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厦门大学数学科学学院 杜妮,关于线性方程组的 若干教学体会,2019/4/18,2,与线性方程组相关的数学史,线性方程组是贯穿线性代数的主线,关于“线性方程组”的教学体会,2019/4/18,3,线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法。,中国古代的数学著作九章算术方程中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法，即高斯消元法。,2019/4/18,4,在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。,随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。,2019/4/18,5,大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。,2019/4/18,6,线性方程组为主线,如何判断方程组是否有解,有解时如何求解,解的结构,2019/4/18,7,（行列式）,（矩阵、初等变换）,2019/4/18,8,判断解的存在性和 唯一性,定义 Ax=b的系数矩阵: A; 增广矩阵: 解的判定,2019/4/18,9,多解时，解与解之间的关系？（向量、线性相关性、基础解系）,解的结构_特解+导出组通解,2019/4/18,10,对“线性方程组”教学内容的教学体会,1、讨论一个向量能否由一组向量线性表示的问题经常转化为非齐次线性方程组解的存在性及唯一性问题。,线性方程组 有解,2019/4/18,11,2019/4/18,12,2、对非齐次线性方程组解的结构的进一步分析,齐次线性方程组的解向量集合构成子空间，但 非齐次线性方程组的解向量集合则不然。 下例给出了非齐次线性方程组的解向量组成 的向量组的极大无关组。,2019/4/18,13,2019/4/18,14,注：对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给 的 个解称为其基础解系，所不同的是它的 线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程 组的解,2019/4/18,15,3、方程组Ax=0的解全是Bx=0的解的充要条件是B的行向量可由A的行向量线性表示.,方程组Ax=0的解与Bx=0同解的充要条件是A的行向量组与B的行向量组等价.,2019/4/18,16,例 对实矩阵Amn, 证明,2019/4/18,17,4、线性映射的核,例 设 . 定义线性映射A : 则Ker A即为Ax=0的解空间.,注：由同构的思想，求线性映射的核空间的问题可转化为求上述Ker A的问题.,2019/4/18,18,例 是V的一组基, 是U的一组基, 求,2019/4/18,19,2019/4/18,20,例：设V是四维行向量空间, 内积为标准内积, 求V中与矩阵 的每个行向量都正交的全体向量所构成的子