实变函数与泛函分析44.ppt

第四节 可测函数结构,第四章 可测函数,可测函数,简单函数是可测函数 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛）,问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？,可测集E上的连续函数定为可测函数,鲁津定理,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）,设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数,（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列,（2）任一可测函数差不多就是连续函数,鲁津定理的证明,证明：由于mE|f|=+=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时，,当xEi时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有,对f(x)在F连续的说明,若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续,故对任意xO(x, )F，有|f(x)-f(x)|=0，故f 连续,证明：任取 则存在 i0，使得xFi0，f(x)= ci0，,又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中,所以存在0, 使得,对f(x)在F连续的说明,说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取xFi足够小的邻域不含其他Fi 中的点,函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续,条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：,鲁津定理的证明,(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)，,由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。,利用(1)的结果知,鲁津定理的证明,则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭）,(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换,注：(1)鲁津定理推论,鲁津定理（限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）,（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）,若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）,则 及R上的连续函数g(x),开集的余集是闭集 闭集的余集是开集,直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并,鲁津定理推论证明的说明,鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续,例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E，,对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：,说明：若fnf于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集 （参见：实变函数，周民强，p-43）,鲁津定理的结论 m (E-F) 不能加强到m (E-F) =0 （参见：实变函数，周民强，p-116）,虽然我们有 但不存在R上的连续函数列 fn 使得fnf于E,设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对0， 存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续， 则f(x)是E上的可测函数,注：此结论即为 鲁津定理的逆定