[理学]第二章 一元函数微分学习题课.ppt

一、 导数和微分的概念及应用,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,应用 :,解:,原式=,联想到凑导数的定义式,1. 正确使用导数及微分公式和法则,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法,对数微分法,(3) 参数方程求导法,极坐标方程求导,(4) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(5) 高阶导数的求法,逐次求导归纳 ;,间接求导法;,利用莱布尼兹公式.,二、 导数和微分的求法,解:方程组两边对 t 求导,得,三、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理 .,例2 设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在0, 2上连续, 且在,0, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故,即所证不等式成立 .,本题另解,四、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,相关变化率;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,4. 补充定理 (见下页),单调增区间为 ;,例20 填空题,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,的正负作 f (x) 的示意图.,.,在区间 是上凸弧 ;,拐点为,的正负作 f (x) 的示意图.,则函数 f (x) 的图,的图形如图所示,证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .,其它不变时, 如何设辅助函数?,极大值,列表判别:,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,故所证不等式成立 .,解法1 利用中值定理求极限,解法2 利用泰勒公式,解法3 利用等价代换,解法4,clear syms x B C a=-1.5:0.001:1.5; k=(x3-x)*(x2+B*x+C); %f(x) yu1=diff(k); %f(x) f1=subs(yu1,x,1); f2=subs(yu1,x,-1); b,c=solve(2+2*B+2*C=0,2-2*B+2*C=0,B,C) fp=subs(subs(k,B,b),C,c) %f(x) f=int(fp)*6 %f(x) y1=subs(f,x,a)