[理学]第二章一元函数的导数和微分.ppt

反射光线的方向取决于入射点和该点处 的切线.,从椭圆的一个焦点 发出的光线经椭圆反射 后必经过另一个焦点.,1 导数,1. 切线问题,第二章 一元函数微分学,零. 引例,因而切线MT的斜率为,取割线MN,当xx0时,割线MN切线MT,即,其斜率为,平面曲线C在其上点M的切线的斜率:,即x = x x0 0时,2.速度问题,公路(包括高速公路)上为了保证行车安全,交通管理部门在许多路段规定行车速度.利用测控技术,交通警察实时监测各通行车辆的行车速度. 物理原理是什么?如何计算? 设质点作直线运动,其所走路程s与时间t的函数关系为s=f(t),求质点运动的速度(的大小)v=v(t).,如果质点作匀速直线运动,则问题简单 v=v(t)=s(t)/t.,对于一般的直线运动,质点在时刻t0到t0+t这段时间所走路程为 s=f(t0+t)-f(t0),于是,质点在时刻t0附近的平均速度为,由极限的思想,质点在时刻t0的(瞬时)速度为,从而质点在时刻t的(瞬时)速度为,在自然科学、工程技术和社会科学中还有很多问题，如比热、密度、增长率等问题都可归结为求函数y=f(x)在点x0形如以下形式的极限问题,这是数学抽象！即不考虑问题的实际意义，只考虑数量关系！,1、定义（1） 设y = f(x)定义在(x0-r,x0+r)内.,若极限,或,即,一. 导数的概念,存在,则称函数y = f(x)在点x0处可导, 并称此极限值为y = f(x)在点x0处的导数. 记为,（3） 利用单侧极限可以定义单侧导数,则称函数y = f(x)在点x0处不可导. 特别地,若极限值为, 则称函数y = f(x)在点x0处的导数为无穷大, 记为f(x)=.,与,易见函数y = f(x)在点x0可导,你能写出吗？！,为什么？,（4） 若函数y = f(x)在区间(a, b)内的每一点处都,可导, 则称函数y = f(x)在区间(a, b)内可导.,若函数y = f(x)在(a, b)内可导,且在x = a处右 可导,在x = b处左可导,则称函数y = f(x)在闭 区间a, b上可导. 其它区间？,（5） 若函数y = f(x)在区间I内可导, 则xI, 有,唯一确定的f(x)与之对应, 于是得到一个 定义在I上的函数, 称之为函数y = f(x)在I上 的导函数, 简称为导数. 记为,或,2. 几何意义与物理意义,（1）几何意义 若函数y = f(x)在点x0处可导, 则曲线y = f(x) 在点(x0, f(x0) 处有不垂直于x轴的切线, 且f(x0)表示该切线的斜率,于是曲线y = f(x)在该点处的切线方程为,y f(x0) = f(x0) (x x0),若f(x0)0, 则进一步可得法线方程为,若f (x0)=0, 则切线方程为y = f(x0), 法线方程为 x = x0. 如y = (x2)2+1在x = 2处.,若f (x0)=, 则曲线y = f(x)在点x0处有垂直于x 轴的切线, 此时切线方程为x = x0, 法线方程为 y = f(x0). 如,在x = 1处.,（2）物理意义,设质点经过时间t的运动路程为s=f(t). 函数s=f(t)在点t0的导数f(t0), 表示质点在时刻t0的(瞬时)速度。,而函数s=f(t)在点t的导数f(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时)速度v(t)。,对于速度函数v=v(t)在点t的导数v(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时) 加速度a(t)。,例题,(1) 基本初等函数的导数,(C) = 0, (x) = x 1 (R), (sinx) = cosx, (cosx) = sinx, (ax) = axlna (a0, a 1), (ex) = ex.,解: x(0, +), 有,(2) 求f(x)=log a x的导数.,特别地,(3) 求分段函数,的导数.,解:,令f(x)=x+2, g(x)=x2, h(x)=x3, (x)=3x1. 则 f (x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2, (x)=3 (xR)., 当x(, 1)时, y = f(x), 故y= f (x)=1;,y(1)= f(1) =1;, 当x(1, 0)时, y = g(x), 故y= g(x)= 2x;, 当x(0, 1)时, y = h(x), 故y= h(x)= 3x2;, 当x(1, +)时, y = (x), 故y= (x)=3.,y+(1)= g+(1) = 2;,y(0)= g(0)=0;,y+(0)= h+(0)= 0;,y(1)= +, 故y在x =1处不可导.,综上所述,注: 可见, 分段函数在 分段点处的分析性质须 慎重对待. 几种情况都可能出现. (i) 不连续; (ii) 连续但不可导; (iii) 可导.,若y = f(x)在点x0处可导, 则有,由极限的运算法则得,因此, 若y = f(x)在点x0处可导, 则y = f(x)在点 x0处连续. 反之未必.,3. 可导与连续的关系,例如: 函数,在点x = 0处连续但不可导.,事实上,但,不存在.,注: 存在仅在一点处可导的函数. 例如,而在x = 0处, 0 h(Dx) -h(0) (Dx)2, 从而,由夹逼原理可得,注: 存在处处连续, 但处处不可导的函数.,事实上h(x)在其它点处不连续, 当然不可导,仅在x = 0处可导.,1. 函数四则运算的求导法则,(3),特别地, cu(x)= cu(x), (其中cR为常数),二.函数的求导法则,(2) u(x)v(x)= u(x)v(x) + u(x)v(x).,(1) u(x)v(x)= u(x)v(x).,例如: 一些基本初等函数的导数公式,(tanx) = sec2x, (cotx) = csc2x, (secx) = secxtanx, (cscx) = cscxcotx.,2. 反函数的求导法则,定理 设定义在区间I上的严格单调连续函数,则其反函数y = f -1(x)在对应的点x处,即,x = f( y)在点y处可导, 且f ( y) 0,可导, 且,例如:,设u =(x)在点x处可导, y = f(u)在对应的点 u=(x)处可导. 设自变量x 的增量为x时, u的增量为u, y 对应的增量为y.,其中,从而,于是,3. 复合函数y = f(x)的求导法则,定理 设函数u =(x)在点x处可导, 函数y = f(u),且,即,在对应的点u =(x)处可导, 则复合函数 y = f(x)在点x处可导,例如: (1),(a0, a 1),（2）y=sinlnx,求y.,（3）y=arctanex,求y.,（5）y=ax,求y.,（6）y=x,求y.,4. 基本初等函数的求导公式,三. 高阶导数 1、导数的物理意义复习与问题的提出,设质点经过时间t的运动路程为s=f(t). 函数s=f(t)在点t0的导数f(t0), 表示质点在时刻t0的(瞬时)速度。,而函数s=f(t)在点t的导数f(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时)速度v(t)。,对于速度函数v=v(t)在点t的导数v(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时) 加速度a(t)。,不难看出,或,这种导数是什么?这是下面要学的二阶导数.,2. 定义,(1) 设函数f(x)在区间I上可导,若导函数f (x)在点xI处可导,则称f(x)在x处二阶可导,记为f (x),或,即,并称f (x)为f(x)在x处的二阶导数,(2) 如果f (x)在区间I上处处可导, 则称f(x)在I上,二阶可导, 称f (x) (xI )为f(x)在区间I上的,二阶导函数. 简称为f(x)的二阶导数.,(3) 一般地, 若f(x)的n1阶导函数f (n1)(x)在点,xI处可导, 则称f(x)在点xI处n阶可导.,f(x)的n阶导数.,记为,或,f (n1)(x)在点xI处的导数f (n1)(x)称为,(4) 若f(x)在区间I上处处n阶可导,则称f(x)在I上n阶可导,称f (n)(x) (xI)为f(x) 在I上的n阶导函数.,则称f(x)在I上无穷阶可导,若nN+,简称为f(x)的n阶导数.,(5) 若f (n)(x)在I上连续, 则称f(x)在I上n阶连续,可导, 记为,记为,3. 例子,例1 求下列初等函数的n阶导数:,(1),一般地,.,(2),;,.,(3),特别,.,(4),.,例2 求下列初等函数的高阶导数:,(1),求,;,(2),求,.,四 隐函数的导数, 参数方程确定的函数的导数 1、隐函数的导数,（1）定义 若存在一个定义在某个区间上的函数,y = f(x), 使得F(x, f(x)0,则称y = f(x),为由方程F(x, y)=0所确定的隐函数.,（2）问题,由方程F(x, y)=0常常难以得到隐函数y = f(x). 对函数y = f(x), 人们感兴趣的是导数f(x), 而不是函数y = f(x)的表达式。 因此，通过F(x, y)=0来求得f(x)成为必然的选 择。,（3） 隐函数的求导法则,例1 exy+y2=cosx, 求y.,解: 等式两边对x求导得: exy(xy),即 exy(y+xy)+2yy = sinx,整理得 (xexy+2y)y = (yexy+sinx).,于是,+2yy,= sinx,隐函数的求导法则：在方程F(x, y)=0两边关于x 求导，使用四则求导法则与复合求导法则，遇到y时先 对y求导并乘以y。,例2 y = 1+xey, 求,解: 等式两边对x求导得,整理得,再在y = ey+xey y两边对x求导得,解出y 得,将()代入上式并利用xey = y1化简得,y = ey y + ey y + xey y y+ xey y ,(),y = ey+xey y,2、对数求导法 例3 求,的导数.,解:,3. 由参数方程确定的函数的求导法则,设函数y = f(x)由参数方程,确定.,x =(t)有连续的严格单调的反函数t =1(x),且 (t)0, 则y= (t)= (1(x).,故,因此y = f(x)的导函数由参数方程,确定.,x =(t), y = (t) 在区间, 上可导,例4,设函数y = f(x)由,确定,解:,由隐函数求导法则得,即,求,因而,例5 求由,确定的函数的二阶导数,其中f (t)存在, 而且f (t)0.,解:,即y(x)由参数方程,确定.,于是,2 微分,一. 微分的概念,(3) 用计算器算得的近似值为: 10.004998750624609648232582877001,2. 引例的两点启示,(1) f(x)在x0处可导,存在(记为f (x0)=A),(其中(x)0(x0) ).,(2) 若f(x)在x0处可导, 则当|x|充分小时,y f (x0)x, 从而f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x.,y = Ax+o(x).,或,3. 定义,由自变量的改变量x得到的相应的函数值,的改变量y = f(x0+x) f(x0)可以表示为,其中A与x无关, o(x)为x0时比x高阶的无穷小量.,则称函数y = f(x)在x0处可微,并称Ax为,f(x)在x0处的微分(y的线性部分), 记为,y = Ax+o(x).,(1) 设函数y = f(x)在x0的某一个邻域内有定义,则称f(x)在I上可微.,(2) 设y = f(x)在区间I上的每一点处都可微,因此导数又称为微商.,4. 可微与可导的关系,定理: 函数y = f(x)在x0处可微, f(x)在x0处可导(d f (x0) = f (x0)x ).,5. 微商:,注意到dx = (x)x = x, 即自变量的微分,等于自变量的改变量, 于是dy = f (x)dx,从而,dx有关, 而x与dx又是相互独立的两个变量.,注 由dy = f (x)dx可见微分dy既与x有关, 又与,6. 例子:,求y = sinx在x = 0和x =,解: dy|x=0 =(sinx) |x=0 dx = (cos0)dx =dx,故x = 0.01时, dy|x=0 = 0.01.,并求dx = 0.01时的微分.,处的微分,故x = 0.01时,曲线y = f(x)在点(x0, f(x0) 处的切线的斜率为,在PNT中,即dy表示曲线在点P处切线的纵坐标的改变量.,7. 几何意义,tan = f (x0),NT = tan PN = f (x0)dx = dy,二. 微分法则,1. 四则运算,d(uv)= dudv, d(uv)= vdu+udv,2. 复合运算,设函数y = f g(x)由可微函数y = f(u)与u = g(x),复合而成, 则有dy = f (u)du, du = g(x)dx,另一方面,这就是说, 不论u是自变量还是中间变量, 函数,y = f(u)的微分在形式上都是dy = f (u)du.,我们把这一性质称为一元函数的一阶微分,dy = f(g(x)dx = f (u)g(x)dx = f (u)du.,形式不变性.,3. 例子,例1设函数y = f(x)由exy+y2 =cosx确定, 求dy以及,解: 等式两边求微分得:,即,于是,整理得,三. 微分在近似计算中的应用,当|x|充分小时, f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x.,例2 设y = esinx，求dy.,dy = esinxd(sinx) = esinxcosxdx.,取f(x)=x1/2 , x0=100， x=0 . 1，则由 f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x 有,3. 微分中值定理,一. 极值,设函数 f (x)定义在区间I上, x0I,若存在 0, 使得xN(x0, )I, 恒有,则称f(x)在x0处取得极大值(极小值) f(x0).,f(x)的极大值与极小值统称为f(x)的极值.,使f(x)取得极值的点x0称为f(x)的极值点.,f(x)f(x0) ( f(x)f(x0),注: 极值是一个局部概念.,即 (1)最大的极大值不一定是最大值; (2)最小的极小值不一定是最小值; (3) 极大值不一定大于极小值.,二. 费马定理,设函数f(x)在x0的某个邻域N(x0)内有定义, 在x0,处取得极值, 且在x0处可导, 则f (x0) = 0.,设f(x)在x0处取得极大值, 则 0, 使得,若f 在x0处可导, 则,由于,因此f (x0) = 0.,xN(x0, )恒有f(x) f(x0).,且在点(x0, f(x0)处具有切线, 则切线必为水平线.,如果曲线y = f(x)在x0处取得极值,几何意义,三. 驻点,设函数f(x)在x0的某个邻域,N(x0)内有定义, 且f (x0) = 0, 则称x0为f 的驻点.,四. 罗尔(Rolle法16521719) 中值定理,设函数f(x)满足下列条件:,(1) f(x)在a,b上连续, (2) f (x)在(a, b)内可导, (3) f(a) = f (b).,则至少存在一点(a, b),使得f ( ) = 0.,几何意义,如果曲线y = f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内的 每一点处都具有切线, 且端点处的高度相等, 则曲线上至少有一点处的切线为水平线.,代数意义,如果函数y = f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内的可导, 且f(a)=f(b),则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一实根.,推论 设函数f(x)是定义在区间I上的可微函数. 则f(x)的两个零点之间至少有一个驻点.,注: 罗尔中值定理的三个条件中有一个不满足时,结论都有可能不成立. 如:,g(x)=|x| (x1, 1),h(x) = x (x0, 2).,条件是充分的!请举例说明条件不是必要的.,设y = f(x)在0, 1上可导, 且f(1) = 0. 证明: 存在 (0, 1), 使得,例1,f()+ f ( ) = 0.,证明:,令F(x) = xf(x). 则F(x)在0, 1上满足罗尔中值定理的条件,说明条件为什么满足!,故存在 (0, 1), 使得,F ( ) = 0, 即 f()+ f ( ) = 0.,注: 上述函数F(x)常被称为辅助函数. 构造适当的辅助函数是解决类似问题的 常用方法.,设函数f(x)在区间a, b上连续, 在(a, b)内可导. 假如 f(a) f(b).,构造辅助函数,易见F(x)在区间a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 F(a)=F(b)=0. 由罗尔中值定理可知, (a, b) 使得F ( )=0. 即,因此 f(b)f(a) = f ( )(ba).,假如 f(a) f(b)?请同学们课后思考!应当有同样的结论.,五. 拉格朗日中值定理,设函数f(x)满足下列条件: (1) f(x在a,b上连续, (2) f(x)在(a, b)内可导. 则至少存在一点(a, b),使得 f(b)f(a) = f ( )(ba).,几何意义,如果曲线y = f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内的每一点处都具有切线, 则曲线上 至少有一点处的切线平行于两端点的连线.,注: 还可以构造F(x) = f(b)f(a)x f(x)(ba).,推论1,设函数f(x)在(a, b)内满足f (x)0, f(x)在(a, b)内为常值函数.,推论2 设f(x), g(x)在(a, b)内满足f (x) = g(x),则常数C, s.t.得f(x) = g(x)+C, x(a,b).,注: 在拉格朗日中值定理的条件下, 我们只知道 存在一点(a, b), 使得 f(b)f(a) = f ( )(ba), 一般并不知道的值究竟是多少. 有时我们 可以进一步去求的值, 有时我们根本不关 心的具体值.,于是,而,故存在 (0, x), 使得f(x)f(0) = f ()x.,例2利用拉格朗日公式解决下列问题:,(1) 设x 0, 证明: x/(1+x) ln(1+x) x.,证明: 令f(t)=ln(1+t),特别地,取x =1/n, 则有1/(1+n) ln(1+1/n) 1/n.,由此可得x/(1+x) ln(1+x) x.,则f(t)C0, x, 且f(t)在(0, x)内可导.,证明: 令f(t)=arctan t, 则与上例类似,而,证明:,存在 (0, x), 使得f(x)f(0) = f ()x, 即,于是x/(1+x2) arctan x x.,(2) 设x 0, 证明: x/(1+x2) arctan x x.,(3) 设函数 f 在点a处具有连续二阶导数.,使得f (x)在N(a, 2|h|)内有定义. 则,= f(a+h)f(a)f(a)f(ah) = g(a+h)g(a),其中1在a与a+h之间, 在1与1h之间, 因此,注意到当h0时, 有 a, 而f (x)在点a处连续,所以,证明: 令g(x) = f(x)f(xh), 取绝对值充分小的h,f(a+h)+f(ah)2f(a),= g(1)h = f (1)f (1h)h = f ( )h2,例3 设a 0, 函数f(x)Ca, b, 且在(a, b)内可导.,证明: 存在(a, b), 使得f(b)f(a) =,4 洛必达法则,型,一.,(x0, x0+) ( 0)内满足下列条件:,定理 设函数f(x)与g(x)在区间,(1),(2) f, g在(x0, x0+)内可导, 且g(x) 0,(3),(A为有限数或).,则,注 该定理对于xx0, xx0的情形,有相应的结论成立, 对于x, x, x+的情形 可通过变量代换x = 1/t化为t0的情形.,注 由于使用洛必达法则要经过求导的过程,有时单独使用洛必达法则比较繁琐, 需要与其他方法结合起来使用效果更佳. 比如说先进行无穷小代换或有理化, 化简以后再用洛必达法则. 例如,分子有理化.,分出已知极限,利用等价无穷小.,注 使用洛必达法则要分别的对分子分母求导,即,混淆.,不要把它与商的求导法则,二、,型,定理 设函数f(x)与g(x)在区间(x0, x0+ ) ( 0),内满足下列条件:,(1),(2) f, g在(x0, x0+ )内可导, 且g(x) 0,(A为有限数或).,(3),则,例 (1),=1.,或,=1.,(2) 设常数a, b0, 计算,解:,若a1, 则上式右端极限值为0.,若a为大于1的整数, 则,= ,=0.,若a大于1但不是整数, 则,再用夹逼原理便得,综上所述, 当常数a, b0时,三. 其他未定型,(1) 0,设 0, 则,= 0.,(2) ,= +.,(3) 1,因此,(4) 0,= 0.,因此,(5) 00,= 0.,因此,四. 不可用洛必达法则的情形.,(1),(2),(3),事实上,=1,=1.,例 设函数f(x)四阶可导, 且f(0) = 0, f (0) = 1,f (0) = 2, f (0) = 6, 求,解:,七、 带拉格朗日余项的泰勒公式,设函数,且,x, x0a, b,则 f(x)=,记g(x)=(xx0)n+1, 则,g(x0)=g(x0)=g(n)(x0)=0, g(n+1)(x)= (n+1)!, r(x0)=r(x0)=r(n)(x0)=0, r(n+1)(x0)= f (n+1)(x).,+ rn(x).,定理 设函数,且,则x, x0a, b, 有,f(x)=,其中x介于x与x0之间.,注 特殊情形:,(i) n = 0时, f(x)= f(x0)+ f (x)(xx0).,(ii) x0=0时, 带拉格朗日余项的麦克劳林公式,其中0 q 1.,5 导数的应用,一. 函数的单调性,由拉格朗日中值定理得,f(x2)f(x1) = f ()(x2x1) , (x1, x2).,1.设函数f(x)在(a,b)内可导, 任取x1x2(a,b),若x(a, b), f (x) 0 ( f (x) 0), 则f(x)在(a, b)内单调增(减).,反之,若f(x)在(a, b)内单调增(减),则由导数 的定义及函数极限的局部保号性可得 x(a, b), f (x) 0 ( f (x) 0).,定理 1 设函数f(x)在(a, b)内可导, 则有,(1) f(x)在(a, b)内单调增(减),x(a, b), f (x) 0 ( f (x) 0).,(2) 若 x(a, b), f (x)0 ( f (x)0),则f(x)在(a, b)内严格单调增(减).,注 定理中的区间(a, b)换成其他各种类型的,区间(包括无穷区间)结论也成立.,注 应用该定理求函数f(x)的单调区间时,应先求出f(x)的驻点及导数不存在的点, 将f(x)的定义域分成若干个子区间, 然后再根据f (x)在这些子区间上的符号, 判断f(x)在各子区间上的单调性.,2. 应用举例,(1) 讨论f(x) =,的单调性.,解: D(f )=R, 并且x0时,由上表可见f(x)在(, 1)和(1, +)内严格单调增,在(1, 0)和(0, 1)内严格单调减.f(x)的图形如上.,(2) 设0 x1 x22. 试比较,和,的大小.,解: 令f(x) =,则f(x)在(0, 2)内连续, 可导, 且,0 (0 x 2).,故f(x)在(0, 2)内严格单调减,所以当0 x1 x22时,利用单调性证明不等式！,思考题,，,（2）证明：,时，,（3）设,，证明：,。,（1）证明：,时，,；,；,提示：对所要证明的不等式两边取对数。,提示： 对所要证明的不等式两边取对数， 在利用lnx/x的单调性。,二. 函数的极值,1. 第一充分条件:,定理2: 设函数f(x)在点x0的某一个邻域N(x0, )内,(1) 若x(x0, x0)时, f (x)0, 而x(x0, x0+)时,f (x)0, 则f(x)在点x0处取得极大值;,(2) 若x(x0, x0)时, f (x)0, 而x(x0, x0+)时,f (x)0, 则 f(x)在点x0处取得极小值;,则f(x)在点x0处不取极值.,注 设函数f(x)在区间I上连续, 除了个别点以外,处处可导,则可按下述步骤求极值:,求驻点, 不可导点,考察这些点两边f (x)的符号,计算极值.,按第一充分条件判断,2. 第二充分条件:,定理3 设f(x)在驻点x0处二阶可导, 且f (x0)0.,若f (x0) 0,则f(x)在点x0处取得极小值.,证明: 对于f (x0)0的情形:,故当=|xx0|充分小且xx0时, 有,因为,= f (x0) 0,于是x(x0 , x0)时, f (x)0,而x(x0, x0+)时, f (x)0,由第一充分条件知f(x)在点x0处取得极小值.,在x = 1处取得极小值2.,3. 应用举例,(1) 对于f(x) =,有,(x0) ,故f (1)= 2 0.,因此f(x)在x = 1处取得极大值2,(2) 求f(x) =,的极值.,解:,f (1)不存在.,由f (x) = 0得x = 0或2.,当x 0. 故f(x)在x = 0处取得极小值f(0) = 0.,当x(1, 2)时, f (x)0, 故f(x)在x = 1处取得极大值f(1) = 1.,当x(2, +)时, f (x)0, 故x =2不是f(x)的极值点.,f (0)= 0 = f (2), 不能用第二充分条件.,注 这里,三 函数的最大(小)值,1、 求最大(小)值的一般步骤,理论基础:在闭区间上的连续函数必取得最大值和最小值.,判断有无最值,求可能的极值,计算端点值,经比较得最值,最小值为f(3) = 1.,例1 求f(x) =,的最值.,解: f(x)C1, 3, 故有最大值与最小值.,由上例可知f(x) 在x = 0处取得极小值0,在x = 1处取得极大值f(1) = 1.,所以f(x)在1, 3上的,最大值为f(1) = f(1) = 1,又因为f(1) = 1, f(3) = 1.,2、 特殊情形,(1) 若fCa, b, 且f在a, b上单调函数,则f(x)的最值必在端点处取得.,(2) 若fCa,b, f在(a,b)内可导, 且f在(a,b)内有,唯一的驻点x0, 则当f(x0)为极大(小)值时, f(x0)就是f(x) 的最大(小)值.,(3) 在实际问题中, 若函数f Ca, b, f 在(a, b),内可导, 且f 在(a, b)内有唯一的驻点x0, 又根据问题的实际意义可知f(x)的最值在 (a, b)内部取得, 则x0就是f(x) 的最值点.,例2 在一块边长为a的正方形纸板上截去四个,全等的小正方形, 做成一个无盖的盒子, 问截去 多大的小正方形能使盒子的容量最大?,解: 设截去的正方形的边长为x, 盒子的容量为V,则V = x(a2x)2, x(0,由V = (a2x)(a6x) = 0,及x(0, a/2),得唯一的驻点x = a/6.,显然V的最大值在(0, a/2)的内部取得,因而Vmax =,四 曲线的凹凸性与拐点,前面我们学习了函数的单调性及其判定。我们知道函数在某区间上的单调性，自然地提出问题：能否由单调性大致作出函数在此区间上的图形？很多同学认为，区间太长有问题，而区间较短时没有问题。情况是这这样吗？请看下例：,问题的提出,在xoy面上作y=f(x)在区间x1,x2上的图形,y=f(x)在区间x1,x2上的图形可以是黄线图形，也可以是蓝线图形,（1） 观察,由此可见，仅仅知道函数的单调性，仍然不能准确的作出函数的图形。 或者说，在知道函数的单调性时，必须知道其图形是形如上图中黄线的形状还是形如上图中蓝线的形状？ 黄线的形状向上凹的曲线； 蓝线的形状向上凸的曲线。 本节的主要任务是研究曲线的凹凸性。 1、曲线的凹凸性 为此，先观察凹凸曲线的特性。,设曲线y=f(x)在区间a,b上向上凹，在区间a,b上 任取两点x1和x2。,通过下图研究这两点中点( x1+x2 )/2处的函数值与点x1、x2处函数值的关系.,曲线y=f(x)在区间a,b上向上凹，对于a,b上 任意两点x1和x2,总有,曲线y=f(x)在区间a,b上向上凸，对于a,b上 任意两点x1和x2,总有,（2） 定义: 设函数f(x)定义在区间I上,若 x1, x2I, 总有,则称曲线y=f(x)在区间I上向上凹.,若 x1, x2I, 总有,则称曲线y=f(x)在区间I上向上凸.,（3）几何意义: 曲线y = f(x)在区间I上向上凹(凸),x1, x2I, 以A(x1, f(x1), B(x2, f(x2)为端点的 弦位于弧的上(下)方.,（4）判定,用一