[研究生入学考试]6-03 定积分的计算方法.ppt

一、问题的提出,6.3 定积分的计算方法,课前练习,二、定积分的换元法,2.1、换元公式,2.2、换元法两个要点,三、定积分分部积分法,3.1、分部积分公式,3.2、分部法两个要点,四、积分等式的证明,五、小结(sumary),1、定积分的换元公式,根式代换；三角代换；其它代换。,2、定积分分部积分公式,思考题,作业: P205 3双号,作业: P205 4双号 8,课前练习,课前练习,解：,课前练习,解：,课前练习,解：,课前练习,我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法和分部积分法，那么定积分是否也有换元法和分部积分法呢？那么定积分中和不定积分中的换元法和分部积分法有哪些不同呢？,第一个问题的回答是肯定的，在一定条件下，结合牛顿莱布尼茨公式可以用换元积分法与分部积分法来计算定积分。,一、问题的提出,第二个问题我们会在上课的过程中予以回答。,一、问题的提出,引例：,解：,一、问题的提出,引例,2.1、第一换元法凑微分法,定理1 设f(x)在区间a,b上连续, 则,注: 这里由于设有把变换式u=j(x)明显写出来, 积分变量仍然是x, 所以不必改变上下限.,例1 计算,解,二、定积分的换元法,例2 计算,解,原式,二、定积分的换元法,例3 计算,解,二、定积分的换元法,2.2、第二换元法变量代换法,定理2 设f(x)在a,b上连续, x=j(t)满足条件: j(a)=a, j(b)=b; j(t)在a,b上具有连续导数且值域Rj=a,b,则有,证,设F(x)是f(x)的一原函数，,另一方面, 在a,b上, 把t的复合函数Fj(t)对t求导得,二、定积分的换元法,换元必须换限,2.3、第二换元法两个要点,用x=j(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.,换元无需还原,求出设fj(t)j(t)的一原函数Fj(t)后, 不必象计算不定积分那样再要把Fj(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Fj(t)然后相减就行了。这也是比不定积分相对较优的一个特点（优点）。,二、定积分的换元法,二、定积分的换元法,例4 计算,解：,例5 计算,解：,二、定积分的换元法,二、定积分的换元法,例6 计算,解：,证,二、定积分的换元法,上述结论的几何解释：,偶函数图形关于y轴对称,在a,a上关于y轴左右两边的图形面积相等.,奇函数图形关于原点对称,在a,a上关于x轴上下两边的图形面积相等.,二、定积分的换元法,奇函数,例8 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,二、定积分的换元法,二、定积分的换元法,例9 ,解：,解：原积分=,二、定积分的换元法,2.4、用换元法证明定积分的恒等式,步骤：,改写等式右端的积分变量为t；,作变量替换：,若被积函数左为f(x)右为fj(t),则令x=j(t);,若被积函数左为f(x)右为f(t),则令x=-t,1/t或At;,若被积函数含三角函数,则令x=pt 或p/2t;,例10 设f 连续,证明,证：,证,令,二、定积分的换元法,令,二、定积分的换元法,二、定积分的换元法,例12,解,求导,二、定积分的换元法,解,二、定积分的换元法,课前练习,课前练习,解：,课前练习,解：,(Formula for Integration by Parts),3.1、分部积分公式,设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数，则有,三、定积分的分部积分法,2.2、分部积分法两个要点,主要解决两类积分:,直接用于被积函数为对数函数、反三角函数 及变上限函数;,三、定积分的分部积分法,用于两种不同类型函数乘积的积分 (按“反对幂指三”定u、v；,与不定积分仅差上下限，分部同时计算积分。,对于定积分的分部积分法，在分部积分的同时，对积出的部分代入积分上下限，计算结果，这样可以简化计算过程。,三、定积分的分部积分法,例1 计算,解,例2 计算,解,三、定积分的分部积分法,例3,计算,注意: 去掉绝对值时注意分部积分的上下限,练习. 求,解：由分部积分公式,=1,三、定积分的分部积分法,例4 设 求,解,三、定积分的分部积分法,练习. 设f(x)为连续函数，证明,证明,三、定积分的分部积分法,三、定积分的分部积分法,例5 计算,解,幂*指,三、定积分的分部积分法, 例6 计算,解,例7 计算,解,指*三,三、定积分的分部积分法,例8 计算,解,注 本题是一个集凑微分法