分布，记 。 可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。,四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量,在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。,2、统计量和分布
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