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文档简介
3.1.2 不等式的性质,世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等式的问题,本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.,1实数大小的基本性质,2做差比较法的基本步骤及要点,3. 初中学习的不等式的几个性质及同项异项不等式,同向不等式:两个不等号方向相同的不等式, 例如:ab,cd,是同向不等式.,异向不等式:两个不等号方向相反的不等式. 例如:ab,cd,是异向不等式.,复习回顾,作差变形(通分、因式分解、配方、根式有理化)定号结论。,探究:不等式的基本性质,性质1:如果ab,那么bb(对称性) 即:ab ba.,证明: ab a-b0 -(a-b)0 a-b0 ab,性质2:如果ab,且bc,那么ac(传递性) 即ab,bc ac,证明:根据两个正数之和仍为正数,得,注:不等式的传递性可以推广到n个的情形,性质3:如果ab,那么a+cb+c 即ab a+cb+c(可加性),证明:(a+c)-(b+c)=a-b0, a+cb+c.,推论1:不等式中任何一项改变符号后,可以把它从边移到另一边(移项法则) 如果a+bc,那么 ac-b 即a+bc ac-b,推论2:如果ab,且cd,那么 a+cb+d(相加法则) 即ab, cd a+cb+d,证明:ab, a+cb+c 又cd, b+cb+d. 由得a+cb+d,例1:已知ab,cb-d(相减法则),证明:ab,cb,-c-d. 根据性质3的推论2,得a+(-c)b+(-d), 即a-cb-d,性质4:如果ab,且c0,那么acbc; 如果ab,且c0,那么acbc.(可乘性), ab,c0 acbc. 证明:ac-bc= (a-b)c, ab, a-b0, 又c0,根据同号相乘得正, (a-b)c0 acbc。,推论1:如果ab0,且cd0,那么acbd。 (相乘法则),证明:由性质3得,思考感悟:,若ab0,cd,则acbd 成立吗?,证明:因为,根据性质4的推论1,得,证明:用反证法。 假定,,即,或,根据性质4的推论2和根式性质,得ab矛盾,因此,例2. 已知ab,ab0,求证:,分析:可用作差法也可用不等式的性质。 解法1: ab, b-a0 ,解法2:ab0,又ab,由不等式,的性质知,,即,思考:如果ab0呢?,探究点2 不等式的性质的应用,你还有其他证明方法吗?,证明:,还可以利用作差法.,课堂练习,练习:,不等式的基本性质总结,性质1:对称性 ab ba,性质2:传递性 ab,且bc ac,性质3:可加性 ab a+cb+c,推论1:移项法则 a+bc ac-b,推论2:相加法则 ab, cd a+cb+d,性质4:可乘性 ab,且c0 acbc ab,且c0acbc,推论1:相乘法则 ab 0,且cd0acbd,推论3:开方法则 ab0 (n N,n1),归纳小结:不等式的性质是不等式这一章内容的基础,是不等式证明和解不等式的主要依据,因此应特别重视,应熟练掌握和运用不等式的四大性质和五大推论。 不等式的证明过程是应用不等式对已知不等式
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