[理学]第八节定积分的几何应用举例.ppt

第八节 定积分的几何应用举例,一、元素法,二、平面图形的面积,三、体积,四、平面曲线的弧长,回顾 曲边梯形求面积的问题,一、元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,(1) A 是与一个变量 x 的变化区间 a,b 有关的量；,(2) A 对于区间 a,b 具有可加性，,如果把区间 a,b分成许多部分区间 , 则 A 相应地 分成许多部分量 , 而 A 等于所有部分量之和；,(3) 部分量 的近似值可表示为 ;,就可以考虑用定积分来表达这个量 A .,一个量以定积分来表达,关键是第三步,即:确定 部分量的近似值,当所求量 A (非均匀分布量)符合下列条件：,元素法的一般步骤：,1. 根据问题的实际意义 , 确定一个积分变量及 其变化区间 a , b .,2. 设想把区间a,b任意地分为 n 个小区间 , 任取一个小区间记为x, x+dx,求出相应于这个区间的部分量A的近似值，如果A可表示为a,b上的一个连续函数 f(x) 与 dx 的乘积 f(x)dx , 并且A 与 f(x)dx 的差仅相差一个比 dx 高阶的无穷小，这时 f(x)dx 称为 A 的元素，记为 dA。,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,3. 以 A 的元素dA=f(x)dx 为被积表达式在 a,b上作定积分即得所求的量A.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,二、平面图形的面积 1、 直角坐标系情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,步骤：,1. 根据题意画出平面图形 .,3. 写出微元 dA .,2. 确定一个积分变量及其变化区间 a , b .,4. 求出,通常要先求出边界曲线的交点.,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 x 吗 ？,两曲线的交点,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,2、用参数方程表示的曲边梯形的面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例5 求星形线 围成图形的面积.,面积元素,曲边扇形的面积,3、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,4、小结,思考题,思考题解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,1、绕 x 轴旋转所得旋转体体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,2、绕 y 轴旋转所得旋转体体积,解,解,3、补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,(2) 曲边梯形绕直线 x=a 旋转所得旋转体体积,旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,4、小结,思考题解答,交点,立体体积,思考题,四、平行截面面积为已知的 立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例,五、平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,2、直角坐标情形,解,所求弧长为,解,解,解,曲线弧为,弧长,3、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,椭圆积分,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,4、极坐标情形,解,解,平面曲