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第七讲 积分变换与微分方程,积分变换,拉普拉斯变换 拉普拉斯变换函数,函数f(t): 拉普拉斯变换为： 拉普拉斯逆变换为：,例1 给出t3sint的拉普拉斯变换 Mathematica命令为： In1:=LaplaceTransformt3Sint,t,s Out1= 上式的逆变换是： In2:=InverseLaplaceTransform%,s,t Out2= t3sint,拉普拉斯变换的基本特性是可以将微分和积分运算转 化为基本的代数运算。 比如： In3:=LaplaceTransform ,t,s Out3=,傅立叶变换 傅立叶变换函数,在Mathematica中，函数f(t)的傅立叶变换在默认情况下定义为 函数F(w)的逆变换为,例2 给出cos(x2)的傅立叶变换 Mathematica命令为： In4:=FourierTransformCost2,t,w Out4= 上式的傅立叶逆变换为： In5:=InverseFourierTransform%,w,t Out5= Cost2,为了避免复杂的指数运算, 傅立叶变换中引进了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用Sinwt和Coswt代替傅立叶变换定义中的函数Exp(iwt), 而且用积分区间(0,)代替(- ,)。 例3 给出t2exp(-t)的傅立叶正弦和余弦变换 Mathematica命令为： In6:=FourierSinTransformt2Exp-t,t,w, FourierCosTransformt2Exp-t,t,w Out6=,在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。,例如 默认情况下的傅立叶变换为 In4:=FourierTransformt2 Exp-t2,t,s Out4= 以下是纯数学的傅立叶变换 In5:=FourierTransformt2 Exp-t2,t,s, FourierParameters-1,1 Out5=,微分方程,常微分方程的求解 常微分方程的解析解 常用格式： DSolveeqn,yx,x 求微分方程的解y(x) DSolveeqn,y,x 求微分方程的解y DSolveeqn1,eqn2,y1,y2,x 求微分方程组的解,求方程y-y=x的通解 Mathematica命令为 In6:=DSolveyx-yx=x,yx,x Out6=yx-x2/2 x3/6+exC1+C2+xC3 求方程组x-y=0， y+x=0的通解 Mathematica命令为 In7:=DSolvext-yt=0, yt+xt =0, xt,yt,t Out7=xt C1Cost+C2Sint, yt C2Cost-C1Sint,已知y+y-2y=0, (1) 求方程的通解 (2)求方程满足初始条件y(0)=4, y(0)=1的特解 Mathematica命令为 In8:=DSolveyx+yx-2yx=0,yx,x Out8=yxe-2 x C1+ex C2 In9:=DSolveyx+yx-2yx=0,y0=4, y0=1,yx,x Out9=yx e-2 x (1+3e3x),求方程x2y-2xy+2y=3x满足条件y1=m, y1=n的特解 Mathematica命令为 In10:=DSolvex2*yx-2x*yx+2yx=3x, y1=m, y1=n, yx, x Out10=yx-3 x+2 m x-n x+3 x2-m x2+n x2-3 x Logx,求方程x2y+xy+(x2-n2)y=0的通解 Mathematica命令为 In11:=DSolvex2*yx+x*yx+ (x2+n2)yx=0,yx,x Out11=yx BesselJI n,x C1+BesselYI n,x C2,常微分方程的数值解 常用格式： NDSolveeqn,yx0=y0,yx,x,x0,x1 求微分方程eqn在满足初始条件y(x0)=y0的并在xx0,x1的数值解 NDSolveeqn1,eqn2, y1x0=y10 , y1x, y2x,x,x0,x1 求微分方程组在满足初始条件的并在xx0,x1的数值解,NDSolve以InterpolatingFunction 目标生成函数yi的解，InterpolatingFunction目标提供在独立变量x的xmin到xmax范围内求解的近似值。NDSolve用迭代法求解，它以某一个x值开始，尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。 为使迭代开始，NDSolve指定yi 及其导数为初始条件。初始条件给定某定点x处的yi x及尽可能的导数yi x，一般情况下，初始条件可在任意x处，NDSolve将以此为起点自动覆盖xmin到xmax的全区域。,对初始条件y(0)=0和y(1)=0分别求出x从0到1的范围内y(x)=y(x)的解。 初始条件y(0)=1 In1:=NDSolveyx=yx,y0=0,y,x,0,1 Out1=yInterpolatingFunction0.,1., 利用图形观察 In2:= s=NDSolveyx=yx,y0=1,y,x,0,1 Out2=y InterpolatingFunction0.,1., In3:= PlotEvaluateyx/.s,x,0,1 Out3=,或 PlotEvaluateyx/.NDSolveyx=yx, y0=1,y,x,0,1,x,0,1 初始条件y(1)=1 In4:=NDSolveyx=yx,y1=1,y,x,0,1 Out4=yInterpolatingFunction0.,1., 利用图形观察 In5:= PlotEvaluateyx/.NDSolveyx=yx, y1=1,y,x,0,1,x,0,1 Out5=,求方程y +y+x3y=0在区间0,8上满足条件y(0)=0, y(0)=1的特解 Mathematica命令为： In10:=s1=NDSolveyx+yx+x3*yx=0,y0=0,y0=1,y,x,0,8; PlotEvaluateyx/.s1,x,0,8 Out10=,求方程y +y=y1/2在区间0,10上满足条件y(0)=0, y(0)=0.5, y(0)=1的特解 Mathematica命令为： In11:=s2=NDSolveyx+yx=Sqrtyx,y0=0,y0=0.5, y0=1,y,x,0,10; PlotEvaluateyx/.s2,x,0,10 Out11=,求方程x(t) =y(t),y(t)=-0.01y(t)-sin(x)在区间t0,100上满足条件x(0)=0, y(0)=2.1的特解 Mathematica命令为： In12:=s3=NDSolvext=yt,yt=-0.01yt-Sinxt,x0=0, y0=2.1,x,y,t,0,100; ParametricPlotEvaluatext,yt/.s3,t,0,100 Out12=,求方程x(t) =y(t),y(t)=-0. 1y(t)-sint在区间t0,100上满足条件x(0)=0, y(0)=2.1的特解 Mathematica命令为： In13:=s4=NDSolvext=yt,yt=-0.1yt-Sint,x0=0, y0=2.1,x,y,t,0,100; ParametricPlotEvaluatext,yt/.s4,t,0,100 Out13=,偏微分方程的求解 偏微分方程的解析解 常用格式： DSolve偏微分方程,未知函数u(x,y),自变量x,y 未涉及到定解条件，只能求得通解 Mathematica中偏导的定义 ux(x,y)=Dux,y,x；uy(x,y)=Dux,y,y uxx(x,y)=Dux,y,x,x；uxy(x,y)=Dux,y,x,y uyy(x,y)=Dux,y,y,y,一阶偏微分方程的通解 求yux+xuy=xy的通解 Mathematica命令为 In14:=DSolvey*Dux,y,x+x* Dux,y,y=x*y, ux,y,x,y Out14=ux,y1/2 (x2+2 C11/2 (-x2+y2) 取C1=x-y, u=1/2 (x2+2 (x-y)(1/2 (-x2+y2) Plot3Du,x,-3,3,y,-4,4,二阶偏微分方程的通解 求uxx-4uyy=9的通解 Mathematica命令为 In15:=DSolveDux,y,x,x+-4Dux,y,y,y=9, ux,y,x,y Out15=ux,y(9 x2)/2+C1-2 x+y+C22 x+y 取C1=x,C2=y, u= (9 x2)/2+x(-2 x+y)+y(2 x+y) Plot3Du,x,-3,3,y,-4,4,偏微分方程的数值解 常用格式： NDSolve偏微分方程，定解条件,u, x,x0,x1, t,t0,t1 u为待求函数， x,x0,x1指明自变量x的范围，t,t0,t1指明自变量t的范围,求弦振动方程uxx-4utt =0满足以下定解条件的特解 边界条件：u(0,t)=0, u(,t)=0 初始条件：u(x,0)=sinx, ut(x,0)=0 Mathematica命令为 In21:=NDSolveDux,t,x,x-4Dux,t,t,t=0, u0,t=0,uPi,t=0,ux,0=Sinx,Derivative0,1ux,0=0,u,x,0,Pi, t,0,60 Out21=uInterpolatingFunction0.,3.14159,0.,60.,利用上面所得数值结果，可以绘制u=ux,t的 图形如下： Plot3DEvaluateux,t/.First%,x,0,Pi,t,0,60,PlotPoints 20,求热传导方程ut=uxx满足以下定解条件的特解 边界条件：u(0,t)=0, u(2,t)=0 初始条件：u(x,0)=x(2-x) Ma