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第3章 马尔可夫过程（II）泊松过程,【3.2】泊松过程,【3.3】有关泊松过程的几个问题,【3.4】非齐次泊松过程,【3.5】复合泊松过程,【 3.7 】 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【3.6】过滤的泊松过程,3.2 泊松过程,【一】计数过程:,【定义一】计数过程 在 内出现事件 的总数所组成的过程 称为计数过程。任何一个计数过程过程满足下列条件： （1） （2） 是一个非负整数 （3）如果有两时刻 ，且 ，则 （4）对于 ， 代表在时间间隔 内出现事件 的次数 在计数过程中，如果在不相交叠的时间间隔内出现事件 的次数是相互统计独立的，则该过程为独立增量过程。,【定义二】平稳增量计数过程 在计数过程中如果在 内出现事件 的次数仅与时间差 有关而与起始时间 无关，则称该过程为平稳增量计数过程。就是说，对于任意 ，任意 ，随机变量 与 有相同的分布。,3.2 泊松过程,【二】泊松过程:,【定义一】泊松过程 设 为计数过程，其状态取非负整数，并满足下列假设： （1）从 起开始观察事件，即 （2）该过程是独立增量过程，即当 时， 和 是相互统计独立的； （3）该过程为平稳增量过程； （4）在 内出现一个事件的概率为 （当 时） 为一常数；在 内出现事件二次以及二次以上的概率 为 ，即 则称该计数过程为泊松过程。,【定理】 泊松过程 在时间间隔 内出现事件 为 次的概率为,3.2 泊松过程,【三】泊松过程分析:,【分析步骤一】 设 则有下述关系 在 内出现 个事件可以等价于下列几个不相容事件之和： （1）在 内出现事件 次，在 内出现事件零次； （2）在 内出现事件 次，在 内出现事件一次； （3）在 内出现事件 次或 以下，在 内出现事件 二次或二次以上；所以有 令 ，则,3.2 泊松过程,【三】泊松过程分析:,【分析步骤二】 同理，如果在 内没有出现任何事件，即在 内和在 内均不出现任何事件，则 令 ，则 解此方程得 根据假设 由此得 故 所以根据递推公式 在 时有 由此解得 由于 所以 ，得 用数学归纳法可得 所以定理得到证明。,3.3 有关泊松过程的几个问题,【一】各次事件间的时间间隔分布:,【参数一】第一个事件到达时间 设泊松过程中第一个事件 到达时间为 ，显然 是一个随机变量。设时间轴上有一点 ，事件 表示在 内没有出现事件 ，则事件 和事件 是等价的，即 因此 的分布函数为 的概率密度为 这说明泊松过程中的第一个事件 到达时间 的概率密度为负指数分布的密度函数。 的平均值为,3.3 有关泊松过程的几个问题,【一】各次事件间的时间间隔分布:,【参数二】任意相邻两事件间的时间间隔 设 代表第 次出现事件 和第 次出现事件 的时间间隔， 也是一个随机变量，则有 同理 即相邻两次事件间间隔的分布是一负指数分布，它的平均值为 。,【结论】 具有独立的同分布的概率密度，并且有,3.3 有关泊松过程的几个问题,【二】等待时间的分布:,【定义】第 次事件的等待时间 从时间 开始到达第 次 事件出现所需的时间称为第 次事件的等待时间，用 表示。 由定义可知， 而 为独立同分布的随机变量，所以 的概率密度为 的概率密度进行 重卷积积分得到，即 的概率密度为 分布。 也可用另一种方法证明 的分布是 分布。事件 等价于 内至少出现 次 事件，即等价于 ，故,3.3 有关泊松过程的几个问题,【三】到达时间的条件分布:,设泊松过程 ，如果已知在 内有一个 事件出现，问这一事件到达时间的分布如何？ 它的概率密度为 如果已知在 内出现一次事件，则该事件的出现时间均匀分布与 内。,3.3 有关泊松过程的几个问题,【四】两个泊松过程第一次事件先后的概率:,有二个相互统计独立的泊松过程 及 ，它们在单位时间内出现事件的平均数分别为 及 。设 代表第一过程 中出现第一次事件所需的时间。 代表第二过程 中出现第一次事件所需的时间。现研究第一过程出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即求 。 根据前面分析的结果可知，第一过程中出现第一次事件所需时间的概率密度为 ，第二过程中出现第一次事件所需的时间的概率密度为 ，故,3.3 有关泊松过程的几个问题,【五】两个泊松过程事件先后的概率计算:,有二个相互统计独立的泊松过程 及 ，它们在单位时间内出现事件的平均数分别为 及 。设 代表第一过程 中出现第 次事件所需的时间。 代表第二过程 中出现第一次事件所需的时间。现求第一过程出现第 次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即研究概率 。 根据前面分析的结果可知， 的概率密度为 ， 的概率密度为 ，故,3.4 非齐次泊松过程,【一】非齐次泊松过程定义:,【定义一】非齐次泊松过程 设 为计数过程，其状态取非负整数，并满足下列假设： （1）从 起开始观察事件，即 （2）该过程是独立增量过程，即当 时， 和 是相互统计独立的； （3） （4） 则称该计数过程为非齐次泊松过程。,【定理】 满足上述四个假设的非齐次泊松过程 在时间间隔 内出现事件 为 次的概率为,3.4 非齐次泊松过程,【一】非齐次泊松过程定义:,3.4 非齐次泊松过程,3.4 非齐次泊松过程,3.4 非齐次泊松过程,【二】非齐次泊松过程举例:,【例】某商店每日上午8开始营业，从上午8.00到11.00平均顾客到达率线性增加，在8.00顾客平均到达率为5人/时，11.00到达率为20人/时。从上午11.00到下午1.00平均顾客到达率维持不变，为20人/时。从下午1.00到5.00顾客平均到达率线性下降，到下午5.00顾客到达率为12人/时。假设在不相交叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互统计独立的，问在上午8.309.30间无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望为多少？,【解】 根据题意，该过程为一非齐次泊松过程，并且顾客到达率为 所以： 在8.309.30间到达商店的顾客数学期望为 人。,3.5 复合泊松过程,【一】复合泊松过程定义:,【定义】复合泊松过程 设有一泊松过程 和一族独立同分布随机变量 ，且 和 也是相互统计独立的。设随机过程 ，则称 是复合泊松过程。 如果 ，则 ， 就是通常的泊松过程。 例如，到达体育馆的公共汽车数是一泊松过程，而每辆公共汽车内所载的乘客数是一随机变量。若各公共汽车内的乘客数服从相同分布，且又彼此统计独立，各辆车的乘客数和车数 又是统计独立的，则到达体育馆的总人数是 一复合泊松过程。 其中 代表第 辆车内的乘客数， 代表 内到达体育馆的公共汽车数。,3.5 复合泊松过程,【二】复合泊松过程分析:,【分析】采用母函数法研究复合泊松过程。设随机变量 的母函数为 泊松过程 的母函数为 ， ， 为泊松过程 的参数，于是复合泊松过程 的母函数为。 由此可计算出 的数学期望和方差：,3.5 复合泊松过程,【三】复合泊松过程例题分析:,【例】设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即 。如果每户的人口是一随机变量，一户四人的概率为 1/6，一户三人的概率为 1/3，一户二人的概率为 1/3，一户一人的概率为 1/6，并且每户的人口数是相互统计独立的随机变量。求在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差。,【解】设 代表第 户的人口数， 代表移民总人口数，则 所以：,3.5 复合泊松过程,【四】其它复合泊松过程:,设有一泊松过程 ，它的参数为 。如果把过程中出现的事件 按其性质分成不同性质、互不相容的两种类型 型事件和 型事件，而且当每次 事件出现时，出现 的概率为 ，出现 的概率为 ， 各次出现 或 是相互统计独立的。于是组成了两个计数过程，即出现 事件的计数过程 ，和出现 事件的计数过程 ，且 如果出现 事件用 表示，出现 事件用 表示，则 是随机个随机变量之和。 是泊松分布，它的母函数为,3.5 复合泊松过程,【四】其它复合泊松过程:,因此 也是一泊松过程，但它的参数为 ，同理 也是一泊松过程，它的参数为 。 例如在 内进入某商店的顾客数服从泊松分布。顾客有男女之分，若每次进入该商店的顾客中，男顾客出现的概率为 ，女顾客出现的概率为 ，则在 内进入商店的男顾客和女顾客均服从泊松分布。,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.6 过滤的泊松过程,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【一】参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【一】参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【一】参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【一】参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【一】参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【二】跳跃强度（无穷小转移率）及转移率矩阵（Q矩阵）,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【二】跳跃强度（无穷小转移率）及转移率矩阵（Q矩阵）,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【二】跳跃强度（无穷小转移率）及转移率矩阵（Q矩阵）,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【三】柯尔莫哥洛夫费勒前进方程式,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【三】柯尔莫哥洛夫费勒前进方程式,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【三】柯尔莫哥洛夫费勒前进方程式,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【三】柯尔莫哥洛夫费勒前进方程式,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【四】福克普朗克方程式,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例一,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例一,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【五】例二 排队问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【六】柯尔莫哥洛夫费勒后退方程,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【六】柯尔莫哥洛夫费勒后退方程,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【六】柯尔莫哥洛夫费勒后退方程,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【七】例三 机器维修问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【七】例三 机器维修问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【七】例三 机器维修问题,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【七】例四 随机游动,3.7 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程,【七】例四 随机游动